素朴集合論

素朴集合論は、数学の基礎論の議論で用いられるいくつかの集合論のいずれかである。^{[ 3 ]}形式論理を用いて定義される公理的集合論とは異なり、素朴集合論は自然言語で非公式に定義される。それは、離散数学で馴染みのある数学的集合の側面（例えば、ベン図やブール代数に関する記号的推論）を記述し、現代数学における集合論概念の日常的な使用には十分である。^[⁴^]

集合は数学において非常に重要な概念であり、現代の形式的な数学的扱いにおいては、ほとんどの数学的対象（数、関係、関数など）は集合を用いて定義される。素朴な集合論は多くの目的に十分であり、より形式的な数学的扱いへの足がかりとしても機能する。

方法

「素朴集合論」の意味での素朴理論とは、形式化されていない理論、すなわち、自然言語を用いて集合とその演算を記述する理論のことである。このような理論では、集合はプラトン的な絶対対象として扱われる。「かつ」、「または」、「もし…ならば」、「ではない」、「あるに対して」、「すべてのに対して」といった語は、通常の数学におけるように扱われる。便宜上、素朴集合論とその形式化は、より形式的な集合論の枠組みを含め、高等数学においても広く用いられている。

集合論の最初の発展は、素朴な集合論でした。それは19 世紀末にゲオルク・カントールが無限集合の研究の一環として作成し^{[ 5 ]} 、ゴットロープ・フレーゲが『算術の基本法則』の中で形式的ではあるが矛盾のある体系として発展させました^{[ 6 ]}。

素朴集合論は、いくつかの非常に異なる概念を指す場合があります。それは、

公理的集合論の非公式な提示。例えば、ポール・ハルモスの『素朴な集合論』など。
ゲオルク・カントールの理論の初期または後期のバージョン、およびその他の非形式的なシステム。
明らかに矛盾した理論（公理的であるか否かを問わず）、例えばラッセルのパラドックスを生み出したゴットロープ・フレーゲの理論^{[ 7 ]}や、ジュゼッペ・ペアノ^[⁸^]やリヒャルト・デデキントの理論などが挙げられる。

パラドックス

いかなる性質も制限なく集合を形成するために使用できるという仮定は、パラドックスを引き起こす。その典型的な例がラッセルのパラドックスである。すなわち、「自身を含まないすべての集合」からなる集合は存在しない。したがって、（素朴な集合論であれ形式的な集合論であれ）一貫性のある集合論体系には、集合を形成するために使用できる原理に対する何らかの制限が含まれていなければならない。

カントールの理論

ゲオルク・カントールの集合論は、実際には集合論のパラドックスには関与していなかったと考える人もいる（Frápolli 1991 を参照）。これを確実に判断する上での難しさの一つは、カントールが自身の体系の公理化を提供しなかったことである。1899 年までに、カントールは、例えばカントールのパラドックス^{[ 9 ]}やブラリ＝フォルティのパラドックス^{[ 10 ]}など、自身の理論の無制限な解釈から生じるいくつかのパラドックスを認識していたが、それらが自身の理論の信用を失墜させるとは考えていなかった^{[ 11 ]} 。カントールのパラドックスは、実際には、任意の性質 $P (x)$ を集合を形成するために使用できるという上記の（誤った）仮定から、 $P (x)$ に対して「 $x$ は基数である」を使用することで導き出すことができる。フレーゲは、素朴な集合論の形式化されたバージョンを解釈できる理論を明確に公理化したが、バートランド・ラッセルが実際にパラドックスを提示した際に扱ったのは、この形式的な理論であり、前述のようにいくつかのパラドックスを認識していたカントールが念頭に置いていた理論とは必ずしも一致しない。

公理的理論

集合を理解しようとする初期の試みに応える形で、公理的集合論が開発された。その目的は、どのような演算がいつ許されるのかを正確に決定することであった。

一貫性

素朴集合論は、考慮可能な集合を正しく指定していれば、必ずしも矛盾しているわけではありません。これは、暗黙の公理である定義を用いることで実現できます。ハルモスの素朴集合論のように、すべての公理を明示的に記述することも可能です。ハルモスの素朴集合論は、実際には通常の公理的ツェルメロ＝フレンケル集合論を非形式的に表現したものです。この理論が「素朴」であるのは、言語と記法が通常の非形式数学のものであり、公理系の一貫性や完全性を扱っていないからです。

同様に、公理的集合論は必ずしも無矛盾ではない、つまりパラドックスがないとは限らない。ゲーデルの不完全性定理によれば、十分に複雑な一階述語論理体系（一般的な公理的集合論のほとんどを含む）は、実際に矛盾していない限り、理論自体から無矛盾であることを証明できない^{[ 12 ]}。しかし、一般的な公理体系は一般的に無矛盾であると考えられており、その公理によってラッセルのパラドックスのようないくつかのパラドックスを排除している。ゲーデルの定理に基づくと、これらの理論や十分に複雑な一階述語集合論にパラドックスが全く存在しないかどうかは、そのような理論が実際に矛盾していない限り、知られておらず、決して知ることはできない。ただし、証明論的順序分析の結果は、無矛盾性の証明として解釈されることがある点に留意すべきである。

素朴集合論という用語は、現代の公理的集合論の非形式的な対応物ではなく、フレーゲとカントールが研究した集合論を指すために、今日でも一部の文献^{[ 13 ]}で使用されています。

ユーティリティ

公理的アプローチと他のアプローチの選択は、主に利便性の問題です。日常的な数学においては、公理的集合論を非公式に用いるのが最善の選択肢となるでしょう。特定の公理への言及は、慣習によって必要とされる場合にのみ行われるのが一般的です。例えば、選択された公理は、使用される際にしばしば言及されます。同様に、形式的な証明は、例外的な状況によって正当化される場合にのみ行われます。このような非公式な公理的集合論の使用は、（記法によっては）以下に概説するような素朴な集合論と全く同じ外観を持つことができます。これは、（ほとんどの命題、証明、議論の展開において）読み書きがはるかに容易であり、厳密な形式的アプローチよりも誤りが少ないという利点があります。

集合、メンバーシップ、平等

素朴な集合論では、集合は明確に定義された対象の集まりとして記述されます。これらの対象は集合の要素またはメンバーと呼ばれます。対象は、数、人、他の集合など、何でも構いません。例えば、4はすべての偶数の集合のメンバーです。明らかに、偶数の集合は無限に大きいので、集合が有限である必要はありません。

集合の定義はゲオルク・カントールに遡る。

Unter einer `Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die `Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen。^{[ 14 ]}
「集合体」（ Menge ）とは、私たちの直観や思考における明確で分離した対象mの集合体M全体（Zusammenfassung zu einem Ganzen）を指す。これらの対象はMの「要素」と呼ばれる。^[¹⁵^]

—ゲオルク・カントール、数学アンナレン(1895)、バンド 46、ヘフト 4、メンゲンレーレの変換

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohluntersehiedener Objekte unserer Ansehauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen. ^{[ 16 ]}
[集合とは、私たちの知覚や思考の対象となる、明確で区別可能な複数の対象が集まった全体のことであり、それらの対象は集合の要素と呼ばれる。]

— Georg Cantor、H. Baumann 他、Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (1975)、第 2 章Grundbegriffe der Mengenlehre の中で

一貫性に関する注記

この定義からは、集合がどのように形成されるのか、また集合に対するどのような演算によって再び集合が生成されるのかは導き出されません。「明確に定義された対象の集合」における「明確に定義された」という用語は、それ自体では、何が集合を構成し、何が構成しないのかという一貫性と明確性を保証することはできません。これを実現しようとする試みは、公理的集合論または公理的類論の領域となります。

この文脈において、特定の公理的理論から派生せず（またそれを暗示せず）、非公式に定式化された集合論の問題点は、元の非公式な定義に合致しながらも、異なる集合と、新しい集合の形成方法に関する異なる規則を持つ、大きく異なる形式化されたバージョンが複数存在する可能性があることである。例えば、カントールの逐語的な定義では、集合を構成するものに関してかなりの自由度が認められている。一方で、カントールが猫や犬を含む集合に特に関心を持っていたとは考えにくく、純粋に数学的な対象を含む集合のみに関心を持っていたと考えられる。そのような集合のクラスの例としては、フォン・ノイマン宇宙が挙げられる。しかし、検討対象の集合のクラスを固定したとしても、パラドックスを導入せずにどの集合形成規則が許容されるのかは必ずしも明確ではない。

以下の議論を整理するために、「明確に定義されている」という用語は、暗黙的または明示的な規則（公理または定義）を用いて矛盾を排除しようとする意図として解釈されるべきである。その目的は、しばしば深く困難な一貫性の問題を、通常はより単純な文脈から切り離すことにある。ゲーデルの第二不完全性定理により、公理的集合論において考えられるすべての矛盾（パラドックス）を明示的に排除することはそもそも不可能であるため、これは以下の単純な文脈において、素朴集合論の有用性を公理的集合論と比較して損なうものではない。単に議論を簡略化するだけである。以降、明示的に言及しない限り、一貫性は当然のこととして扱われる。

会員

x が集合Aの要素である場合、 x はAに属する、またはxはAに含まれるとも言われます。これはx ∈ Aと表記されます。記号 ∈ は、1889 年にジュゼッペ・ペアノによって導入されたギリシャ文字の小文字イプシロン「ε」に由来し、 ἐστί (「である」という意味)の最初の文字です。記号 ∉ は、x ∉ Aと表記する際によく使用され、「x は A に含まれない」という意味になります。

平等

2つの集合AとBは、要素が完全に一致する場合、すなわち、Aのすべての要素がBの要素であり、かつBのすべての要素がAの要素である場合に等しいと定義されます。（外延性の公理を参照。）したがって、集合は要素によって完全に決定され、記述は重要ではありません。例えば、要素が2、3、5である集合は、6未満のすべての素数の集合と等しくなります。集合AとBが等しい場合、これは（通常どおり）記号的にA = Bと表されます。

空集合

空集合は、と表記される。 $\varnothing$ そして時々 $\{\}$ は、要素を全く持たない集合です。集合は要素によって完全に決定されるため、空集合は1つしか存在しません。（空集合の公理を参照。）^{[ 17 ]}空集合は要素を持ちませんが、他の集合の要素となることができます。したがって $\varnothing \neq \{\varnothing \}$ なぜなら、前者はメンバーを持たず、後者はメンバーを1人持つからである。^{[ 18 ]}

セットの指定

集合を記述する最も簡単な方法は、その要素を中括弧で囲むことです（これは集合を外延的に定義すると呼ばれます）。したがって、 ${1, 2} は、$ 要素が 1 と 2 のみである集合を表します。1と2．（ペアリングの公理を参照。）以下の点に注意してください。

要素の順序は関係ありません。たとえば、 ${1, 2} = {2, 1} です$ 。
要素の繰り返し（多重度）は関係ありません。たとえば、 ${1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2} です$ 。

（これらは前節で述べた平等の定義から導かれる結果である。）

$この表記法は、{dogs}$ のようにしてすべての犬の集合を表すなど、非公式に誤用されることがあるが、数学者は通常、この例を「単一の要素である犬を含む集合」と解釈する。

この表記法の極端な（しかし正しい）例は、空集合を表す ${}です。$

表記 ${x : P (x)}$ または ${x | P (x)}$ は、条件 $Pを満たすすべての対象を含む集合を表すために使用されます ($ 内包的に集合を定義すると呼ばれます)。たとえば、 ${x | x \in R}は$ 実数の集合を表し、 ${x | x は金髪である} は$ 金髪を持つすべてのものの集合を表します。

この表記法は集合構築記法（または、特に関数型プログラミングの文脈では「集合内包表記」）と呼ばれます。集合構築記法のいくつかのバリエーションは次のとおりです。

${x \in A | P (x)} は、$ $A$ の要素であり、かつ条件 $P が$ $x$ に対して成り立つすべての $x$ の集合を表します。例えば、 $Z が$ 整数の集合である場合、 ${$ $x$ $\in$ $Z$ $|$ $x$ $は偶数}はすべて$ の偶数の集合となります。（仕様公理を参照。）
${F (x) | x \in A} は$ 、集合 $A$ の要素を式 $F$ に代入して得られるすべての対象の集合を表します。例えば、 ${2 x | x \in Z}$ は、すべての偶数の集合です。（置換公理を参照。）
${F (x) | P (x)}$ は、集合構成表記の最も一般的な形式です。例えば、 ${x の所有者 | x は犬である}$ は、すべての犬の所有者の集合です。

部分集合

2つの集合AとBが与えられたとき、Aのすべての要素がBの要素でもある場合、 AはBの部分集合である。特に、各集合Bはそれ自身の部分集合である。Bと等しくないBの部分集合は真部分集合と呼ばれる。

AがBの部分集合である場合、 BはAの上位集合である、AはBに含まれる、またはBはAを含む、とも言えます。記号で表すと、 $A$ $\subseteq$ $B$ はAがBの部分集合であることを意味し、 $B$ $\supseteq$ $A$ はBがAの上位集合であることを意味します。一部の著者は部分集合を表す記号⊂と⊃を使用し、他の著者はこれらの記号を真部分集合にのみ使用します。明確にするために、⊊と⊋の記号を明示的に使用して非等号を示すことができます。

例として、R を実数の集合、Z を整数の集合、O を奇数の集合、P を現職または歴代の米国大統領の集合とします。このとき、OはZの部分集合であり、ZはRの部分集合であり、(したがって) OはRの部分集合です。ここで、いずれの場合も部分集合は真部分集合と読み替えることができます。すべての集合がこのように比較できるわけではありません。たとえば、 RがPの部分集合であることも、PがRの部分集合であることもありません。

上記の集合の等価性の定義から、2 つの集合AとBが与えられたとき、 $A = Bとなるのは$ $A \subseteq B$ かつ $B \subseteq A$ の場合のみであることが直ちに導かれる。実際、これはしばしば等価性の定義として与えられる。通常、 2 つの集合が等しいことを証明しようとする場合、この 2 つの包含関係を示すことを目指す。空集合はすべての集合の部分集合である（空集合のすべての要素が任意の集合Aの要素でもあるという記述は自明に正しい）。

与えられた集合Aのすべての部分集合の集合をAの冪集合と呼び、と表記される。 $2A$ または $P(A)$ ; 「 $P 」は$ 筆記体フォントで表記される場合もあります。 $\wp (A)$ ⁠。集合Aにn個の要素がある、 $P(A)$ 持つことになる $2n$ 要素。

普遍集合と絶対補集合

特定の状況においては、検討対象となるすべての集合を、ある特定の全体集合の部分集合とみなすことができる。例えば、実数R（およびRの部分集合）の性質を調べる場合、R を全体集合とみなすことができる。真の全体集合は標準的な集合論には含まれないが（下記のパラドックスを参照）、一部の非標準的な集合論には含まれている。

全体集合UとUの部分集合Aが与えられたとき、Aの補集合( U内) は次のように定義される。

A C := {x \in U | x \notin A}

。

言い換えれば、A ^C（「A補集合」、時には単にA'、「Aプライム」とも呼ばれる）は、 Uの要素のうちAの要素ではないすべての要素の集合です。したがって、部分集合のセクションで定義したようにR、Z、Oを用いると、 Zが全体集合であればO ^Cは偶数の集合となり、Rが全体集合であればO ^Cは偶数であるか、または整数ではない実数すべての集合となります。

和集合、積集合、および相対補集合

2つの集合AとBが与えられたとき、それらの和集合は、 AまたはBの要素、あるいはその両方に属するすべての対象からなる集合である（和集合の公理を参照）。これは $A \cup B$ と表記される。

AとBの共通部分は、 AにもBにも含まれるすべてのオブジェクトの集合です。これは $A$ $\cap$ $B$ と表記されます。

最後に、Aに対するBの相対補集合（集合論的なAとBの差とも呼ばれる）は、 Aには属するがBには属さないすべての対象の集合です。これは $A$ $∖$ $B$ または $A$ $-$ $B$ と表記されます。

象徴的に言えば、これらはそれぞれ

A \cup B := {x | (x \in A) \lor (x \in B)}

;

A \cap B := {x | (x \in A) \land (x \in B)} = {x \in A | x \in B} = {x \in B | x \in A}

;

A ∖ B := {x | (x \in A) \land \neg (x \in B) } = {x \in A | \neg (x \in B)}

。

$A$ $∖$ $B$ が意味を持つためには、集合BがAの部分集合である必要はありません。これは、前のセクションで説明した相対補集合と絶対補集合 ( $A$ $C$ $=$ $U$ $∖$ $A$ )の違いです。

これらの考え方を説明するために、A を左利きの人の集合、B を金髪の人の集合とします。すると、 $A \cap B は$ 左利きで金髪の人の集合であり、 $A \cup B$ は左利きか金髪か、あるいはその両方である人の集合となります。一方、 $A ∖ B$ は左利きだが金髪ではない人の集合であり、 $B ∖ A$ は金髪だが左利きではない人の集合となります。

ここで、E をすべての人間の集合とし、F を1000 歳以上のすべての生物の集合とします。この場合、 $E \cap F$ はどうなりますか? 生きている人間で1000 歳以上のものはいないので、 $E \cap F は$ 空集合{}になります。

任意の集合Aに対して、冪集合 $P(A)$ これは、和集合と積集合の演算に基づくブール代数です。

順序対とデカルト積

直感的に言えば、順序対とは、一方を第1要素、他方を第2要素として区別できる2つのオブジェクトの集合であり、2つの順序対が等しいのは、それらの第1要素が等しく、かつ第2要素が等しい場合に限るという基本的な性質を持つ。

形式的には、第 1 座標がa、第 2 座標がbである順序対( a , b ) は、次の集合として定義できます。 $\{\{a\},\{a,b\}\}.$

したがって、2 つの順序対 ( a , b ) と ( c , d ) が等しいのは、 $a = c$ かつ $b = d$ の場合のみである。

あるいは、順序対は、全順序を持つ集合 {a,b} として形式的に考えることができる。

（表記（a , b ）は実数直線上の開区間を表すためにも使用されますが、文脈からどちらの意味が意図されているかが明確になるはずです。そうでない場合は、開区間を表すために表記 ] a , b [ が使用され、（ a , b）は順序対を表すために使用されます。）

AとBが集合である場合、デカルト積（または単に積）は次のように定義されます。

A \times B = {(a, b) | a \in A かつ b \in B}。

つまり、 $A \times B$ は、最初の座標がAの要素であり、2 番目の座標がBの要素であるすべての順序対の集合です。

$この定義は、順序付き三つ組の集合A \times B \times C$ に拡張でき、さらに一般的には、任意の正の整数nに対する順序付きn 組の集合にも拡張できます。無限のデカルト積を定義することも可能ですが、そのためには積のより複雑な定義が必要となります。

デカルト積は、解析幾何学の文脈でルネ・デカルトによって初めて開発されました。R がすべての実数の集合を表す場合、R 2 : $=$ $R$ $\times$ $R$ $は$ $ユークリッド$ 平面を表し、 $R$ $3$ $:=$ $R$ $\times$ $R$ $\times$ $R$ は 3 次元ユークリッド空間を表します。

いくつかの重要なセット

表記法がほぼ普遍的に用いられている集合がいくつか存在する。以下にその一部を示す。このリストにおいて、a、b、cは自然数を表し、rとsは実数を表す。

自然数は数えるために使われます。黒板の太字の大文字N（ $\mathbb {N}$ ) はしばしばこの集合を表す。
整数は、x + a = bのような方程式のxの解として現れます。黒板の太字の大文字Z ( $\mathbb {Z}$ ) はしばしばこの集合を表します (ドイツ語のZahlen、つまり数字)。
有理数は、a + bx = cのような方程式の解として現れます。黒板の太字の大文字Q ( $\mathbb {Q}$ ) はしばしばこの集合を表します (商の場合、R は実数の集合に使用されるため)。
代数的数は、（整数係数を持つ）多項式方程式の解として現れ、根号（を含む）を含む場合があります。 $i={\sqrt {-1\,}}$ ）およびその他の特定の無理数。上線付きのQ （ ${\overline {\mathbb {Q} }}$ ) はしばしばこの集合を表します。上線は代数的閉包の演算を表します。
実数は「実数直線」を表し、有理数で近似できるすべての数を含みます。これらの数は有理数または代数数である場合もありますが、有理係数を持つ多項式方程式の解として現れない超越数である場合もあります。黒板の太字大文字R ( $\mathbb {R}$ ) はしばしばこの集合を表す。
複素数は、実数と虚数の和である。 $r+s\,i$ . ここでも $r$ または $s$ （あるいは両方）はゼロになる可能性がある。したがって、実数の集合と厳密に虚数の集合は複素数の集合の部分集合であり、複素数は実数の集合の代数的閉包を形成する。つまり、係数がの多項式はすべて $\mathbb {R}$ このセットには少なくとも 1 つのルートがあります。黒板の太字の大文字C ( $\mathbb {C}$ ) はしばしばこの集合を表します。数値は $r+s\,i$ ポイントで識別できる $(r,s)$ 飛行機の中で、 $\mathbb {C}$ 基本的にデカルト積と「同じ」 $\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ （「同じ」とは、一方の任意の点が他方の一意の点を決定し、計算結果に関しては、乗法規則が適切であれば、どちらを使用しても構わないという意味です。） $\mathbb {C}$ )

初期集合論におけるパラドックス

集合の無制限形成原理は無制限理解の公理図式と呼ばれ、

P

がプロパティである場合、集合

Y = {x : P (x)}

が存在する。^{[ 19 ]}

これは、初期に現れたいくつかのパラドックスの源泉である。

$Y = {x | x は順序数} は$ 、1897 年に、最初に発表されたアンチノミーであるブラリ＝フォルティのパラドックスにつながりました。
$Y = {x | x は基数}$ は1897 年にカントールのパラドックスを生み出した^{。 [ 9 ]}
$Y = {x | {} = {}} は、$ 1899 年にカントールの 2 番目のアンチノミーを生み出した^{。 [ 11 ]}ここでは、性質 $P は$ $x$ が何であっても $すべてのx$ に対して真であるため、 $Y はすべてを含む$ 普遍集合となる。
$Y = {x | x \notin x}$ 、つまり自身を要素として含まないすべての集合の集合は、 1902年にラッセルのパラドックスを生み出した。

無制限理解の公理図式が、指定の公理図式または分離の公理図式に弱められる場合、

P

が性質である場合、任意の集合

X

に対して集合

Y = {x \in X : P (x)}

が存在する、^{[ 19 ]}

すると、上記のパラドックスはすべて解消される。^{[ 19 ]}系がある。分離の公理図式を理論の公理とすると、理論の定理として次のことが導かれる。

すべての集合の集合は存在しない。

$あるいは、もっと劇的に言え$ ば（ハルモスの言い回し^{[ 20 ]} ）：宇宙は存在しない。証明：宇宙が存在すると仮定し、それを $U$ と呼ぶ。ここで、分離の公理図式を $X = U$ に適用し、 $P (x)には$ $x\notinx を$ 使用する。これは再びラッセルのパラドックスにつながる。したがって、この理論では $Uは存在できない。$ ^{[ 19 ]}

上記の構成に関連して、集合の形成がある。

$Y = {x | (x \in x) \to {} \neq {}}$ 、

ここで、含意に続く記述は明らかに偽である。Y の定義から $、$ 通常の推論規則（および下記のリンク先の記事の証明を読んだ際の後付けの考察）を用いると、 $Y \in Y \to {} \neq {}$ と $Y \in Y$ の両方が成り立ち、したがって ${} \neq {}$ となる。これがカリーのパラドックスである。

$（意外に思われるかもしれないが）問題なのは、 x \in x$ の可能性ではない。問題なのは、 $P$ $($ $x$ $)$ に対して $(x \in x) \to {} \neq {} を$ 許容する無制限理解の公理図式である。無制限理解の代わりに仕様の公理図式を用いると、結論 $Y$ $\in$ $Y$ は成り立たず、したがって ${} \neq {}$ は論理的な帰結ではない。

$それにもかかわらず、 x \in x$ の可能性は、しばしば明示的に^{[ 21 ]}または、例えば ZFC では暗黙的に^{[ 22 ]} 、正則性の公理が成り立つことを要求することによって排除される。 ^{[ 22 ]}一つの帰結は、

X

\in

X

となる集合

X

は存在しない。

つまり、どの集合もそれ自身を要素とすることはない。^{[ 23 ]}

分離の公理図式は、単純に弱すぎる（一方、無制限の内包は非常に強い公理であり、集合論には強すぎる）ため、上記で概説した通常の操作と構成で集合論を展開することはできません。^{[ 19 ]}正則性の公理もまた制限的な性質を持っています。したがって、集合論を形成するのに十分な集合の存在を保証するために、他の公理を定式化することにつながります。これらのいくつかは上記で非公式に説明されており、他にも多くの可能性があります。考えられるすべての公理を自由に組み合わせて一貫性のある理論にできるわけではありません。たとえば、 ZFCの選択公理は、考えられる「すべての実数の集合はルベーグ可測である」と両立しません。前者は後者が偽であることを意味します。

注記

↑ 「数学用語の最も古い使用例（S）」 2020年4月14日。
↑ Halmos 1960、素朴集合理論。
↑ジェフ・ミラーは、素朴集合論（公理的集合論とは対照的に）は1940年代に時折使用され、1950年代に確立された用語になったと書いています。それは、ヘルマン・ワイルによるPAシルプ編（1946）「バートランド・ラッセルの哲学」American Mathematical Monthly 53 （ 4）：210のレビューに登場します。また、Laszlo Kalmar によるレビュー ( Laszlo Kalmar (1946). "The Paradox of Kleene and Rosser". Journal of Symbolic Logic . 11 (4): 136.) ^{[ 1 ]}この用語は後にポール・ハルモスの著書で広く知られるようになった。^{[ 2 ]}
↑ Mac Lane, Saunders (1971)、「圏論的代数と集合論的基礎」、公理的集合論（純粋数学シンポジウム議事録、第XIII巻、第I部、カリフォルニア大学ロサンゼルス校、1967年）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 231–240、MR 0282791 「実務に携わる数学者たちは通常、素朴な集合論（おそらくZFとほぼ同等のもの）の観点から考えていた...[新しい基礎体系の]実際的な要件は、基礎研究に精通していない数学者でも「素朴に」この体系を使用できることであるかもしれない」（236ページ）。
↑カントール 1874。
↑ 「ゴットロープ・フレーゲ（スタンフォード哲学百科事典）」。plato.stanford.edu 。 2025年8月30日取得。
↑フレーゲ 1893第2巻、イエナ 1903 年、253-261 頁フレーゲは後書きでアンチオノミーについて論じている。
↑ペアノ 1889公理 52 章。 IV は矛盾を生み出します。
1 2カントールからデイヴィッド・ヒルベルトへの1897年9月26日付の手紙、メシュコフスキー＆ニルソン 1991年p.388。
↑カントールからリヒャルト・デデキントへの手紙、1899年8月3日、メシュコフスキー＆ニルソン 1991年、408ページ。
1 2カントールからリヒャルト・デデキントへの1899年8月3日と1899年8月30日の手紙、ツェルメロ 1932 p. 448 (System aller denkbaren Klassen) およびメシュコフスキー&ニルソン 1991 p. 407。(すべての集合の集合は存在しない。)
↑より正確には、その自然な解釈が理論自身の一貫性を主張する特定の文（システム内）を証明することはできない。
↑ FR ドレイク、『集合論：大きな基数への入門』（1974年）。ISBN 0 444 10535 2。
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↑バウマン H、ブローシュ G、デューク W、アイハウアー R、エルスター KH、フライアー M、ゲルトナー KH、ケルト H、ラング R、オットー C、パッツァー H、ルンゲ W、ザックス H、ショーホ M、シュトロエ HG、ヴァイス M (1975)。「Grundbegriffe der Mengenlehre」[集合論の基本概念]。 Körth H、Otto C、Runge W、Schoch M、Adler W (編著)。Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften [経済学のための数学の教科書] (ドイツ語) (第 3版)。ベルリン: VS Verlag für Sozialwissenschaften Wiesbaden。秒ズサンメンファッスン。 p. 49(2)。土井: 10.1007/978-3-322-87545-7。ISBN 978-3-531-11210-7。OL 28281352M。2026 年 4 月 12 日にオリジナルからアーカイブされました。2026 年 4 月 12 日に取得。 p. 49: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohluntersehiedener Objekte unserer Ansehauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen
↑ハルモス 1974、p. 9。
↑ハルモス 1974、p. 10。
1 2 3 4 5 Jech 2002、p. 4。
↑ハルモス 1974、第2章。
↑ハルモス 1974、ラッセルのパラドックスに関する議論を参照。
1 2 Jech 2002、セクション 1.6。
↑ Jech 2002、p. 61。

参考文献

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ファン・ヘイエノールト、J.、『フレーゲからゲーデルまで：数学論理学資料集、1879-1931年』、ハーバード大学出版局、マサチューセッツ州ケンブリッジ、1967年。1977年に訂正版が再版された。ISBN 0-674-32449-8。
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外部リンク

セント・アンドリュース大学の集合論入門ページ
数学用語の最も古い使用例（S）

[1] 「数学用語の最も古い使用例（S）」 2020年4月14日。

[FOOTNOTEHalmos1960''Naive_Set_Theory''-2] Halmos 1960、素朴集合理論。

[3] ジェフ・ミラーは、素朴集合論（公理的集合論とは対照的に）は1940年代に時折使用され、1950年代に確立された用語になったと書いています。それは、ヘルマン・ワイルによるPAシルプ編（1946）「バートランド・ラッセルの哲学」American Mathematical Monthly 53 （ 4）：210のレビューに登場します。また、Laszlo Kalmar によるレビュー ( Laszlo Kalmar (1946). "The Paradox of Kleene and Rosser". Journal of Symbolic Logic . 11 (4): 136.) ^{[ 1 ]}この用語は後にポール・ハルモスの著書で広く知られるようになった。^{[ 2 ]}

[4] Mac Lane, Saunders (1971)、「圏論的代数と集合論的基礎」、公理的集合論（純粋数学シンポジウム議事録、第XIII巻、第I部、カリフォルニア大学ロサンゼルス校、1967年）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 231–240、MR 0282791 「実務に携わる数学者たちは通常、素朴な集合論（おそらくZFとほぼ同等のもの）の観点から考えていた...[新しい基礎体系の]実際的な要件は、基礎研究に精通していない数学者でも「素朴に」この体系を使用できることであるかもしれない」（236ページ）。

[FOOTNOTECantor1874-5] カントール 1874。

[6] 「ゴットロープ・フレーゲ（スタンフォード哲学百科事典）」。plato.stanford.edu 。 2025年8月30日取得。

[7] フレーゲ 1893第2巻、イエナ 1903 年、253-261 頁フレーゲは後書きでアンチオノミーについて論じている。

[8] ペアノ 1889公理 52 章。 IV は矛盾を生み出します。

[Letter_to_Hilbert-9] 1 2カントールからデイヴィッド・ヒルベルトへの1897年9月26日付の手紙、メシュコフスキー＆ニルソン 1991年p.388。

[10] カントールからリヒャルト・デデキントへの手紙、1899年8月3日、メシュコフスキー＆ニルソン 1991年、408ページ。

[Letters_to_Dedekind-11] 1 2カントールからリヒャルト・デデキントへの1899年8月3日と1899年8月30日の手紙、ツェルメロ 1932 p. 448 (System aller denkbaren Klassen) およびメシュコフスキー&ニルソン 1991 p. 407。(すべての集合の集合は存在しない。)

[12] より正確には、その自然な解釈が理論自身の一貫性を主張する特定の文（システム内）を証明することはできない。

[13] FR ドレイク、『集合論：大きな基数への入門』（1974年）。ISBN 0 444 10535 2。

[14] カントール、ゲオルグ(1895 年 3 月)。ハレで書かれたもの。「Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre」[超有限数理論の創設への貢献] (PDF)。Mathematische Annalen (ドイツ語)。46 (4)。ライプツィヒ、ドイツ: BG Teubner (1895 年 11 月 7 日発行)。ページ 481–512 (2–33)。土井：10.1007/BF02124929。ISSN 0025-5831。OCLC 10955667990。S2CID 125716327。GDZPPN00225557X。2026-04-01 のオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2026 年 4 月 7 日に取得– Göttinger Digitalisierungszentrum経由。 p. 481: Unter einer `Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die `Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen。

[15] Jourdain, Philip EB (1915) [オリジナルはドイツ語で作曲、1895 年 3 月。Mathematische Annalen、Band 46、Heft 4:1895]。「超有限数理論の創設への貢献」。Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (PDF)。カントール、ゲオルク著ハレにて執筆。数学アンナレン。 Vol. 46 (4)。イギリス、ロンドン: Open Court Publishing Company。 85–136 (101–152) ページ。LCCN 15019614。OCLC 817921。OL 6580010M 。2026 年 4 月 11 日に取得。 p. 85: 「集合体」（Menge ）とは、私たちの直観や思考における明確で個別の対象 m の集合を全体（Zusammenfassung zu einem Ganzen）Mにまとめたものを指す。これらの対象はM の「要素」と呼ばれる。

[16] バウマン H、ブローシュ G、デューク W、アイハウアー R、エルスター KH、フライアー M、ゲルトナー KH、ケルト H、ラング R、オットー C、パッツァー H、ルンゲ W、ザックス H、ショーホ M、シュトロエ HG、ヴァイス M (1975)。「Grundbegriffe der Mengenlehre」[集合論の基本概念]。 Körth H、Otto C、Runge W、Schoch M、Adler W (編著)。Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften [経済学のための数学の教科書] (ドイツ語) (第 3版)。ベルリン: VS Verlag für Sozialwissenschaften Wiesbaden。秒ズサンメンファッスン。 p. 49(2)。土井: 10.1007/978-3-322-87545-7。ISBN 978-3-531-11210-7。OL 28281352M。2026 年 4 月 12 日にオリジナルからアーカイブされました。2026 年 4 月 12 日に取得。 p. 49: Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohluntersehiedener Objekte unserer Ansehauung oder unseres Denkens – welche die Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen

[FOOTNOTEHalmos19749-17] ハルモス 1974、p. 9。

[FOOTNOTEHalmos197410-18] ハルモス 1974、p. 10。

[FOOTNOTEJech20024-19] 1 2 3 4 5 Jech 2002、p. 4。

[FOOTNOTEHalmos1974Chapter_2-20] ハルモス 1974、第2章。

[FOOTNOTEHalmos1974See_discussion_around_Russell's_paradox-21] ハルモス 1974、ラッセルのパラドックスに関する議論を参照。

[FOOTNOTEJech2002Section_1.6-22] 1 2 Jech 2002、セクション 1.6。

[FOOTNOTEJech200261-23] Jech 2002、p. 61。

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