ほぼマシュー演算子

数理物理学において、エミール・レオナール・マシュー^[2]によって導入されたマシュー演算子^[1]との類似性から名付けられたほぼマシュー演算子は、量子ホール効果の研究で登場する。

${\displaystyle [H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }u](n)=u(n+1)+u(n-1)+2\lambda \cos(2\pi (\omega + n\alpha ))u(n),\,}$

はヒルベルト空間上の自己随伴作用素として作用する。ここにパラメータがある。純粋数学において、その重要性はエルゴード的シュレーディンガー作用素の最もよく理解された例の1つであるという事実に由来する。例えば、バリー・サイモンによる「21世紀のための」シュレーディンガー作用素に関する15の問題のうち3つの問題（現在はすべて解決済み）は、ほぼマシュー作用素を取り上げていた。^{[3]物理学では、ほぼマシュー作用素は}、オーブリー・アンドレ模型のような金属から絶縁体への遷移を研究するために使用できる。 ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \alpha ,\omega \in \mathbb {T} ,\lambda >0}$

の場合、ほぼマシュー演算子はハーパー方程式と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \lambda =1}$

この演算子のスペクトルの構造は、マーク・カックによって初めて推測されました。彼は、次の予想の最初の証明に 10 個のマティーニを提供しました。

すべての、すべての無理数、すべての整数に対して、となるほぼマシュー演算子 のギャップが存在します。ここでは積分された状態密度です。${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n_{1},n_{2}}$${\displaystyle 0<n_{1}+n_{2}a<1}$${\displaystyle k(E)=n_{1}+n_{2}a}$${\displaystyle k(E)}$

この問題は、後に「テン・マティーニ問題」として知られるようになった弱い問題よりも「強い」ため、バリー・サイモンによって「ドライ・テン・マティーニ問題」と名付けられました。 ^[1]

すべての、すべての無理数、およびすべてのに対して、ほぼマシュー演算子のスペクトルはカントール集合です。${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \omega}$

が有理数である場合、 は 周期演算子であり、フロケ理論によりそのスペクトルは純粋に絶対連続です。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$

さて、が無理数の場合について考えてみましょう。変換は最小なので、 のスペクトルはに依存しないことがわかります。一方、エルゴード性により、スペクトルの絶対連続部分、特異連続部分、および純粋点部分のサポートは、 にほぼ確実に依存しません。現在、次のことがわかっています。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \omega \mapsto \omega +\alpha }$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

• は、純粋に絶対連続なスペクトルを持つことは確かである。^[4]（これはサイモンの問題の1つであった。）${\displaystyle 0<\lambda <1}$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$
• は、任意の無理数に対して純粋に特異な連続スペクトルを持つことは確かである。^[5]${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$${\displaystyle \alpha}$
• はほぼ確実に純粋な点スペクトルを持ち、アンダーソン局在を示す。[ 6 ^]（ほぼ確実には確実にで置き換えることができないことが知られている。）^{[7] [8]}${\displaystyle \lambda >1}$${\displaystyle H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }}$

スペクトル測度が特異であることは、ヨラム・ラストとサイモンの研究 ^{[9]により、}リアプノフ指数 の下限値から次のように導かれる 。${\displaystyle \lambda \geq 1}$ ${\displaystyle \gamma (E)}$

${\displaystyle \gamma (E)\geq \max\{0,\log(\lambda )\}.\,}$

この下限値は、セルジュ・オーブリーとジル・アンドレによるほぼ厳密な議論の後に、ジョセフ・アヴロン、サイモン、マイケル・ハーマンによって独立に証明されました。実際、がスペクトルに属する場合、不等式は等式（オーブリー・アンドレの公式）になり、ジャン・ブルガンとスヴェトラーナ・イトミルスカヤによって証明されました。^[10]${\displaystyle E}$

ほぼマシュー演算子のもう一つの顕著な特徴は、そのスペクトルがすべての無理数およびに対してカントール集合になることです。これは、アビラとジトミルスカヤが、いくつかの以前の結果（パラメータに関して一般的に^[12]およびほぼ確実に^[13]を含む）の後に、当時有名だった「10マティーニ問題」^[11]（これもサイモンの問題の1つ）を解くことで示されました。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \lambda >0}$

さらに、ほぼマシュー作用素のスペクトルの ルベーグ測度は、

${\displaystyle \operatorname {Leb} (\sigma (H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }))=|4-4\lambda |\,}$

すべての に対して成り立つ。 の場合、これはスペクトルがゼロ測度を持つことを意味する（これは最初にダグラス・ホフスタッターによって提案され、後にサイモンの問題の1つとなった）。^[14]の場合、この式はオーブリーおよびアンドレによって数値的に発見され、ジトミルスカヤおよびクラソフスキーによって証明された。それ以前にラスト^{[15] [16]は}パラメータのほとんどの値に対してこの式を証明していた。 ${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \lambda \neq 1}$

のスペクトルを研究すると、スペクトルが集合として示される ホフスタッターのバタフライにつながります。${\displaystyle \lambda =1}$