数学におけるカテゴリの種類
数学 、特に 圏論 において 、 閉モノイド圏 （または モノイド閉圏 ）は、 構造が互換性があるような形で
モノイド圏 と 閉圏の 両方である 圏である。
典型的な例としては 、 集合 のカテゴリ Set が あります。ここで、集合と のモノイド積 は 通常の 直積 であり、 内部 Hom は から への 関数 の集合です 。非 直積の 例としては、 体 上の ベクトル空間のカテゴリ K -Vect があります 。ここで、モノイド積 は通常の ベクトル空間 の テンソル積 であり、内部 Hom は1 つのベクトル空間から別のベクトル空間への 線型写像 のベクトル空間です。
あ
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
あ × B
{\displaystyle A\times B}
B
あ
{\displaystyle B^{A}}
あ
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
け
{\displaystyle K}
閉じた対称モノイド圏の 内部言語は 線型 論理 であり、 型システムは 線型型システム である 。閉じたモノイド圏の多くの例は 対称的 である。しかし、これは常に当てはまるとは限らず、 言語学 の圏論的定式化では非対称モノイド圏に遭遇することがある。大まかに言えば、これは自然言語の語順が重要であるためである。
意味 閉じたモノイド圏 とは、 任意 のオブジェクト に対して 、右テンソルで与えられる 関数 が
Ｃ
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
B
{\displaystyle B}
B
{\displaystyle B}
あ ↦ あ ⊗ B
{\displaystyle A\mapsto A\otimes B}
右の随伴関数 は 、次のように書かれる。
あ ↦ （ B ⇒ あ ） 。
{\displaystyle A\mapsto (B\Rightarrow A).}
これは、ホム集合の間に「 カリー化 」 と呼ばれる一対一関係が存在することを意味する。
ホム
Ｃ
（ あ ⊗ B 、 Ｃ ） ≅
ホム
Ｃ
（ あ 、 B ⇒ Ｃ ）
{\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C)}
これはA と C の 両方で自然である 。異なるが一般的な表記法では、関数
− ⊗ B :
Ｃ
→
Ｃ
{\displaystyle -\otimes B:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
右副項を持つ
[
B
,
−
]
:
C
→
C
{\displaystyle [B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
同様に、閉モノイドカテゴリ とは、任意の2つのオブジェクト A と B に対して、
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
オブジェクト 、
A
⇒
B
{\displaystyle A\Rightarrow B}
射影 、
e
v
a
l
A
,
B
:
(
A
⇒
B
)
⊗
A
→
B
{\displaystyle \mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B}
は、次の普遍的性質を満たす：すべての射影に対して
f
:
X
⊗
A
→
B
{\displaystyle f:X\otimes A\to B}
唯一の射影が存在する
h
:
X
→
A
⇒
B
{\displaystyle h:X\to A\Rightarrow B}
そのような
f
=
e
v
a
l
A
,
B
∘
(
h
⊗
i
d
A
)
.
{\displaystyle f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).}
この構成は関数 を定義すること が示せます [ 要出典 ] 。この関数は 内部 Hom 関数 と呼ばれ、オブジェクトは および の 内部 Hom と呼ばれます 。内部 Hom には、他の多くの表記法が一般的に使用されています。 上のテンソル積が 直積である場合、通常の表記法は であり、このオブジェクトは 指数オブジェクト と呼ばれます 。
⇒:
C
o
p
×
C
→
C
{\displaystyle \Rightarrow :{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
A
⇒
B
{\displaystyle A\Rightarrow B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
B
A
{\displaystyle B^{A}}
双閉カテゴリと対称カテゴリ 厳密に言えば、任意のオブジェクトとの 右 テンソル化には右随伴関数があることを要求したため、 右閉 モノイドカテゴリを定義しました 。 左閉 モノイドカテゴリでは、代わりに任意のオブジェクトとの左テンソル化の関数が
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
B
↦
A
⊗
B
{\displaystyle B\mapsto A\otimes B}
右の副詞を持つ
B
↦
(
B
⇐
A
)
{\displaystyle B\mapsto (B\Leftarrow A)}
双 閉 モノイドカテゴリは、左と右の両方が閉じているモノイドカテゴリです。
対称 モノイド圏は 、右閉である場合に限り、左閉です。したがって、左閉か右閉かを指定せずに、「対称モノイド閉圏」について安全に話すことができます。実際、同じことがより一般的には 編み込みモノイド圏 にも当てはまります。編み込みにより は 自然に と同型になるため 、左側のテンソル化と右側のテンソル化の区別は重要ではなくなり、したがって、すべての右閉編み込みモノイド圏は標準的な方法で左閉になり、その逆も同様です。
A
⊗
B
{\displaystyle A\otimes B}
B
⊗
A
{\displaystyle B\otimes A}
我々は、閉モノイド圏を、追加の特性を持つモノイド圏として説明しました。閉モノイド圏を、追加の特性を持つ 閉圏として定義することも同等です。つまり、 内部 Hom 関手 に 左 随伴する テンソル積 の存在を要求できます。このアプローチでは、閉モノイド圏は モノイド閉圏 とも呼ばれます 。 [ 要出典 ]
例 モノイド構造が直積構造である場合、 すべての 直積閉カテゴリは対称なモノイド閉カテゴリです。内部 Hom 関手は 指数オブジェクト によって与えられます。
B
A
{\displaystyle B^{A}}
特に、 集合 のカテゴリ Set は対称で閉じたモノイド カテゴリです。ここで、内部 Hom はから へ の関数の集合です 。
A
⇒
B
{\displaystyle A\Rightarrow B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
可換環 R 上の R -Mod 加群のカテゴリは 、 非 直交対称モノイド閉カテゴリです。モノイド積は 加群のテンソル積 で与えられ、内部 Hom は 自然な R -加群構造を持つ R -線型写像 の空間で与えられます 。
M
⇒
N
{\displaystyle M\Rightarrow N}
Hom
R
(
M
,
N
)
{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}
特に、体上のベクトル空間のカテゴリは 対称的な閉じたモノイドカテゴリです。
K
{\displaystyle K}
アーベル群は Z 加群とみなすことができる ため、 アーベル群のカテゴリ も対称的な閉じたモノイドカテゴリになります。 対称 コンパクト閉カテゴリは 、内部 Hom 関手 が で与えられる対称モノイド閉カテゴリです 。標準的な例は、有限次元ベクトル空間のカテゴリ FdVect です。
A
⇒
B
{\displaystyle A\Rightarrow B}
A
∗
⊗
B
{\displaystyle A^{*}\otimes B}
反例 環のカテゴリは 、 環 のテンソル積 の下で対称なモノイド カテゴリであり 、は 単位オブジェクトとして機能します。このカテゴリは閉じて いません 。閉じている場合は、任意の環のペアの間には 1 つの準同型が存在することになります。同じことが 、 可換環 R 上の R 代数 のカテゴリにも当てはまります 。
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Hom
(
R
,
S
)
≅
Hom
(
Z
⊗
R
,
S
)
≅
Hom
(
Z
,
R
⇒
S
)
≅
{
∙
}
{\displaystyle \operatorname {Hom} (R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} \otimes R,S)\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,R\Rightarrow S)\cong \{\bullet \}}
参照
参考文献 ケリー、GM (1982)。強化されたカテゴリー理論の基本概念 (PDF) 。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第64巻。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-0-521-28702-9 . OCLC 1015056596. メリエス、ポールアンドレ (2009)。 「線形論理のカテゴリー意味論」 (PDF) 。 パノラマと合成 。 27 : 1–197。 CiteSeerX 10.1.1.62.5117 。 n ラボ における閉じたモノイドカテゴリ 
![{\displaystyle [B,-]:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479e1042d28f4ea82ab82253bb0c41e57c96d757)
