演算の順序

数学とコンピュータプログラミング において、演算順序とは、与えられた数式 を評価するためにどの演算を最初に実行するかに関する規則を反映した一連の規則です。

これらの規則は、演算の順位付けによって形式化されます。演算の順位は優先順位と呼ばれ、優先順位の高い演算は優先順位の低い演算よりも先に実行されます。計算機は通常、同じ優先順位の演算を左から右に実行しますが、^[1]一部のプログラミング言語や計算機では異なる規則を採用しています。

例えば、乗算は加算よりも優先順位が高く、これは現代の代数記法が導入されて以来ずっとそうである。^{[2] [3]}したがって、式1 + 2 × 3では、乗算が加算の前に実行され、式の値は1 + (2 × 3) = 7となり、(1 + 2) × 3 = 9とはならない。16世紀と17世紀に指数が導入されたとき、指数は加算と乗算の両方よりも優先され、底の右側に上付き文字として配置された。^[2]したがって、3 + 5 ² = 28および3 × 5 ² = 75 となる。

これらの規則は、表記の曖昧さを避け、表記を簡潔に保つために存在します。^[4]優先順位の規則を無視したり、単に強調したりする必要がある場合は、括弧( ) を使用できます。たとえば、(2 + 3) × 4 = 20は加算を乗算の前に強制し、(3 + 5) ² = 64は加算を累乗の前に強制します。数式で複数の括弧のペアが必要な場合 (括弧が入れ子になっている場合など)、混乱を避けるために括弧を他の種類の角括弧に置き換えることができます([2 × (3 + 4)] − 5 = 9 など) 。

これらの規則は、通常の表記法 (中置表記法と呼ばれる) が使用されている場合にのみ意味を持ちます。すべての演算に関数表記法またはポーランド表記法が使用されている場合、演算の順序は表記法自体によって決まります。

演算の順序、つまり式の中で演算が通常実行される順序は、数学、科学、技術、そして多くのコンピュータプログラミング言語で採用されている慣習から生じます。それは次のように要約されます。^{[2] [5]}

1. 括弧
2. 累乗
3. 掛け算と割り算
4. 足し算と引き算

つまり、式を評価するには、最初に括弧内の部分式を評価し、複数のセットがある場合は内側から外側に向かって評価します。括弧内かどうかに関係なく、上記のリストで上位にある演算を最初に適用する必要があります。同じ優先順位の演算は、通常、左から右に評価されます。

各除算を逆数の乗算(逆乗法)に置き換えると、乗算の結合法則と交換法則により、各項の因数を任意の順序で乗算できます。乗算と除算に同じ優先順位が与えられる場合もあれば、乗算が除算よりも高い優先順位が与えられる場合もあります。以下の § 除算と乗算の混合を参照してください。各減算を反対数の加算(加法逆数) に置き換えると、加法の結合法則と交換法則により、項を任意の順序で加算できます。

根号記号 ⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {\vphantom {t}}}}$は、伝統的に、被根号の上にバー（vinculumと呼ばれる）を付加して拡張される（これにより、被根号を括弧で囲む必要がなくなる）。他の関数では、曖昧さを避けるために入力を括弧で囲む。 ^{[6] [7] [a]}入力が単一の数値変数または定数である場合は、括弧を省略できる。^[2] sin x = sin( x )やsin π = sin(π)の場合がそうである。^{[a]伝統的に、この慣習は}単項式 にも拡張される。したがって、sin 3 x = sin(3 x )やsin ⁠1/2⁠ xy = sin( xy /2)ですが、 sin x + y = sin( x ) + yです。これは、 x + yが単項式ではないためです^{。ただし、この規則は普遍的に理解されているわけではなく、明示的な括弧を好む著者もいます。 [b]}計算機やプログラミング言語によっては、関数入力を括弧で囲む必要がありますが、そうでないものもあります。

グループ化の記号は、通常の演算順序を変更するために使用できます。^[2]グループ化された記号は、単一の式として扱うことができます。^[2]グループ化の記号は、結合法則と分配法則を使用して削除できます。また、グループ化の記号内の式が十分に単純化されている場合は、グループ化の記号を削除してもあいまいさが生じないように削除することもできます。

加算の前に乗算する:

${\displaystyle 1+2\times 3=1+6=7.}$

括弧内の部分式が最初に評価されます。

${\displaystyle (1+2)\times 3=3\times 3=9.}$

乗算の前に累乗、減算の前に乗算:

${\displaystyle 1-2\times 3^{4}=1-2\times 81=1-162=-161.}$

式が上付き文字として記述されている場合、上付き文字は基数の上の位置によってグループ化されていると見なされます。

${\displaystyle 1+2^{3+4}=1+2^{7}=1+128=129.}$

ルート シンボルのオペランドはオーバーバーによって決定されます。

${\displaystyle {\sqrt {1+3}}+5={\sqrt {4}}+5=2+5=7.}$

水平の分数線はグループ化のシンボルとしても機能します。

${\displaystyle {\frac {1+2}{3+4}}+5={\frac {3}{7}}+5.}$

括弧はネストすることができ、内側から外側に向かって評価する必要があります。読みやすくするために、外側の括弧を内側の括弧よりも大きくすることができます。または、中括弧{ } や角括弧[ ]などの他のグループ化記号を括弧( )と一緒に使用することもあります。例:

${\displaystyle {\bigl [}(1+2)\div (3+4){\bigr ]}+5=(3\div 7)+5}$

単項演算 「−」 （通常「マイナス」と発音）に関しては異なる慣習がある。書かれた数学書や印刷された数学書では、表現−3 ^2は−（3 ²）＝−9を意味すると解釈される。^{[2] [8]}

一部のアプリケーションやプログラミング言語、特にMicrosoft Excel、PlanMaker（およびその他のスプレッドシートアプリケーション）、プログラミング言語 bcでは、単項演算が二項演算よりも優先されます。つまり、単項マイナスは累乗よりも優先されるため、これらの言語では −3 ^{2 は}(−3) ² = 9と解釈されます。^{[9]これは二項マイナス}演算 '−'には適用されません。たとえば、Microsoft Excel では、数式=-2^2、=-(2)^2および は=0+-2^24 を返しますが、数式=0-2^2、 は=-(2^2)−4 を返します。

'÷'で表される除算と'×'で表される乗算の両方を含む式を解釈するための普遍的な規則はありません。提案されている規則には、演算に等しい優先順位を割り当てて左から右に評価する、または除算を逆数による乗算と同等に扱い、任意の順序で評価する、^[10]すべての乗算を最初に評価してから除算を左から右に評価する、またはそのような表現を避け、代わりに常に明示的な括弧で曖昧さを解消するなどがあります。^[11]

初等教育以外では、割り算の記号「÷」はほとんど使われず、代数分数の使用に置き換えられます。^[12]通常は分子を分母の上に重ねて縦書きされ、グループ化が明確かつ明確になりますが、スラッシュまたはソリダス記号「/」を使用して行内に記述されることもあります。^[13]

並置によって表される乗算（暗黙の乗算とも呼ばれる）は視覚的な単位を作成し、ほとんどの他の演算よりも優先順位が高くなります。学術文献では、明示的な括弧なしでインライン分数が暗黙の乗算と組み合わされた場合、乗算は除算よりも優先順位が高いと慣例的に解釈されるため、たとえば1 / 2 n は、 (1 / 2) ·  nではなく1 / (2 ·  n )を意味すると解釈されます。^{[2] [10] [14] [15]}たとえば、Physical Review誌の原稿提出指示では、乗算が除算よりも優先されると直接述べられており^[16]、これはLandauとLifshitzによるCourse of Theoretical Physics ^{[c]などの物理学の教科書や}Graham、Knuth、PatashnikによるConcrete Mathematicsなどの数学の教科書でも遵守されている慣例です。^{[17]しかし、一部の著者は}a  /  bcのような表現を推奨せず、明示的に括弧a  / ( bc )を使用することを推奨しています。^[3]

より複雑なケースでは、より曖昧になります。例えば、1 / 2 π ( a  +  b )という表記は、 1 / [2 π  · ( a  +  b )]または[1 / (2 π )] · ( a  +  b )のどちらかを意味する可能性があります 。^[18]解釈は文脈に依存する場合があります。Physical Reviewの投稿指示では、 a  /  b  /  cという形式の表現は推奨されていません。より明確な表現である( a  /  b ) /  cまたはa  / ( b  /  c )は曖昧さがありません。^[16]

この曖昧さはインターネットミームの題材にもなっており、例えば「8÷2(2+2)」には2つの矛盾する解釈がある。8÷[2·(2+2)]=1と(8÷2)·(2+2)=16である。^{[15] [19]}数学教育研究者のHung-Hsi Wuは「実生活でこのような計算をすることは決してない」と指摘し、このような不自然な例を「不合理に複雑なルールで言い換えることで、何も知らない人を罠にかけるために考案された一種のGotcha!社交ゲーム」と呼んでいる。^[12]

指数が上付き文字で積み重ねられた記号で示される場合、通常は上から下に向かって作業します。^{[2] [7]}

a ^{b c} = a ^{( b c )}

これは通常、 ( a ^b ) ^cと等しくありません。この規則は、 ( a ^b ) ^c = a ^bcという指数の性質があるため、これに連続指数を使用する必要がないため便利です。

ただし、べき乗がキャレット(^) や矢印(↑)などの明示的な記号で表されている場合、共通の標準はありません。たとえば、Microsoft Excelと計算プログラミング言語MATLAB では( a ^b ) ^cと評価されますが、Google SearchとWolfram Alphaではa ^{( b c )}と評価されます。したがって、最初のケースでは 4,096 と評価され、2 番目のケースでは 262,144 と評価されます。 a^b^c4^3^2

記憶術の頭字語は、生徒が演算の順序を覚えるのを助けるために、小学校でよく教えられる。^{[20] [21]}頭字語PEMDASは、P ar ntheses （指数）、M ultiplication/ Division （除算）、A ddition/ Subtraction（加算/減算）^{[22]の頭文字で、}米国^[23]とフランス^[24]で一般的である。時には、文字が "Please Excuse My Dear Aunt Sally" のような記憶術の文章の単語に展開される。^[25]英国およびその他の連邦諸国は、 B rackets（分数）、O f （除算/乗算）、A ddition/ Subtraction（加算/減算）の頭文字でBODMAS（またはBOMDASの場合もある）を使用することがあり、 "of" は分数の乗算を意味する。^{[26] [27]}時にはOは指数や根を意味するO rderと展開され、^{[27] [28]}または代替記憶法BIDMASのインデックスの代わりにIが使われる。^{[27] [29]}カナダとニュージーランドではBEDMASが一般的である。^[30]

ドイツでは、この規則は単にPunktrechnung vor Strichrechnung (点演算を線演算より先に行う) として教えられており、これは教えられる演算子記号U+00B7 · MIDDLE DOT (乗算)、U+2236 ∶ RATIO (除算)、およびU+002B + PLUS SIGN (加算)、U+2212 − MINUS SIGN (減算) のグラフィカルな形状を指しています。

これらの記憶法は、このように書くと誤解を招く可能性があります。^[25]たとえば、上記の規則のいずれかを「最初に加算、その後に減算」と誤って解釈すると、式^[25] は と誤って評価されますが、正しい評価は です。 の場合、これらの値は異なります。 ${\displaystyle a-b+c}$${\displaystyle a-(b+c)}$${\displaystyle (ab)+c}$${\displaystyle c\neq 0}$

記憶術の頭字語は、演算順序の概念的理解を養わず、その目的や柔軟性に関する生徒の質問に答えていないとして批判されてきた。^{[31] [32]}記憶術の頭字語で演算順序を学習する生徒は、定期的に間違いを犯し、^[33]一部の教員養成課程の生徒も同様である。^[34]生徒が頭字語を正しく学習したとしても、雑学的な暗記に過度に重点を置くと、実質的な数学的内容が排除されてしまう。^[12]頭字語の手順的な適用は、専門家の数学的記法に対する直感的な理解と一致しない。数式記法は、括弧や角括弧以外の方法でグループ化を示し、数式は線形に「順序付けられた」構造ではなく、ツリー状の階層である。さらに、数式を簡略化または評価する順序は一つではなく、特定の式に対する普遍的な標準的な簡略化も存在せず、専門家は都合の良い順序で有効な変換や置換を流暢に適用するため、厳格な手順を学ぶと、学生は数学表記法について誤解を招き、限定的な理解に陥る可能性がある。^[35]

計算機によって演算順序は異なります。^[2]スタックを持たない単純な計算機の多くはチェーン入力を実装しており、ボタン押下順に演算を行い、異なる演算に優先順位を付けずに動作するため、より高度な計算機とは異なる結果になります。たとえば、単純な計算機では、と入力すると1 + 2 × 3 =9と表示されますが、より高度な計算機ではより標準的な優先順位が使用されるため、と入力すると1 + 2 × 3 =7と表示されます。

計算機は指数を左または右に関連付ける場合があります。たとえば、式はTI-92およびTI-30XS MultiViewの「Mathprint モード」ではa ^{( b c )}と解釈されますが、 TI-30XIIおよび TI-30XS MultiView の「クラシック モード」では ( a ^b ) ^cと解釈されます。a^b^c

のような式は、TI-82 ^[3]や多くの最近のカシオ計算機^[36]（fx-9750GIIIなど一部の計算機では設定可能）では 1/(2 x )と解釈されますが、TI-83や 1996 年以降に発売された他のすべての TI 計算機^{[37] [3]} 、および代数表記法を持つすべてのヒューレット・パッカード計算機では (1/2) x と解釈されます。暗黙の乗算の性質上、最初の解釈が一部のユーザーには予想されますが、^[38]後者の解釈は、乗算と除算が同等の優先順位を持つという規則に沿っています。^[3]1/2x

計算機が式をどのように解釈するかが不明な場合は、括弧を使用して曖昧さを排除することができます。^[3]

演算順序は、標準的な数学表記法に中置記法を採用したことにより生じた。中置記法は、そのような規則がないと表記上曖昧になる可能性があるが、後置記法や前置記法では演算順序を必要としない。 ^{[39] [40]したがって、}逆ポーランド記法（RPN）を採用した計算機では、スタックを使用して式を正しい優先順位で入力するため、括弧やモデル固有の実行順序は不要である。^{[25] [22]}

ほとんどのプログラミング言語は、数学で一般的に使用される順序に準拠した優先順位を使用しますが、^[41] APL、Smalltalk、Occam、Maryなどの他の言語には演算子の優先順位規則がありません（APLでは、評価は厳密に右から左であり、Smalltalkでは、評価は厳密に左から右です）。

さらに、多くの演算子は結合的でないため、単一レベル内の順序は通常、左から右にグループ化することで定義され、16/(4/4) = 16ではなく(16/4)/4 = 116/4/4と解釈されます。このような演算子は「左結合」と呼ばれます。例外もあります。たとえば、リストのcons演算に対応する演算子を持つ言語では、通常、演算子を右から左にグループ化します (「右結合」)。たとえば、Haskellでは、です。 1:2:3:4:[] == 1:(2:(3:(4:[]))) == [1,2,3,4]

C言語の作成者であるデニス・リッチーは、C言語の優先順位（C++、Perl、PHPなど、C言語からその規則を借用したプログラミング言語で共有されている）について、ビット演算子を比較演算子の上に移動することが望ましいと述べています。^{[42]多くのプログラマーはこの順序に慣れていますが、} Python ^[43]やRuby ^[44]などの最近の人気言語では、この順序が逆になっています。多くのCスタイルの言語で見られる演算子の相対的な優先順位は次のとおりです。

例:

• !A + !Bは次のように解釈される(!A) + (!B)
• ++A + !Bは次のように解釈される(++A) + (!B)
• A + B * Cは次のように解釈されるA + (B * C)
• A || B && Cは次のように解釈されるA || (B && C)
• A && B == Cは次のように解釈されるA && (B == C)
• A & B == Cは次のように解釈されるA & (B == C)

( Python、Ruby、PARI/GPなどの一般的な言語では、A & B == Cは と解釈されます(A & B) == C。)

複数の言語にコンパイルするソースからソースへのコンパイラーは、言語間で異なる演算順序の問題を明示的に処理する必要があります。たとえば、 Haxe は順序を標準化し、適切な場所に括弧を挿入することでそれを強制します。

二項演算子の優先順位に関するソフトウェア開発者の知識の正確さは、ソースコード内での二項演算子の出現頻度に密接に関係していることがわかっています。^[46]

演算順序は、数世紀にわたって徐々に確立された。乗算が加算より優先されるという規則は、分配法則がこれを自然な階層として暗示するため、1600 年代に代数記法の発展に組み込まれた。1920 年代というごく最近の時代に、数学史家フロリアン・カジョリは、乗算が除算より優先されるべきか、あるいは両者を同等に扱うべきかについて意見の相違があると指摘している。「演算順序」という用語と「PEMDAS/BEDMAS」の記憶法は、標準化された教科書の需要が高まった 19 世紀後半または 20 世紀初頭にようやく公式化された。a/2b のような式で暗黙の乗算が明示的な乗算と除算より優先されるかどうかといった問題に関する曖昧さは、a/(2b) または (a/2)*b と解釈できるが、これは慣習がまだ完全に安定していないことを意味している。^{[47] [48]}

• 一般的な演算子表記（より正式な説明用）
• ハイパーオペレーション
• 論理接続詞#優先順位
• 演算子の結合性
• 演算子のオーバーロード
• C および C++ における演算子の優先順位
• ポーランド語表記
• 逆ポーランド記法

• フォテ、マイケル。トーマス・ウィルク編。 （2015年）。 Keller、Stack und automatisches Gedächtnis – eine Struktur mit Potenzial [セラー、スタック、および自動メモリ – 可能性のある構造] (PDF)。 2014 年 11 月 14 日、ドイツのイエナで開催されたコロキウム（ドイツ語）。ボン: Gesellschaft für Informatik。ISBN 978-3-88579-426-4。

• バーグマン、ジョージ・マーク（2013）。「算術演算の順序、特に48/2（9+3）の問題」カリフォルニア大学数学部。 2020年7月22日閲覧。
• Zachary, Joseph L. (1997)「演算子の優先順位」、科学的プログラミング入門の補足。ユタ大学。Maple ワークシート、Mathematica ノートブック。