多重性（数学）

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数学では、多重集合の要素の多重度は、その要素が多重集合に現れる回数です。たとえば、特定の多項式が特定の点で 根を持つ回数は、その根の多重度です。

重複度の概念は、例外を指定せずに正しくカウントできるようにするために重要です (たとえば、二重根は2 回カウントされます)。したがって、「重複度でカウント」という表現になります。

多重性が無視される場合は、 「異なるルートの数」のように、異なる要素の数を数えることによって、これを強調することができます。ただし、集合(多重集合ではなく) が形成される場合は、常に多重性は自動的に無視され、「異なる」という用語を使用する必要はありません。

素因数分解では、素因数の重複度はその-進評価です。たとえば、整数60の素因数分解は次のようになります。 ${\displaystyle p}$

60 = 2 × 2 × 3 × 5、

素因数2の重複度は2ですが、素因数3と5の重複度はそれぞれ1です。したがって、60 には重複を許容する素因数が 4 つありますが、異なる素因数は 3 つだけです。

を体とし、を係数が の 1 変数多項式とします。 かつ となる多項式が存在する場合、元は の重複根と呼ばれます。の場合、は単根と呼ばれます。の場合、 は重複根と呼ばれます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s(a)\neq 0}$${\displaystyle p(x)=(xa)^{k}s(x)}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle a}$

たとえば、多項式 は1 と −4 を根として持ち、 と書くことができます。これは、 1 が重複度 2 の根であり、 −4 が単純根 (重複度 1) であることを意味します。根の重複度は、代数の基本定理によって、多項式を完全に因数分解したときにこの根が何回出現するかを表します。 ${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$

が多項式の重複根である場合、基礎となる体の特性値がkの約数でない限り、それはその多項式の導関数の重複根であり、その場合には は少なくとも導関数の重複根です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k}$

多項式の判別式は、多項式が多重根を持つ場合にのみ 0 になります。

多項式関数fのグラフは、多項式の実根でx軸に接します。グラフはfの多重根で x 軸に接しますが、単純根では接しません。グラフは奇数の多重根でx軸と交差しますが、偶数の多重根では交差しません。

非ゼロ多項式関数がどこでも非負となるのは、そのすべての根が偶数重複度を持ち、となるような が存在する場合のみです。 ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x_{0})>0}$

1変数解を持つ方程式の場合、重複度は次のように なります。${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x_{*}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$そして${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

言い換えれば、における関数の導関数として定義される微分関数 は、まででゼロになります。これらの微分関数は、におけるマコーレー双対空間と呼ばれるベクトル空間を張ります^[1]。その次元はの零点としての の重複度です。 ${\displaystyle \partial_{j}}$${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$${\displaystyle x_{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k-1}$${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$${\displaystyle x_{*}}$${\displaystyle x_{*}}$${\displaystyle f}$

を変数方程式系とし、解が からまたはから への写像であるとする。また、 における微分関数のマコーレー双対空間が存在し、この空間ではすべての関数が で消失する。このマコーレー双対空間の次元は、方程式 の解の重複度である。マコーレー双対空間は、解における系の重複度構造を形成する。^{[2] [3]}${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle R^{m}}$${\displaystyle C^{n}}$${\displaystyle C^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

例えば、次 の形式の連立方程式の 解は、${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

は多重度3である。なぜならマコーレーの双対空間

${\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

は次元3であり、 は点 における関数に適用された微分関数を表します。 ${\displaystyle \partial _{ij}}$${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$

解が孤立している場合、多重度は常に有限であり、倍解が複素空間での摂動の下で複合多重度を持つ解のクラスターになるという意味で摂動不変であり、多項式システム上の交差多重度と同一である。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

代数幾何学では、代数多様体の 2 つの部分多様体の交差は、既約多様体の有限和です。このような交差の各成分には、交差重複度が付けられます。この概念は、この成分の任意の一般点の近傍で何が起こるかを見ることによって定義できるという意味で局所的です。したがって、一般性を失うことなく、交差重複度を定義するために、2 つのアフィン多様体(アフィン空間の部分多様体) の交差を考慮することができます。

したがって、2 つのアフィン多様体V ₁とV ₂が与えられたとき、V ₁とV ₂の交差の既約成分 W を考えます。d をWの次元とし、P をWの任意の一般点とします。 Pを通る一般的な位置にあるd個の超平面とのWの交差は、単一の点Pに簡約される既約成分を持ちます。したがって、交差の座標環のこの成分における局所環は、素イデアルを1 つだけ持つため、アルティン環になります。したがって、この環は基底体上の有限次元ベクトル空間です。その次元は、 WにおけるV ₁とV ₂の交差重複度です。

この定義により、ベズーの定理とその一般化を正確に述べることができます。

この定義は、多項式の根の重複度を次のように一般化します。多項式fの根は、アフィン直線上の点であり、多項式によって定義される代数集合の成分です。このアフィン集合の座標環は、K がfの係数を含む代数的に閉じた体であるときに表されます。 がfの因数分解である場合、素イデアルにおけるRの局所環は、これはK上のベクトル空間であり、根の重複度を次元として持ちます。 ${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$${\displaystyle m_{i}}$

この交差多重度の定義は、本質的にはジャン＝ピエール・セールの著書「局所代数」によるもので、交差の集合論的成分（孤立成分とも呼ばれる）に対してのみ有効であり、埋め込み成分に対しては有効ではない。埋め込みケースを扱うための理論が開発されている（詳細については交差理論を参照）。

z _{0 を}正則関数 fの根とし、n を z 0 で評価した f の n 次導関数が 0 と異なる最小の正の整数とする。この_とき、z 0に関する^fのべき級数_はn番目の項から^始まり、fは重複度（または「次数」） nの根を持つと言われる 。n = 1の場合 、その根は単純根と呼ばれる。^[4]

有理型関数の零点と極の重複度も定義できます。有理型関数がある場合、点z _{0 の周りの}gとhのテイラー展開を取り、それぞれで最初の非零項を見つけます (項mとnの順序をそれぞれ表します) 。m  =  nの場合、点は非零値を持ちます。の場合、点は重複度の零点です。の場合、点は重複度の極を持ちます。${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$${\displaystyle m>n,}$${\displaystyle m-n.}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle n-m.}$

• Krantz, SG 『複素​​変数ハンドブック』ボストン、マサチューセッツ州：Birkhäuser、1999年。ISBN 0-8176-4011-8。