慣性モーメント

数学的に、単振り子の慣性モーメントは、振り子の支点周りの重力によるトルクと、その支点周りの角加速度の比です。単振り子の場合、これは粒子の質量と粒子の質量の積に等しくなります。${\displaystyle m}$距離の二乗とともに${\displaystyle r}$支点へ、つまり $${\displaystyle I=mr^{2}.}$$

これは以下のように示すことができます。

単純振り子の質量に働く重力はトルクを発生させる。$\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$振り子の運動面に対して垂直な軸を中心に。${\displaystyle \mathbf {r} }$はトルク軸から振り子の重心までの距離ベクトルであり、${\displaystyle \mathbf {F} }$は質量にかかる正味の力です。このトルクには角加速度が伴います。${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$この軸の周りの弦と質量の運動。質量は円に拘束されているため、質量の接線方向の加速度は${\displaystyle \mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} }$。 以来${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$トルク方程式は次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$は振り子の平面に垂直な単位ベクトルです。（最後から2番目のステップでは、垂直性を持つベクトル三重積展開を使用します。）${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$そして${\displaystyle \mathbf {r} }$）数量${\displaystyle I=mr^{2}}$これは、この単一の質量が支点を中心として運動する際の慣性モーメントです。

数量${\displaystyle I=mr^{2}}$また、単振り子の角運動量にも現れ、これは速度から計算される。${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$支点周りの振り子の質量の${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$は、支点周りの質量の 角速度です。この角運動量は次式で与えられます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}}$$ 前の式と同様の導出方法を用いる。

同様に、振り子の質量の運動エネルギーは、支点周りの振り子の速度によって定義され、 $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.}$$

これは、その量が${\displaystyle I=mr^{2}}$質量と物体の形状がどのように組み合わさって回転慣性を定義するかを示します。任意の形状の物体の慣性モーメントは、以下の値の合計です。${\displaystyle mr^{2}}$身体内のすべての質量要素について。

複合振り子は、連続形状の粒子の集合体から形成され、支点を中心に剛体回転する物体です。その慣性モーメントは、それを構成する各粒子の慣性モーメントの合計です。^{[ 15 ] [ 16 ]： 395–396 [ 17 ]： 51–53}固有振動数（${\displaystyle \omega _{\text{n}}}$複合振り子の ) は、その慣性モーメントに依存します。${\displaystyle I_{P}}$、 $${\displaystyle \omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},}$$ どこ${\displaystyle m}$は物体の質量であり、${\displaystyle g}$は局所的な重力加速度であり、${\displaystyle r}$は、支点から物体の重心までの距離である。小さな角変位におけるこの振動周波数を測定することで、物体の慣性モーメントを効果的に測定することができる。^{[ 18 ]： 516-517}

したがって、物体の慣性モーメントを求めるには、都合の良い支点から物体を吊り下げるだけでよい。${\displaystyle P}$目的の慣性モーメントの方向に対して垂直な平面内で自由に揺れるようにして、その固有振動数または振動周期を測定します（${\displaystyle t}$）を得るために $${\displaystyle I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},}$$ どこ${\displaystyle t}$は振動の周期（継続時間）であり（通常は複数の周期にわたって平均化される）。

物体の軸に関する慣性モーメントは、以下の式を合計することで計算されます。${\displaystyle mr^{2}}$体内のあらゆる粒子について、${\displaystyle r}$は指定された軸までの垂直距離です。拡張体の運動の研究において慣性モーメントがどのように生じるかを見るには、質点の剛体集合体を考えるのが便利です。（この式は主軸ではない軸にも使用できますが、慣性モーメントを完全に記述するものではないことを理解しておく必要があります。^{[ 22 ]}）

集合体の運動エネルギーを考えてみましょう。${\displaystyle N}$大衆${\displaystyle m_{i}}$距離の${\displaystyle r_{i}}$支点から${\displaystyle P}$これは回転軸上の最も近い点です。これは個々の質量の運動エネルギーの合計です。^{[ 18 ] : 516–517 [ 23 ] : 1084–1085 [ 23 ] : 1296–1300}$${\displaystyle E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

これは、物体の慣性モーメントが、${\displaystyle mr^{2}}$つまり、 $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.}$$

つまり、慣性モーメントとは、回転軸周りの粒子の質量と分布を組み合わせた物理的性質である。同じ物体でも、回転軸が異なると慣性モーメントも異なることに注意が必要である。

特定の軸を中心に回転する連続体の慣性モーメントは、無限個の点粒子を用いる点を除いて、同様の方法で計算されます。したがって、総和の範囲は除外され、総和は次のように表されます。 $${\displaystyle I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}}$$

別の表現では、総和を積分に置き換えています。 $${\displaystyle I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV}$$

ここで、関数${\displaystyle \rho }$各点における質量密度を示す${\displaystyle (x,y,z)}$、${\displaystyle \mathbf {r} }$は回転軸に垂直で、回転軸上の点から点まで伸びるベクトルです。${\displaystyle (x,y,z)}$固体中では、積分は体積全体にわたって評価される。${\displaystyle V}$体の${\displaystyle Q}$平面の慣性モーメントは、質量密度を面積質量密度に置き換え、その面積にわたって積分することで同様の値が得られます。

断面二次モーメントに関する注記：平面内を運動する物体の慣性モーメントと梁の断面の断面二次モーメントはしばしば混同されます。断面形状を持つ物体の慣性モーメントは、この断面の断面二次モーメントです。${\displaystyle z}$断面に垂直な軸の、その密度で重み付けされた値。これは面積の極モーメントとも呼ばれ、 の周りの2次モーメントの合計です。${\displaystyle x}$- そして${\displaystyle y}$-軸。^{[ 24 ]}梁の応力は、断面の2次モーメントを使用して計算されます。${\displaystyle x}$-軸または${\displaystyle y}$荷重に応じて軸が変化する。

例

細い棒の端に取り付けられた薄い円盤が棒のもう一方の端にある支点を中心に振動する複合振り子の慣性モーメントは、細い棒と薄い円盤それぞれの重心周りの慣性モーメントの計算から始まる。 ^{[ 23 ]}

• 断面積が一定の細い棒の慣性モーメント${\displaystyle s}$密度${\displaystyle \rho }$そして長さも${\displaystyle \ell }$重心を通る垂直軸に関する座標は積分によって決定される 。^{[ 23 ]： 1301}${\displaystyle x}$ロッドと軸を合わせ、原点をロッドの中心にある重心に置くと、$${\displaystyle I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},}$$どこ${\displaystyle m=\rho s\ell }$は棒の質量です。
• 厚さが一定の薄い円盤の慣性モーメント${\displaystyle s}$半径${\displaystyle R}$密度${\displaystyle \rho }$中心を通る軸（回転対称軸に平行）に関する回転は積分によって決定される。^{[ 23 ]： 1301} 整列${\displaystyle z}$ディスクの軸と平行な軸を設定し、体積要素を次のように定義します。${\displaystyle dV=sr\,dr\,d\theta }$、 それから$${\displaystyle I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =\pi \rho s{\frac {R^{4}}{2}}={\frac {1}{2}}mR^{2},}$$どこ${\displaystyle m=\pi R^{2}\rho s}$その質量です。
• 複合振り子の慣性モーメントは、支点周りの棒と円盤の慣性モーメントを合計することによって求められます。${\displaystyle P}$として、$${\displaystyle I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},}$$どこ${\displaystyle L}$は振り子の長さです。ここで、平行軸の定理を用いて、慣性モーメントを質量中心から振り子の支点に移動させていることに注意してください。

標準的な物体形状に対する慣性モーメントの公式一覧を用いることで、より単純な形状の物体の集合体として複雑な物体の慣性モーメントを求めることができる。平行軸の定理を用いて、個々の物体の基準点を集合体の基準点に移動させる。

もう1つの例として、一定密度の固体球の重心を通る軸に関する慣性モーメントを考えてみましょう。これは、検討対象として選択された軸に沿って中心を持つ球を形成できる薄い円盤の慣性モーメントを合計することによって求められます。球の表面が方程式^{[ 23 ]で定義されている場合： 1301}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},}$$

半径の二乗${\displaystyle r}$ディスクの断面${\displaystyle z}$に沿って${\displaystyle z}$-軸は $${\displaystyle r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.}$$

したがって、球の慣性モーメントは、円盤の慣性モーメントの合計である。${\displaystyle z}$-軸、 $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{C,{\text{sphere}}}&=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\pi \rho \left[R^{4}z-{\tfrac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\tfrac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\[1ex]&=\pi \rho \left(1-{\tfrac {2}{3}}+{\tfrac {1}{5}}\right)R^{5}\\[1ex]&={\tfrac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}}$$ どこ${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$は球の質量です。

機械システムが固定された平面に平行に動くように拘束されている場合、システム内の物体の回転は軸を中心に起こる。${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$この平面に垂直な場合、このシステムの質量の慣性モーメントは、極慣性モーメントとして知られるスカラーです。極慣性モーメントの定義は、粒子の剛体システムの平面運動に対する運動量、運動エネルギー、およびニュートンの法則を考慮することによって得られます。^{[ 15 ] [ 18 ] [ 25 ] [ 26 ]}

システムの${\displaystyle n}$粒子、${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$が剛体として組み立てられると、システムの運動量は基準点に対する位置で表すことができる。${\displaystyle \mathbf {R} }$、および絶対速度${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$はシステムの角速度であり、${\displaystyle \mathbf {V} }$速度は${\displaystyle \mathbf {R} }$。

平面運動の場合、角速度ベクトルは単位ベクトルに沿って方向付けられる。${\displaystyle \mathbf {k} }$これは運動平面に垂直です。単位ベクトルを導入します。${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$基準点から${\displaystyle \mathbf {R} }$ある程度まで${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$、そして単位ベクトル${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$、 それで $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}}$$

これは、平面内を移動する粒子の剛体システムにおける相対位置ベクトルと速度ベクトルを定義するものです。

外積に関する注記：物体が地面に平行に運動する場合、物体内のすべての点の軌跡は、この地面に平行な平面上にあります。これは、物体が行う回転は、この平面に垂直な軸を中心に行われる必要があることを意味します。平面運動は、回転軸が点として見えるように、この地面に投影されたものとして表現されることがよくあります。この場合、物体の角速度と角加速度はスカラーであり、それらが回転軸に沿ったベクトルであるという事実は無視されます。これは通常、このトピックの入門として好まれます。しかし、慣性モーメントの場合、質量と幾何学の組み合わせは、外積の幾何学的性質から恩恵を受けます。このため、平面運動に関するこのセクションでは、物体の角速度と角加速度は地面に垂直なベクトルであり、外積演算は空間剛体運動の研究で使用されるものと同じです。

運動エネルギー

平面内を移動する剛体粒子系の運動エネルギーは、^{[ 15 ] [ 18 ]で与えられる。}$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}}$$

基準点を質量の中心とする${\displaystyle \mathbf {C} }$システムの第2項がゼロになるようにし、慣性モーメントを導入する${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$したがって、運動エネルギーは^{[ 23 ]で与えられる： 1084}$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .}$$

慣性モーメント${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$これは物体の極慣性モーメントです。

ニュートンの法則

剛体システムに対するニュートンの法則${\displaystyle n}$粒子、${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$は、基準点における合力とトルクを用いて表すことができる。${\displaystyle \mathbf {R} }$、結果として^{[ 15 ] [ 18 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$これは各粒子の軌跡を表します。

剛体の運動学から粒子の加速度の公式が得られる。${\displaystyle P_{i}}$ポジションに関して${\displaystyle \mathbf {R} }$加速${\displaystyle \mathbf {A} }$参照粒子の角速度ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$角加速度ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$粒子の剛体システムの場合、 $${\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .}$$

平面運動に制限されたシステムの場合、角速度ベクトルと角加速度ベクトルは、${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$運動面に対して垂直であるため、この加速度方程式は簡略化されます。この場合、単位ベクトルを導入することで加速度ベクトルを簡略化できます。${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$基準点から${\displaystyle \mathbf {R} }$ある程度まで${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$そして単位ベクトル${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}}$、 それで $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

これにより、システムにかかる合成トルクは次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0} }$、 そして${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} }$は、すべての粒子に対して平面に垂直な単位ベクトルである。${\displaystyle P_{i}}$。

重心を使用する${\displaystyle \mathbf {C} }$を基準点として、質量中心に対する慣性モーメントを定義する${\displaystyle I_{\mathbf {C} }}$すると、合成トルクの式は^{[ 23 ] : 1029に簡略化される。}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .}$$

なお、外積は、最初のオペランドと演算子を組み合わせて歪対称行列を作成することで、行列乗算として等価に記述できます。${\displaystyle \left[\mathbf {b} \right]}$構成要素から構築${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

慣性行列は、基準点を基準として角運動量を考慮して構築される。${\displaystyle \mathbf {R} }$質量中心として選択された物体の${\displaystyle \mathbf {C} }$: ^{[ 5 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}}$$ 条件には以下が含まれます${\displaystyle \mathbf {V_{R}} }$（${\displaystyle =\mathbf {C} }$)重心の定義により合計はゼロになります。

次に、歪対称行列${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$相対位置ベクトルから得られた${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$定義するために使用できます。 $${\displaystyle \mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$定義される $${\displaystyle \mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},}$$ は、質量中心を基準とした剛体粒子系の対称慣性行列である。${\displaystyle \mathbf {C} }$。

剛体粒子系の運動エネルギーは、重心と系の質量慣性モーメント行列を用いて定式化できる。${\displaystyle n}$粒子${\displaystyle P_{i},i=1,\dots ,n}$座標に位置する${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$速度とともに${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$すると運動エネルギーは^{[ 5 ] [ 8 ]}$${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),}$$ どこ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} }$は、粒子の重心に対する位置ベクトルです。

この方程式を展開すると、3つの項が得られます。 $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).}$$

重心は次のように定義される ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}=0}$ この方程式の第2項はゼロです。歪対称行列を導入します。${\displaystyle [\Delta \mathbf {r} _{i}]}$運動エネルギーは次のようになります $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}}$$

したがって、剛体粒子系の運動エネルギーは次のように与えられる。 $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {I_{C}} }$は質量中心に対する慣性行列であり、${\displaystyle M}$は総質量です。

慣性行列は、粒子の剛体集合にニュートンの第2法則を適用する際に現れます。このシステムにかかる結果トルクは次のようになります。^{[ 5 ] [ 8 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$粒子の加速度${\displaystyle P_{i}}$剛体の運動学から粒子の加速度の公式が得られる。${\displaystyle P_{i}}$ポジションに関して${\displaystyle \mathbf {R} }$加速${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {R} }}$基準点の角速度ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$角加速度ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$剛性システムの場合、 $${\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.}$$

重心を使用する${\displaystyle \mathbf {C} }$を基準点として、歪対称行列を導入する${\displaystyle \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]}$外積を表す${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times }$取得するために $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}}$$

計算では恒等式を使用する $${\displaystyle \Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,}$$以下の証明に示すように、三重交差積のヤコビ恒等式 から得られる。