対数正規分布

対数正規分布

確率密度関数 同一のパラメータだが、異なるパラメータ${\displaystyle \\mu\}$${\displaystyle \sigma}$
累積分布関数 ${\displaystyle \\mu =0\}$
表記	${\displaystyle \\operatorname {対数正規分布}\left(\\mu,\,\sigma^{2}\\right)\}$
パラメータ	${\displaystyle \ \mu \in (\ -\infty ,+\infty \ )\ }$(位置の対数)、(スケールの対数) ${\displaystyle \\sigma >0\}$
サポート	${\displaystyle \ x\in (\ 0,+\infty \ )\ }$
PDF	${\displaystyle \ {\frac {1}{\ x\sigma {\sqrt {2\pi \ }}\ }}\ \exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \ \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \ {\frac {\ 1\ }{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma {\sqrt {2\ }}}}\right)\right]=\Phi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)}$
クォンタイル	${\displaystyle \\exp\left(\mu +{\sqrt {2\sigma^{2}}}\operatorname {erf}^{-1}(2p-1)\right)\ }$ ${\displaystyle =\exp(\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p))}$
平均	${\displaystyle \\exp\left(\\mu+{\frac{\sigma^{2}}{2}}\\right)\}$
中央値	${\displaystyle \\exp(\\mu\)\}$
モード	${\displaystyle \\exp\left(\\mu-\sigma^{2}\\right)\}$
分散	${\displaystyle \\left[\\exp(\sigma^{2})-1\\right]\\exp\left(2\\mu+\sigma^{2}\right)\}$
歪度	${\displaystyle \ \left[\ \exp \left(\sigma ^{2}\right)+2\ \right]{\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1\;}}}$
過剰尖度	${\displaystyle \ 1\ \exp \left(4\ \sigma ^{2}\right)+2\ \exp \left(3\ \sigma ^{2}\right)+3\ \exp \left(2\sigma ^{2}\right)-6\ }$
エントロピ	${\displaystyle \\log_{2}\left(\{\sqrt{2\pi\}}\\sigma\e^{\mu+{\tfrac{1}{2}}}\\right)\}$
MGF の	実部が正でない  数値に対してのみ定義されます。テキストを参照してください。
CF	表現は  漸近的に発散するが、  ほとんどの数値目的には十分である。${\displaystyle \ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ (i\ t)^{n}\ }{n!}}e^{\ n\mu +n^{2 }\シグマ ^{2}/2}\ }$
フィッシャー情報	${\displaystyle \ {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\ \sigma ^{2}\ }}&0\\0&{\frac {2}{\ \sigma ^{2}\ }}\end{pmatrix}}\ }$
モーメント法	${\displaystyle \ \mu =\log \left({\frac {\operatorname {\mathbb {E} } [X]\ }{\ {\sqrt {{\frac {\ \operatorname {Var} [X]~~}{\ \operatorname {\mathbb {E} } [X]^{2}\ }}+1\ }}\ }}\right)\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma ={\sqrt {\log \left({\frac {\ \operatorname {Var} [X]~~}{\ \operatorname {\mathbb {E} } [X]^{2}\ }}+1\ \right)\ }}}$
予想される不足額	${\displaystyle \ {\frac {1}{2}}e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}{\frac {\ 1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{\ {\sqrt {2\ }}\ }}+\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)\right)\ }{p}}}$[1] ${\displaystyle \ =e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}{\frac {1}{1-p}}(1-\Phi (\Phi ^{-1}(p)-\sigma ))}$

確率論において、対数正規分布（または対数正規分布）は、対数が正規分布するランダム変数の連続確率分布です。したがって、ランダム変数Xが対数正規分布する場合、Y = ln( X )は正規分布します。^{[2] [3]}同様に、Yが正規分布する場合、Yの指数関数X = exp( Y )は対数正規分布します。対数正規分布するランダム変数は、正の実数値のみを取ります。これは、精密科学や工学だけでなく、医学、経済学、その他のトピック（エネルギー、濃度、長さ、金融商品の価格、その他の測定基準など）の測定にも便利で有用なモデルです。

この分布はフランシス・ゴルトンにちなんでゴルトン分布またはゴルトンの分布と呼ばれることもあります。^[4]対数正規分布は、マカリスター分布、ジブラット分布、コブ・ダグラス分布など、他の名前でも呼ばれています。^[4]

対数正規過程は、それぞれが正である多数の独立したランダム変数の乗法積の統計的実現である。これは、対数領域の中心極限定理（ジブラの法則と呼ばれることもある）を考慮することによって正当化される。対数正規分布は、ランダム変数Xの最大エントロピー確率分布であり、 ln( X )の平均と分散が指定されている。^[5]

を標準正規変数とし、 とを2つの実数（ ）とします。このとき、確率変数の分布は ${\displaystyle \ Z\ }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$

は、パラメータおよびを持つ対数正規分布と呼ばれます。これらは、変数の自然対数 の期待値 (または平均 ) と標準偏差であり、自体の期待値と標準偏差ではありません。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \ln(X)}$${\displaystyle \ X\ }$

この関係は、対数関数または指数関数の底に関係なく成り立ちます。 が正規分布している場合、任意の2 つの正の数に対しても が正規分布します。同様に、が対数正規分布している場合、 も正規分布します。 ${\displaystyle \ \log _{a}(X)\ }$${\displaystyle \ \log _{b}(X)\ }$${\displaystyle \ a,b\neq 1~.}$${\displaystyle \ e^{Y}\ }$${\displaystyle \ a^{Y}\ ,}$${\displaystyle 0<a\neq 1}$

望ましい平均と分散を持つ分布 を生成するには、${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle \ \sigma _{X}^{2}\ ,}$${\displaystyle \ \mu =\ln \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\ {\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}\ }}\ }}\right)\ }$${\displaystyle \ \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\ \sigma _{X}^{2}\ }{\mu _{X}^{2}}}\right)~.}$

あるいは、「乗法」または「幾何」パラメータとを使用することもできます。これらはより直接的な解釈が可能です。 は分布の中央値であり、 「散布」間隔を決定するのに役立ちます (以下を参照)。 ${\displaystyle \ \mu ^{*}=e^{\mu }\ }$${\displaystyle \ \sigma ^{*}=e^{\sigma }\ }$${\displaystyle \ \mu ^{*}\ }$${\displaystyle \ \sigma ^{*}\ }$

正の確率変数は、 の自然対数が平均と分散で正規分布している場合、対数正規分布（つまり ）します。${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\ \mu ,\sigma ^{2}\ \right)\ }$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \ \sigma ^{2}\ :}$

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

をそれぞれ累積確率分布関数と標準正規分布の確率密度関数とすると、[ ^{2] [4]}対数正規分布の確率密度関数は次のように表さ れる。${\displaystyle \ \Phi \ }$${\displaystyle \ \varphi \ }$${\displaystyle \ {\mathcal {N}}(\ 0,1\ )\ }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ X\leq x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ \ln X\leq \ln x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\operatorname {\Phi } \!\!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right){\frac {1}{\ \sigma \ x\ }}\\[6pt]&={\frac {1}{\ x\ \sigma {\sqrt {2\ \pi \ }}\ }}\exp \left(-{\frac {\ (\ln x-\mu )^{2}\ }{2\ \sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}}$$

累積分布関数は

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}\right)}$

ここで、は標準正規分布の累積分布関数です（つまり、）。 ${\displaystyle \ \Phi \ }$${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {N}} (\ 0,\ 1)\ }$

これは次のように表現することもできる。^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$

ここで、erfcは相補誤差関数です。

が多変量正規分布である場合、 は多変量対数正規分布に従う。^{[6] [7]}指数関数はランダムベクトルに要素ごとに適用されます。 の平均は ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$${\displaystyle Y_{i}=\exp(X_{i})}$${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},}$

そしてその共分散行列は

${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(e^{\Sigma _{ij}}-1).}$

多変量対数正規分布は広く使用されていないため、このエントリの残りの部分では単変量分布のみを扱います。

対数正規分布のすべてのモーメントが存在し、

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

これは、積分内に を入れることによって導くことができます。しかし、対数正規分布はモーメントによって決まるわけではありません。^[8]これは、ゼロの近傍に定義されたモーメント生成関数を持つことができないことを意味します。^[9]実際、定義積分が発散するため、 引数の任意の正の値に対して期待値は定義されません。${\displaystyle z={\tfrac {\ln(x)-(\mu +n\sigma ^{2})}{\sigma }}}$${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]}$${\displaystyle t}$

特性関数は tの実数値に対して定義されるが、負の虚数部を持つtの複素数値に対しては定義されないため、特性関数は原点において解析的ではない。したがって、対数正規分布の特性関数は無限収束級数として表すことはできない。^[10]特に、そのテイラー形式級数は発散する。 ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{itX}]}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

しかしながら、いくつかの代替的な発散級数表現が得られている。^{[10] [11] [12] [13]}

収束領域内の特性関数の閉形式の公式は知られていない。比較的単純な近似式が閉形式で利用可能であり、^{[14]で与えられる。}${\displaystyle \varphi (t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}}}}$

ここで、 はLambert W 関数です。この近似は漸近法によって導出されますが、 の収束領域全体にわたって鋭いままです。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle \varphi }$

任意の領域における対数正規分布の確率内容は、まず変数を正規分布に変換し、次にレイトレース法を使用して数値積分することで、必要な精度で計算できます。^[15] (Matlabコード)

対数正規分布の確率は任意の領域で計算できるため、対数正規分布の任意の関数の累積分布関数（および結果として累積分布関数と逆累積分布関数）も計算できることを意味します。^[15]（Matlabコード）

対数正規分布の幾何平均または乗法平均は です。これは中央値に等しくなります。幾何標準偏差または乗法標準偏差は です。^{[16] [17]}${\displaystyle \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$${\displaystyle \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$

算術統計学との類推により、幾何分散を定義することができ、幾何変動係数^[16]が提案されている。この用語は、対数正規データにおける乗法変動を記述するための変動係数に類似したものとして意図されていたが、このGCVの定義には、それ自体の推定値としての理論的根拠がない（変動係数も参照）。 ${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$${\displaystyle \operatorname {CV} }$

幾何平均は算術平均よりも小さいことに注意してください。これはAM-GM不等式によるもので、対数が凹関数であることの結果です。実際、

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$^[18]

金融においては、この用語は凸性補正として解釈されることがある。確率論の観点から見ると、これは幾何ブラウン運動の伊藤の補題における補正項と同じである。 ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$

任意の実数または複素数nに対して、対数正規分布に従う変数Xのn次モーメントは^[4]で与えられる。

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$

具体的には、対数正規分布変数Xの算術平均、期待二乗、算術分散、算術標準偏差はそれぞれ次のように表される: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=(\operatorname {E} [X])^{2}(e^{\sigma ^{2}}-1)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$

算術変動係数は 比である。対数正規分布の場合、それは^{[3]に等しい。}${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$

${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$

この推定値は、幾何分散を使用しているため、「幾何CV」（GCV）と呼ばれることもあります^{[19] [20]}。算術標準偏差とは異なり、算術変動係数は算術平均とは無関係です。

算術平均と算術分散がわかれば、 パラメータμとσ を取得できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}\right)=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}}\right),\\[4pt]\sigma ^{2}&=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

確率分布はモーメントE[ X ⁿ ] = e ^{nμ + ⁠によって一意に決定されるわけではない。1/2⁠ n 2 σ 2}（ n ≥ 1。つまり、同じモーメントを持つ他の分布も存在する。^[4]実際、対数正規分布と同じモーメントを持つ分布の族全体が存在する。^[要出典]

モードは確率密度関数のグローバル最大値の点です。特に、方程式を解くと次のようになります。 ${\displaystyle (\ln f)'=0}$

${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$

対数変換された変数は正規分布を持ち、単調変換の下では分位数が保存されるため、の分位数は ${\displaystyle Y=\ln X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},}$

ここで、は標準正規分布の分位数です。 ${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$

具体的には、対数正規分布の中央値はその乗法平均に等しい。^[21]

${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.}$

閾値に関する確率変数の部分期待値は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx.}$

あるいは、条件付き期待値の定義を使用すると、 と書くこともできます。対数正規分布のランダム変数の場合、部分期待値は次のように表されます。 ${\displaystyle g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]P(X>k)}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\right)}$

ここで、 は正規累積分布関数です。式の導出については、トークページで説明しています。偏期待値式は保険や経済学に応用されており、ブラック・ショールズ式につながる偏微分方程式を解く際に使用されます。 ${\displaystyle \Phi }$

対数正規分布のランダム変数の条件付き期待値は、閾値に関して、その部分期待値をその範囲内にある累積確率で割った値です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\right]}{1-\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}}$

または による特徴付けに加えて、対数正規分布をパラメータ化する方法は複数あります。確率分布の知識ベースとオントロジーであるProbOnto ^{[22] [23]}では、次のような7つの形式がリストされています。${\displaystyle \mu ,\sigma }$${\displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$

• LogNormal1(μ,σ) は、平均μ と標準偏差σ で、両方とも対数スケールです^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal2(μ,υ) (平均 μ と分散 υ は両方とも対数スケール)

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]}$

• LogNormal3(m,σ)、中央値mは自然スケール、標準偏差σは対数スケール^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal4(m,cv)、中央値m、変動係数cv、ともに自然スケール

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$

• LogNormal5(μ,τ) (平均 μ と精度 τ、両方とも対数スケール) ^[25]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$

• LogNormal6(m,σ _g )、中央値m、幾何標準偏差σ _g、ともに自然尺度^[26]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\ln(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$

• LogNormal7(μ _N ,σ _N )、平均 μ _Nおよび標準偏差 σ _N、どちらも自然スケール^[27]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left(-{\frac {{\Big [}\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big ]}^{2}}{2\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}}\right)}$

^{2つの異なる最適設計ツール、例えばPFIM [28]}とPopED ^[29]を使用してモデルを実行したい状況を考えてみましょう。前者はそれぞれLN2パラメータ化をサポートし、後者はLN7パラメータ化をサポートしています。したがって、再パラメータ化が必要であり、そうしないと2つのツールが異なる結果を生成します。

遷移については次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})}$${\textstyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)}$${\textstyle \sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}}$

遷移については次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)}$${\textstyle \mu =\ln \left(\mu _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}\right)}$${\textstyle v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$

残りの再パラメータ化の式はすべて、プロジェクトのウェブサイトの仕様書に記載されています。^[30]

• 定数による乗算:の場合、${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2})}$${\displaystyle a>0.}$
• 逆数:ならば${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).}$
• パワー：もし、ならば、${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})}$${\displaystyle a\neq 0.}$

2 つの独立した対数正規変数とを 乗算 [除算]すると、積 [比] は再び対数正規となり、パラメータは[ ] および となります(ただし ) 。これは、このような変数の積に簡単に一般化できます。 ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$${\displaystyle n}$

より一般的には、が独立した対数正規分布に従う変数である場合、${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

独立で同一に分布する正のランダム変数の幾何平均または乗法平均は、 が有限であると仮定すると、に対して、近似的にパラメータおよびを持つ対数正規分布を示します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \mu =E[\ln(X_{i})]}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\mbox{var}}[\ln(X_{i})]/n}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

実際、ランダム変数は同一に分布している必要はありません。 の分布がすべて有限分散を持ち、中心極限定理のさまざまな変形のいずれかの他の条件を満たしていれば十分です。 ${\displaystyle \ln(X_{i})}$

これは一般にジブラの法則として知られています。

対数正規分布が真のヘビーテール分布であるかどうかは、まだ議論が続いている。主な理由は、その分散が常に有限であり、たとえば特定のパレート分布で起こることと異なるためである。しかし、最近の研究では、ロビンソン非標準分析を使用して、無限分散を持つ対数正規分布を作成することが可能であることが示されています。^[31]

対数正規分布から生じるデータセットは対称的なローレンツ曲線を持ちます（ローレンツ非対称係数も参照）。^[32]

この分布の調和平均、幾何平均、算術平均は関連しており、 ^[33]その関係は次のように表される。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

対数正規分布は無限に分割可能であるが^[34]、簡単に分布を作れる安定した分布ではない。 ^[35]

• が正規分布である場合、${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).}$
• が対数正規分布する場合、 は正規確率変数です。${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
• を、変化する可能性のあるパラメータとパラメータを持つ独立した対数正規分布変数、およびとします。 の分布は閉じた形式の表現を持ちませんが、右裾で別の対数正規分布によって合理的に近似できます。 ^[36] 0 の近傍での確率密度関数は特徴付けられており^[35] 、どの対数正規分布にも似ていません。LF Fenton による一般的な近似値 (ただし、以前は RI Wilkinson によって述べられ、Marlow ^[37]によって数学的に正当化されています) は、別の対数正規分布の平均と分散を一致させることによって得られます。すべてが同じ分散パラメータ を持つ場合、これらの式は次のように簡略化されます。${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\textstyle Y=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle \sigma _{j}=\sigma }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^{2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$

より正確な近似値を得るためには、モンテカルロ法を用いて累積分布関数、pdf、右裾を推定すればよい。^{[38] [39]}

相関対数正規分布するランダム変数の合計は、対数正規分布によって近似することもできる^[要出典] $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{+}&=\operatorname {E} \left[\sum _{i}X_{i}\right]=\sum _{i}\operatorname {E} [X_{i}]=\sum _{i}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}\\\sigma _{Z}^{2}&=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\operatorname {E} [X_{i}]\operatorname {E} [X_{j}]=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\\\mu _{Z}&=\ln \left(S_{+}\right)-\sigma _{Z}^{2}/2\end{aligned}}}$$

• の場合には、サポートを持つ3パラメータ対数正規分布に従うと言われます。^[40]、。${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X+c}$${\displaystyle x\in (c,+\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c}$${\displaystyle \operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]}$
• 対数正規分布は、半有界ジョンソンSU分布の特殊なケースである。^[41]
• の場合には、(鈴木分布)。${\displaystyle X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)}$${\displaystyle Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )}$
• ^{対数正規分布の代わりとなる、より基本的な関数[42]}で表すことのできる分布は、ロジスティック分布に基づいて得られ、 CDF の近似値を得ることができます。これは対数ロジスティック分布です。$${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\right)^{\pi /(\sigma {\sqrt {3}})}+1\right]^{-1}.}$$

対数正規分布パラメータμとσの最大尤度推定値を決定するには、正規分布の場合と同じ手順を使用できます。 ここで、 は正規分布の密度関数であることに注意してください。したがって、対数尤度関数は $${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),}$$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$$${\displaystyle \ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).}$$

最初の項はμとσに関して一定であるため、両方の対数尤度関数とは同じおよびで最大値に達します。したがって、最大尤度推定量は、観測値 に対する正規分布の推定量と同一です。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell _{N}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})}$$${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n}}.}$$

有限のnの場合、 の推定値は不偏ですが、 の推定値は偏りがあります。正規分布の場合、 の不偏推定値は、の式の分母n をn −1に置き換えることで得られます。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

個々の値が利用できないが、サンプルの平均と標準偏差sが利用できる場合は、モーメント法を使用できます。対応するパラメータは、およびの期待値と分散の方程式を解くことで得られる次の式によって決定されます。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$$${\displaystyle \mu =\ln \left({\frac {\bar {x}}{\sqrt {1+{\widehat {\sigma }}^{2}/{\bar {x}}^{2}}}}\right),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{{\widehat {\sigma }}^{2}}/{\bar {x}}^{2}\right).}$$

対数正規分布データを分析する際に区間推定値を取得する最も効率的な方法は、正規分布に基づくよく知られた方法を対数変換されたデータに適用し、適切な場合は結果を逆変換することです。

基本的な例として、予測区間が挙げられます。正規分布の場合、区間には確率の約 3 分の 2 (68%) が含まれ、95% が含まれます (または大きなサンプルの場合)。したがって、対数正規分布の場合、区間には 確率の2/3 が含まれ、 95% が含まれます。推定パラメータを使用すると、これらの区間にはほぼ同じ割合のデータが含まれるはずです。 ${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$$${\displaystyle [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]}$$$${\displaystyle [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]}$$

この原理を用いると、の信頼区間は となり、 は標準誤差、q は自由度n-1のt 分布の 97.5% 分位数となります。逆変換により、 （中央値） の信頼区間は次のようになります。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]}$${\displaystyle \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}$${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$$${\displaystyle [{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]}$$${\displaystyle \operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$

文献では、（対数正規分布の平均）の信頼区間を計算するためのいくつかのオプションが議論されています。これらには、ブートストラップ法やその他のさまざまな方法が含まれます。^{[43] [44]}${\displaystyle \mu }$

コックス法^[a]は推定値をプラグインすることを提案している${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad S^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n-1}}}$

これらを使用して、次のように おおよその信頼区間を構築します。${\displaystyle CI(E(X)):e^{\left({\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}\right)}}$

Olsson 2005は、を に 置き換えた「修正Cox法」を提案した。これは、小さなサンプルサイズでより良いカバレッジ結果をもたらすと思われる。^{[43] ：セクション3.4}${\displaystyle z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}$${\displaystyle t_{n-1,1-{\frac {\alpha }{2}}}}$

2 つの対数正規分布を比較することは、多くの場合、たとえば治療群と対照群（たとえば、A/B テスト）から行う必要があります。パラメータが と で、サンプル サイズがそれぞれ と である2 つの独立した対数正規分布からのサンプルがあります。 ${\displaystyle (\mu _{1},\sigma _{1}^{2})}$${\displaystyle (\mu _{2},\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle n_{2}}$

2 つの中央値を比較するには、それぞれのログを取得し、単純な信頼区間を作成して、それを指数スケールに戻すだけで簡単に行うことができます。

${\displaystyle CI(e^{\mu _{1}-\mu _{2}}):e^{\left({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n}}}}\right)}}$

これらのCIは、疫​​学において相対リスクとオッズ比のCIを計算するためによく使用されます。^[47]そこでの計算方法は、2つの近似正規分布（例えば、RRの場合はp1とp2）があり、それらの比率を計算するというものです。^[b]

ただし、2 つのサンプルの期待値 (平均) の比率も興味深いかもしれませんが、その開発にはさらに作業が必要です。平均の比率は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {E(X_{1})}{E(X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}^{2}}{2}}}}{e^{\mu _{2}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{2}}}}}=e^{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2})}}$

これらの各パラメータに推定値をプラグインすると、対数正規分布も生成されます。つまり、上で説明した Cox 法をこのユースケースに同様に使用できます。

${\displaystyle CI\left({\frac {E(X_{1})}{E(X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}^{2}}{2}}}}{e^{\mu _{2}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{2}}}}}\right):e^{\left(({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\right)}}$

2つの期待値の比率にMLEを単純に使用して比率推定値を作成すると、一貫性はあるものの偏りのある点推定値につながることに注意してください（比率の推定値が対数正規分布であるという事実を使用します）^[c]：

${\displaystyle E\left[{\frac {{\widehat {E}}(X_{1})}{{\widehat {E}}(X_{2})}}\right]=E\left[e^{({\widehat {\mu }}_{1}-{\widehat {\mu }}_{2})+{\frac {1}{2}}(S_{1}^{2}-S_{2}^{2})}\right]=e^{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2})+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}}$

応用においては、決定すべきパラメータである。生産と散逸がバランスした成長過程の場合、シャノンエントロピーの極限原理を用いると、^[48]${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {6}}}}$$

この値は、対数正規分布の変曲点と最大点の間のスケーリング関係を与えるために使用することができます。^[48]この関係は自然対数の底によって決定され、最小表面エネルギー原理と幾何学的に類似しています。これらのスケーリング関係は、多くの成長プロセス（伝染病の拡大、液滴の飛散、人口増加、浴槽渦の旋回速度、言語特性の分布、乱流の速度プロファイルなど）を予測するのに役立ちます。たとえば、このような対数正規関数は、液滴衝突中に二次的に生成される液滴のサイズ^[49]や伝染病の拡大によく適合します。^[50]${\displaystyle e=2.718\ldots }$${\displaystyle \sigma }$

この値はドレイク方程式の確率的解を与えるために使用される。^[51]${\textstyle \sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}}$

対数正規分布は自然現象の記述において重要である。多くの自然成長過程は、対数スケールで加算される多数の小さなパーセンテージ変化の蓄積によって駆動される。適切な規則性条件下では、結果として生じる蓄積された変化の分布は、上記の「乗法中心極限定理」のセクションで述べたように、対数正規分布によってますますよく近似される。これは、 企業のために定式化したロバート・ジブラット（1904-1980）にちなんで、ジブラットの法則としても知られている。 ^[52]これらの小さな変化の蓄積率が時間の経過とともに変化しない場合、成長はサイズとは無関係になる。この仮定が真実でなくても、時間の経過とともに成長するもののどの年齢でもサイズ分布は対数正規分布になる傾向がある。^{[引用が必要]}したがって、健康な個人の測定値の基準範囲は、平均を中心に対称分布を仮定するよりも、対数正規分布を仮定することによってより正確に推定される。^{[引用が必要]}

2 つ目の正当化は、基本的な自然法則が正の変数の乗算と除算を意味するという観察に基づいています。例としては、質量と距離を結果として生じる力と結び付ける単純な万有引力の法則、または抽出物と生成物の濃度を結び付ける溶液中の化学物質の平衡濃度の式などがあります。これらのケースでは、関係する変数の対数正規分布を仮定すると、一貫したモデルが得られます。

具体的な例は以下のサブセクションで示します。^[53]には、地質学、生物学、医学、食品、生態学などの分野における対数正規分布のレビューと表が含まれています。^[54]は、神経科学における対数正規分布に関するレビュー記事で、注釈付きの参考文献が付いています。

• インターネットのディスカッションフォーラムに投稿されたコメントの長さは対数正規分布に従う。^[55]
• ユーザーのオンライン記事（ジョーク、ニュースなど）への滞在時間は対数正規分布に従います。^[56]
• チェスのゲームの長さは対数正規分布に従う傾向がある。^[57]
• 標準刺激と一致する音響比較刺激の開始持続時間は対数正規分布に従う。^[18]

• 生体組織の大きさの測定（長さ、皮膚面積、重量）。^[58]
• 病気の潜伏期間。^[59]
• バナナの葉の斑点の直径、大麦のうどんこ病。^[53]
• 2003年のSARSのような感染力の高い伝染病の場合、公的介入による制御政策が関与すると、エントロピーを仮定し、標準偏差をエントロピー生成の最大速度の原理によって決定すると、入院患者数は自由パラメータのない対数正規分布を満たすことが示されている。 [ ^60]
• 生物標本の不活性な付属肢（毛、爪、爪、歯）の成長方向の長さ。^{[引用が必要]}
• 任意のゲノム領域の正規化された RNA-Seq リードカウントは、対数正規分布によって十分に近似できます。
• PacBioシーケンシングのリード長は対数正規分布に従う。^[61]
• 特定の生理学的測定、例えば成人の血圧（男性と女性の集団に分けた後）。^[62]
• Cmax、消失半減期、消失速度定数_などのいくつかの薬物動態変数。^[63]
• 神経科学では、ニューロン集団全体の発火率の分布は、多くの場合、ほぼ対数正規分布になります。これは、最初に皮質と線条体で観察され^[64]、その後、海馬と嗅内皮質で^[65]、脳の他の部分でも観察されました。^{[54] [66]}また、固有のゲイン分布とシナプス重み分布も対数正規分布であるように見えます^[67]。
• 大脳皮質のニューロン密度は、神経発達中のノイズの多い細胞分裂プロセスによるものである。^[68]
• 手術室管理では、手術時間の分布が重要です。
• 生きた細胞の細胞骨格の破壊の雪崩の大きさは対数正規分布を示し、癌細胞では健康な細胞よりも著しく大きい。^[69]

• 粒子サイズ分布とモル質量分布。
• 鉱物中の希少元素の濃度。^[70]
• アイスクリームの結晶の直径、マヨネーズの油滴、ココアプレスケーキの孔。^[53]

• 水文学では、対数正規分布は、日降雨量や河川流量の月間および年間の最大値などの変数の極端な値を分析するために使用されます。^[71]

右の画像はCumFreqで作成されたもので、対数正規分布を年間最大日降水量の順位付けに当てはめた例を示しており、二項分布に基づく90%信頼区間も表示しています。^[72]

降雨量データは、累積頻度分析の一部として位置をプロットすることによって表されます。

• 経済学では、人口の97%～99%の所得が対数正規分布しているという証拠がある。 ^[73] （高所得者の所得分布はパレート分布に従う）。^[74]
• 所得分布が標準偏差 の対数正規分布に従う場合、所得の不平等を評価するために一般的に使用されるジニ係数 は、次のように計算できます。ここで は誤差関数です。なぜなら、 は 標準正規分布の累積分布関数だからです。${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)}$${\displaystyle \operatorname {erf} }$${\displaystyle G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1}$${\displaystyle \Phi (x)}$
• 金融、特にブラック・ショールズ・モデルでは、為替レート、価格指数、株価指数の対数の変化は正規分布であると仮定されている[ 75 ] ^（これらの変数は単利ではなく複利のように振舞うため、乗法的である）。しかし、ブノワ・マンデルブロなどの数学者の中には、重い裾を持つ対数レヴィ分布の方が、特に株式市場の暴落の分析にはより適切なモデルであると主張している^[76]。確かに、株価分布は典型的には太い裾を示している。^{[77]株式市場の暴落時の変化の太い裾の分布は、}中心極限定理 の仮定を無効にする。
• 科学計量学では、ジャーナル論文や特許の引用数は離散対数正規分布に従う。^{[78] [79]}
• 都市の規模（人口）はジブラの法則を満たす。^[80]都市規模の成長過程は、規模に比例し不変である。したがって、中心極限定理から、都市規模の対数は正規分布する。
• 性的パートナーの数は対数正規分布によって最もよく説明されると思われる。^[81]

• 信頼性分析では、対数正規分布は保守可能なシステムの修復時間をモデル化するためによく使用されます。^[82]
• 無線通信では、「dBやネーパーなどの対数値で表される局所平均電力は、正規分布（ガウス分布）を示す。」^{[83]また、大きな建物や丘陵による無線信号のランダムな遮蔽は、}シャドウイングと呼ばれ、対数正規分布としてモデル化されることが多い。
• ボールミル粉砕などのランダムな衝撃による粉砕によって生成される粒子サイズ分布。^[84]
• 公開されている音声・動画データファイル（MIMEタイプ）のファイルサイズ分布は、5桁の対数正規分布に従います。^[85]
• 1999年に収集されたWindows OS搭載のパソコン上の1億4000万ファイルのファイルサイズ。^{[86] [55]}
• テキストベースの電子メール（1990年代）とマルチメディアベースの電子メール（2000年代）のサイズ。^[55]
• コンピュータネットワークとインターネットトラフィック分析では、対数正規分布は単位時間あたりのトラフィック量を表すのに適した統計モデルとして示されています。これは、実際のインターネットトレースの大規模なグループに堅牢な統計的アプローチを適用することによって示されています。この文脈では、対数正規分布は、2つの主な使用例で優れたパフォーマンスを示しています。(1) トラフィックが特定のレベルを超える時間の割合を予測する (サービスレベル契約またはリンク容量の推定用)、つまり帯域幅プロビジョニングに基づくリンクの寸法設定、(2) 95パーセンタイル価格の予測。^[87]
• 物理試験において、特定の条件下でのアイテムの故障までの時間を測定する場合、データは対数正規分布を使用して分析するのが最も効果的であることが多い。^{[88] [89]}

• ヘビーテール分布
• 対数距離経路損失モデル
• 修正対数正規べき乗分布
• フェードアウト

• クロウ、エドウィン L.; 清水 邦夫編 (1988)、対数正規分布、理論と応用、統計学:教科書とモノグラフ、第 88 巻、ニューヨーク: マルセル デッカー社、pp. xvi+387、ISBN 978-0-8247-7803-3、MR  0939191、Zbl  0644.62014
• Aitchison, J. および Brown, JAC (1957) 『対数正規分布』、ケンブリッジ大学出版局。
• Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M (2001). 「科学分野における対数正規分布：鍵と手がかり」. BioScience . 51 (5): 341–352. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
• Holgate, P. (1989). 「対数正規特性関数」.統計におけるコミュニケーション - 理論と方法. 18 (12): 4539–4548. doi :10.1080/03610928908830173.
• ブルックス、ロバート、コーソン、ドナル、ウェールズ( 1994)。「原資産がすべて対数正規分布に従う場合のインデックス オプションの価格設定」。先物およびオプション研究の進歩。7。SSRN  5735。

• 正規分布は対数正規分布である