ローレンツ非対称係数

ローレンツ非対称係数( LAC )は、ローレンツ曲線の要約統計量であり、曲線の非対称性の度合いを測定します。ローレンツ曲線は、数量 (通常は経済学では所得や富、生態学では規模や再生産量) の分布における不平等を説明するために使用されます。ローレンツ曲線の最も一般的な要約統計量はジニ係数で、これは人口内の不平等の全体的な尺度です。ローレンツ非対称係数は、ジニ係数の有用な補足となります。ローレンツ非対称係数は次のように定義されます。

${\displaystyle S=F(\mu )+L(\mu )}$

ここで、関数FとL はローレンツ曲線の場合と同様に定義され、μは平均です。S  > 1 の場合、ローレンツ曲線が等直線と平行になる点は対称軸より上になります。同様に、S  < 1 の場合、ローレンツ曲線が等直線と平行になる点は対称軸より下になります。

データが対数正規分布から生じる場合、S  = 1、すなわちローレンツ曲線は対称である。^[1]

サンプル統計量S は、次の式を使用して、 n 個の順序付けられたサイズのデータ​​から計算できます。${\displaystyle (x_{1},...,x_{m},x_{m+1},...,x_{n})}$

${\displaystyle \delta ={\frac {\mu -x_{m}}{x_{m+1}-x_{m}}}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {m+\delta }{n}}}$

${\displaystyle L(\mu )={\frac {L_{m}+\delta x_{m+1}}{L_{n}}}}$、

ここで、mは規模または富がμ ^[1]未満の個人の数であり 、 μに等しい。ただし、1つ以上のデータサイズがμに等しい場合、Sは数値ではなく区間として定義される必要がある（一部のデータがμに等しい場合の#LAC区間を参照）。 ${\displaystyle L_{i}=\sum _{j=1}^{i}x_{j}}$

ローレンツ非対称係数は、ローレンツ曲線の形状の重要な側面を特徴づけます。これは、ジニ係数で測定される人口全体の不平等に最も寄与している規模または富裕層を示します。LAC が 1 未満の場合、不平等は主に、比較的多数の小柄な個人または貧困層によるものです。LAC が 1 より大きい場合、不平等は主に、少数の最も大きな個人または最も裕福な個人によるものです。

対数正規分布に従って分配される所得の場合、LAC は常に 1 になります。

上記の式では、データ値のいずれもμに等しくないことを前提としています。厳密に言えば、データ サイズは連続的に分布しており、 であると仮定しています。そうでない場合、 の 1 つ以上が である場合、ローレンツ曲線の一部は対角線に平行であり、 S は数値ではなく区間として定義する必要があります。区間は次のように定義できます。 ${\displaystyle P(x_{i}=\mu )\approx 0}$${\displaystyle x_{i}=\mu }$

${\displaystyle \left[{\frac {m}{n}}+{\frac {L_{m}}{L_{n}}},{\frac {m+a}{n}}+{\frac {L_{m+a}}{L_{n}}}\right]}$

ここで、aはμに等しいデータ値の数です。

• Damgaard, Christian; Weiner, Jacob (2000). 「植物の大きさや繁殖力の不平等の記述」.生態学. 81 (4): 1139–1142. doi :10.1890/0012-9658(2000)081[1139:DIIPSO]2.0.CO;2.

• LORENZ 3.0 は、Excel シートのデータからサンプルのローレンツ曲線を描画し、ジニ係数とローレンツ非対称係数を計算するMathematicaノートブックです。