エラー関数

数学において、誤差関数（ガウス誤差関数とも呼ばれる）は、 erfと表記され、次のように定義される関数である。^[1]${\displaystyle \mathrm {erf} :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}$$

エラー関数
実数に対する誤差関数のプロット
一般情報
一般的な定義	${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$
応用分野	確率、熱力学、デジタル通信
ドメイン、コドメイン、イメージ
ドメイン	${\displaystyle \mathbb {R} }$
画像	${\displaystyle \left(-1,1\right)}$
基本機能
パリティ	奇数
具体的な特徴
根	0
派生語	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}}$
反微分	${\displaystyle \int \operatorname {erf} z\,dz=z\operatorname {erf} z+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+C}$
シリーズの定義
テイラー級数	${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}$

ここでの積分は複素線積分であり、複素平面全体で正則であるため経路に依存しません。多くのアプリケーションでは、関数の引数は実数であり、その場合、関数の値も実数です。 ${\displaystyle \exp(-t^{2})}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

いくつかの古いテキスト^[2]では、 誤差関数は の因子なしで定義されています。この非基本的な積分は、確率、統計、偏微分方程式でよく見られるシグモイド関数です。 ${\displaystyle 2/{\sqrt {\pi }}}$

統計学では、 xの非負の実数値に対して、誤差関数は次のように解釈されます。平均0 および標準偏差で正規分布する実数ランダム変数 Yに対して、erf xはYが範囲[− x、x ]に含まれる確率です。 ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

2つの密接に関連した関数は相補誤差関数 であり、次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathrm {erfc} :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \operatorname {erfc} z=1-\operatorname {erf} z,}$$

そして虚数誤差関数は 次のように定義される。 ${\displaystyle \mathrm {erfi} :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \operatorname {erfi} z=-i\operatorname {erf} iz,}$$

ここで、i は虚数単位です。

「誤差関数」という名前とその略語erf は、1871 年にJWL Glaisherによって、「確率論、特に誤差理論」との関連から提案されました。^[3]誤差関数補数についても、同年に Glaisher は別の出版物で論じました。^[4]誤差密度が (正規分布)で与えられる 誤差の「容易さの法則」について、Glaisher はpとq の間にある誤差の確率を次のように計算します。 $${\displaystyle f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{1/2}e^{-cx^{2}}}$$$${\displaystyle \left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int _{p}^{q}e^{-cx^{2}}\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).}$$

一連の測定結果が標準偏差σと期待値0の正規分布で記述される場合、erf（⁠ 1つの/σ√2 ​​⁠）は、 a が正の場合に、単一の測定の誤差が− aと+ aの間にある確率です。これは、たとえば、デジタル通信システムの ビット誤り率を決定するのに役立ちます。

誤差関数と相補誤差関数は、例えば、境界条件がヘヴィサイドのステップ関数によって与えられたときの熱方程式の解に発生します。

誤差関数とその近似値は、高い確率で成立する結果や低い確率で成立する結果を推定するために使用できます。ランダム変数X ~ Norm[ μ , σ ] (平均μと標準偏差σの正規分布) と定数L > μが与えられている場合、置換積分によって次のように示されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq L]&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\\&\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$$

ここで、AとBは特定の数値定数です。Lが平均から十分に離れている場合、具体的にはμ − L ≥ σ √ ln kの場合、次のようになります。

$${\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}}$$

したがって、 k → ∞のにつれて確率は 0 になります。

Xが区間[ L _a , L _b ]にある確率は次のように導出できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[L_{a}\leq X\leq L_{b}]&=\int _{L_{a}}^{L_{b}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} {\frac {L_{b}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}-\operatorname {erf} {\frac {L_{a}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).\end{aligned}}}$$

erf (− z ) = −erf zという特性は、誤差関数が奇関数であることを意味します。これは、被積分関数e ^{− t 2}が偶関数であるという事実から直接生じます（原点でゼロである偶関数の原始関数は奇関数であり、その逆も同様です）。

誤差関数は、任意の複素数zに対して、実数を実数に変換する完全な関数であるため、 z はzの複素共役です。 $${\displaystyle \operatorname {erf} {\overline {z}}={\overline {\operatorname {erf} z}}}$$

積分関数f = exp(− z ² )とf = erf zは、右の図では複素z平面上に領域の色分けとともに示されています。

+∞での誤差関数はちょうど 1 です (ガウス積分を参照)。実軸では、erf z はz → +∞で 1 に近づき、 z → −∞で −1に近づきます。虚軸では± i ∞に近づきます。

誤差関数は整関数です。特異点は存在せず（無限大を除く）、テイラー展開は常に収束します。ただし、 x >> 1の場合、主要項が相殺されるため、テイラー展開は実用的ではありません。

定義積分は、基本関数に関する閉じた形式では評価できません（リウヴィルの定理を参照）が、被積分関数e ^{− z 2}をそのマクローリン級数に展開し、項ごとに積分することで、誤差関数のマクローリン級数が得られます。 これは、すべての複素数z に対して成り立ちます。分母項は、 OEISのシーケンス A007680 です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$$ 

上記の級数の反復計算には、次のような代替定式化が有用である可能性が ある。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}\end{aligned}}}$$−(2 k − 1) z ²/（2k + 1）⁠ は、 k番目の項を( k  + 1)番目の項に変換するための乗数を表します( z を最初の項と見なします)。

虚数誤差関数には非常によく似たマクローリン級数があり、これ はすべての複素数z に対して成り立ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$$ 

誤差関数の導関数は定義から直ちに導かれる。 このことから、虚数誤差関数の導関数も直ちに導かれる。 誤差関数の原始微分 は部分積分で得られ、次のようになる 。虚数誤差関数の原始 微分も部分積分で得られ、次のようになる。 高次の導関数は次のように与えられる 。 ここでHは物理学者のエルミート多項式である。^[5]$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.}$$$${\displaystyle z\operatorname {erf} z+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$$$${\displaystyle z\operatorname {erfi} z-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$$$${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}z={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {d} ^{k-1}}{\mathrm {d} z^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots }$$

テイラー展開よりもxのすべての実数値に対してより速く収束する展開^[6]は、ハンス・ハインリッヒ・ビュルマンの定理^[7]を使用することによって得られる。 ここでsgnは符号関数である。最初の2つの係数のみを保持し、 c ₁ = ⁠を選択することによって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} x&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right).\end{aligned}}}$$31/200⁠そしてc ₂ = − ⁠341/8000⁠、得られた近似値はx = ±1.3796で相対誤差が最大となり、0.0036127 未満になります。 $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$$

複素数zが与えられたとき、 erf w = z を満たす唯一の複素数w は存在しないので、真の逆関数は多値となる。しかし、−1 < x < 1の場合、 erf ⁻¹ xで表される唯一の実数が存在し、 $${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}x\right)=x.}$$

逆誤差関数は通常、ドメイン（−1,1）で定義され、多くのコンピュータ代数システムではこのドメインに制限されています。しかし、マクローリン級数^[8]を使用して、複素平面のディスク| z | < 1に拡張することができ 、c ₀ = 1および $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\\[1ex]&=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{aligned}}}$$

したがって、級数展開は次のようになります（分子と分母から共通因数が消去されています）。 （消去後、分子と分母の値はそれぞれOEIS : A092676とOEIS : A092677になります。消去しない場合、分子項はOEIS : A002067の値になります。） ±∞における誤差関数の値は ±1に等しくなります 。 $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}z={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$$

| z | < 1の場合、erf(erf ⁻¹ z ) = zとなります。

逆相補誤差関数は次のように定義されます 。 実数xに対して、 erfi(erfi ⁻¹ x ) = xを満たす唯一の実数erfi ⁻¹ xが存在します。逆虚数誤差関数はerfi ⁻¹ xとして定義されます。^[9]$${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}z.}$$

任意の実数xに対して、ニュートン法を使用してerfi ⁻¹ x を計算できます。また、 −1 ≤ x ≤ 1に対して、次のマクローリン級数が収束します。 ここで、c _{k は}上記のように定義されます。 $${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$

大きな実数xに対する相補誤差関数 (したがって誤差関数も) の便利な漸近展開は、次の式です。 ここで、( 2 n − 1)!!は、 (2 n − 1)の二重階乗で、これは、 (2 n − 1)までのすべての奇数の積です。この級数は、すべての有限xに対して発散し、漸近展開としての意味は、任意の整数N ≥ 1に対して、次の式が得られる ことです。 ここで、剰余は、 帰納法、書き方 、および部分積分によって簡単に従うことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {erfc} x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}+R_{N}(x)}$$$${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,}$$$${\displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left(e^{-t^{2}}\right)'}$$

ランダウ記法における剰余項の漸近的挙動は、 x → ∞です 。これは次のように求められます。 x の値が十分に大きい場合、 erfc xの良好な近似値を得るには、この漸近展開の最初の数項のみが必要です(一方、 xの値がそれほど大きくない場合は、上記の 0 でのテイラー展開により、非常に高速に収束します)。 $${\displaystyle R_{N}(x)=O\left(x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}\right)}$$$${\displaystyle R_{N}(x)\propto \int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx}\,\mathrm {d} t\leq e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }x^{-2N}e^{-2tx}\,\mathrm {d} t\propto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}$$

相補誤差関数の連分数展開はラプラスによって発見された：[ 10 ] ^{[ 11]} $${\displaystyle \operatorname {erfc} z={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}},\qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.}$$

逆階乗級数: Re( z2 )>0 で収束する。ここで zn^は上昇階乗、s ( n , k )は第一種符号付きスターリング数を表す。[ ^{12] [13]}二重階乗^を 含む無限和による表現も存在する: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} z&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}Q_{n}}{{\left(z^{2}+1\right)}^{\bar {n}}}}\\[1ex]&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left[1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+2\right)}}-\cdots \right]\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{n}&{\overset {\text{def}}{{}={}}}{\frac {1}{\Gamma {\left({\frac {1}{2}}\right)}}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\[1ex]&=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$$

• アブラモウィッツとステグンは、精度の異なるいくつかの近似値（式7.1.25～28）を提示しています。これにより、特定のアプリケーションに適した最速の近似値を選択できます。精度が上がる順に並べると、次のようになります。 （最大誤差：$${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0}$$5 × 10 ⁻⁴ )

  ここで、a ₁ = 0.278393、a ₂ = 0.230389、a ₃ = 0.000972、a ₄ = 0.078108である。

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0}$$ （最大誤差：2.5 × 10 ⁻⁵ )

  ここでp = 0.47047、a ₁ = 0.3480242、a ₂ = −0.0958798、a ₃ = 0.7478556である。

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0}$$ （最大誤差：3 × 10 ⁻⁷ )

  ここで、a ₁ = 0.0705230784、a ₂ = 0.0422820123、a ₃ = 0.0092705272、a ₄ = 0.0001520143、a ₅ = 0.0002765672、a ₆ = 0.0000430638

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$$ （最大誤差：1.5 × 10 ⁻⁷ )

  ここで、p = 0.3275911、a ₁ = 0.254829592、a ₂ = −0.284496736、a ₃ = 1.421413741、a ₄ = −1.453152027、a ₅ = 1.061405429である。

  これらの近似値はすべてx ≥ 0の場合に有効です。負のxに対してこれらの近似値を使用するには、 erf x が奇関数であるという事実、つまりerf x = −erf(− x )を使用します。

• 指数関数的境界と相補誤差関数の純粋指数近似は^{[14]で与えられる。} $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&\leq {\frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&\quad x&>0\\[1.5ex]\operatorname {erfc} x&\approx {\frac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},&\quad x&>0.\end{aligned}}}$$
• 上記はNの指数 関数の和に一般化されており^[15]、Nに関して精度が増すため、erfc xは2 Q̃ ( √2 x )で正確に近似または制限される。 特に、数値係数{( a _n、b _n )}を解くための体系的な方法論がある。$${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$$₁^です_​
  密接に関連するQ関数のミニマックス近似または境界値を与える：Q ( x ) ≈ Q̃ ( x )、Q ( x ) ≤ Q̃ ( x )、またはQ ( x ) ≥ Q̃ ( x )（x ≥ 0）。係数{( a _n、b _n )}₁^です_​
  指数近似の多くのバリエーションとN = 25までの境界が包括的なデータセットとしてオープンアクセスに公開されています。^[16]
• x ∈ [0,∞) に対する相補誤差関数の厳密な近似はKaragiannidis & Lioumpas (2007) ^[17]によって与えられており、適切なパラメータ{ A , B }を 選択すると{ A , B } = {1.98,1.135}となり 、すべてのx ≥ 0に対して良好な近似値が得られることが示されています。特定のアプリケーションに合わせて精度を調整したり、式を厳密な境界に変換したりするために、代替係数も利用できます。^[18]$${\displaystyle \operatorname {erfc} x\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.}$$
• 一項下限値は^[19] であり 、パラメータβは近似の望ましい区間における誤差を最小化するように選択することができる。 $${\displaystyle \operatorname {erfc} x\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta >1,}$$
• セルゲイ・ウィニツキは「大域パデ近似」を用いて別の近似値を与えている: ^{[20] [21] : 2–3} ここで、 これは0近傍と無限大近傍で非常に正確になるように設計されており、相対誤差はすべての実数xに対して0.00035未満である。代替値a ≈ 0.147を使用すると、最大相対誤差は約0.00013に減少する。^[22]$${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$$$${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$$

  この近似値を反転すると、逆誤差関数の近似値が得られます。 $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)}}.}$$

• 最大誤差が1.2 × 10 ^{−7 は}任意の実引数に対して次の式で表される: [ ^23] および $${\displaystyle \operatorname {erf} x={\begin{cases}1-\tau &x\geq 0\\\tau -1&x<0\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle t={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}|x|}}.}$$
• 絶対値で最大相対誤差が 未満のの近似値は、 については^[24] 、 については${\displaystyle \operatorname {erfc} }$${\displaystyle 2^{-53}}$ ${\displaystyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$${\displaystyle x\geq 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} \left(x\right)&=\left({\frac {0.56418958354775629}{x+2.06955023132914151}}\right)\left({\frac {x^{2}+2.71078540045147805x+5.80755613130301624}{x^{2}+3.47954057099518960x+12.06166887286239555}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+3.47469513777439592x+12.07402036406381411}{x^{2}+3.72068443960225092x+8.44319781003968454}}\right)\left({\frac {x^{2}+4.00561509202259545x+9.30596659485887898}{x^{2}+3.90225704029924078x+6.36161630953880464}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+5.16722705817812584x+9.12661617673673262}{x^{2}+4.03296893109262491x+5.13578530585681539}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.95908795446633271x+9.19435612886969243}{x^{2}+4.11240942957450885x+4.48640329523408675}}\right)e^{-x^{2}}\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle x<0}$ $${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)=2-\operatorname {erfc} \left(-x\right)}$$
• 実数値引数の簡単な近似は、 絶対差を維持する双曲線関数によって 行うことができます。$${\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)\approx z(x)=\tanh \left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {11}{123}}x^{3}\right)\right)}$$${\displaystyle \left|\operatorname {erf} \left(x\right)-z(x)\right|<0.000358,\,\forall x}$

相補誤差関数（erfc ）は次のように定義される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&=1-\operatorname {erf} x\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} x,\end{aligned}}}$$ これはまた、スケールされた相補誤差関数erfcxも定義します^{[25] （}算術アンダーフローを避けるためにerfcの代わりに使用できます^{[25] [26] ）。} x ≥ 0に対するerfc xの別の形式は、発見者にちなんでクレイグの公式として知られています。^{[27]この式は}x が正の値の場合にのみ有効ですが、 erfc x = 2 − erfc(− x )と組み合わせて使用​​​​すると、負の値に対するerfc( x )を取得できます。 この形式の利点は、積分範囲が固定され有限であることです。 この式を2 つの非負変数の和のerfcに拡張すると、次のようになります。 ^[28] $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .}$$ $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .}$$

虚数誤差関数（erfiと表記）は次のように定義される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} x&=-i\operatorname {erf} ix\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}}$$ ここでD ( x )はドーソン関数（算術オーバーフローを避けるためにerfiの代わりに使用できる^[25]）。

「虚数誤差関数」という名前にもかかわらず、xが実数の場合、 erfi x は実数です。

誤差関数が任意の複素引数zに対して評価される場合、結果として得られる複素誤差関数は通常、 Faddeeva関数としてスケールされた形式で議論されます。 $${\displaystyle w(z)=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz).}$$

誤差関数は、標準正規累積分布関数（Φと表記、一部のソフトウェア言語では^norm ( x )とも呼ば^れる）と本質的に同一であり、スケーリングと変換のみが異なる。実際、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$ またはerfとerfc用に並べ替えます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\[6pt]\operatorname {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)\\&=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

その結果、誤差関数は標準正規分布の裾の確率であるQ関数とも密接に関係している。Q関数は誤差関数を使って次のように表現できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} {\frac {x}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$$

Φの逆関数は正規分位関数またはプロビット関数として知られており、逆誤差関数で次のように表される。 $${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$$

標準正規分布の CDF は確率と統計でより頻繁に使用され、誤差関数は数学の他の分野でより頻繁に使用されます。

誤差関数はミッタク・レフラー関数の特殊なケースであり、合流型超幾何関数（クンマー関数）として表現することもできます。 $${\displaystyle \operatorname {erf} x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}M\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$$

これはフレネル積分を使って簡単に表現できます。^{[さらに説明が必要]}

正規化されたガンマ関数 Pと不完全ガンマ関数に関して、 sgn x は符号関数です。 $${\displaystyle \operatorname {erf} x=\operatorname {sgn} x\cdot P\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {\pi }}}\gamma {\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}.}$$

相補誤差関数の反復積分は^{[29]で定義される。} $${\displaystyle {\begin{aligned}i^{n}\!\operatorname {erfc} z&=\int _{z}^{\infty }i^{n-1}\!\operatorname {erfc} \zeta \,\mathrm {d} \zeta \\[6pt]i^{0}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {erfc} z\\i^{1}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {ierfc} z={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}-z\operatorname {erfc} z\\i^{2}\!\operatorname {erfc} z&={\tfrac {1}{4}}\left(\operatorname {erfc} z-2z\operatorname {ierfc} z\right)\\\end{aligned}}}$$

一般的な漸化式は $${\displaystyle 2n\cdot i^{n}\!\operatorname {erfc} z=i^{n-2}\!\operatorname {erfc} z-2z\cdot i^{n-1}\!\operatorname {erfc} z}$$

これらは、対称性の性質に従う べき級数を持ち 、 $${\displaystyle i^{n}\!\operatorname {erfc} z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}},}$$$${\displaystyle i^{2m}\!\operatorname {erfc} (-z)=-i^{2m}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$$$${\displaystyle i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} (-z)=i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}$$