ダガー対称モノイドカテゴリ

数学の分野である圏論において、ダガー対称モノイド圏は、ダガー構造も持つモノイド圏 である。つまり、この圏は圏論的な意味でのテンソル積だけでなく、ダガー構造も備えており、これは有限次元ヒルベルト空間の圏であるFdHilbに見られるものの抽象的な類似体におけるユニタリー射と自己随伴射を記述するために使用される。このタイプの圏は、ピーター・セリンジャー^{[1]によって、}ダガー圏と圏論的量子力学で使用されるダガーコンパクト圏の中間構造として導入され、この分野では、現在では無限次元の量子力学概念を扱う際にもダガー対称モノイド圏が考慮されるようになっている。 ${\displaystyle \langle \mathbf {C} ,\otimes ,I\rangle }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

ダガー対称モノイド圏は、すべての、およびのすべてのに対して、となるようなダガー構造も持つ対称モノイド圏 である。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle g:C\rightarrow D}$${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle Ob(\mathbf {C} )}$

• ${\displaystyle (f\otimes g)^{\dagger }=f^{\dagger }\otimes g^{\dagger }:B\otimes D\rightarrow A\otimes C}$;
• ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}^{\dagger }=\alpha _{A,B,C}^{-1}:A\otimes (B\otimes C)\rightarrow (A\otimes B)\otimes C}$;
• ${\displaystyle \rho _{A}^{\dagger }=\rho _{A}^{-1}:A\rightarrow A\otimes I}$;
• ${\displaystyle \lambda _{A}^{\dagger }=\lambda _{A}^{-1}:A\rightarrow I\otimes A}$そして
• ${\displaystyle \sigma _{A,B}^{\dagger }=\sigma _{A,B}^{-1}:B\otimes A\rightarrow A\otimes B}$。

ここで、および は対称モノイド構造を形成する自然同型です。 ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\rho }$${\displaystyle \sigma }$

次のカテゴリは、ダガー対称モノイドカテゴリの例です。

• テンソルが積によって与えられ、関係のダガーがその関係逆によって与えられる集合と関係のカテゴリ Rel 。
• 有限次元ヒルベルト空間のカテゴリFdHilbは 、テンソルがヒルベルト空間の通常のテンソル積であり、線型写像のダガーがそのエルミート随伴写像によって与えられる、ダガー対称モノイドカテゴリです。

ダガー対称モノイドカテゴリであり、コンパクト閉でもあるものはダガーコンパクトカテゴリです。上記の例は両方とも、実際にはダガーコンパクトです。

• 強くリボンカテゴリー