より正確には、n 階 の通常の線形微分方程式を考える。 f （ n ） （ z ） + ∑ 私 = 0 n − 1 p 私 （ z ） f （ 私 ） （ z ） = 0 {\displaystyle f^{(n)}(z)+\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}(z)f^{(i)}(z)=0} p i z )は有理型関数 です。
この方程式は、無限遠点を 特異点として含めるために、リーマン球面 上で検討する必要があります。必要に応じて、メビウス変換を 適用して無限遠点を複素平面の有限部分に移動させることができます。下記のベッセル微分方程式の例を参照してください。
すると、指標方程式 に基づくフロベニウス法を 適用して、複素平面上の任意の a の近傍で、べき級数と複素べき乗( z − a ) r 、r は 整数である必要はありません。したがって、この関数は、a から伸びる分岐切断 、またはa の 周りの穴あき円盤 のリーマン面上に存在する場合にのみ存在できます。これは、 a が 通常の点である場合には何の問題もありません(ラザルス・フックス 1866)。a が正則特異点である場合、 定義 により、p n − 私 （ z ） {\displaystyle p_{ni}(z)} a には最大でi の位数の 極 があり、フロベニウス法 も機能し、a の近くで n 個の独立した解を提供することができます。
そうでなければ、点aは 不規則特異点 である。その場合、解析接続 によって解を関連付けるモノドロミー群は 一般にはあまり意味を持たず、漸近展開の観点からを除いて、解を研究することはより困難である。不規則特異点の不規則性はポアンカレ ランクによって測定される。[ 1 ]
正則性条件は、ニュートン多角形 条件の一種であり、許容される極は、 i に対してプロットしたときに、軸に対して 45° の線で囲まれた領域内にあるという意味である。
無限遠点を含め、唯一の特異点が正則特異点である常微分方程式は、 フックス型と呼ばれる。
2階微分方程式の例 この場合、上記の式は次のように簡略化されます。 f 」 （ x ） + p 1 （ x ） f ′ （ x ） + p 0 （ x ） f （ x ） = 0. {\displaystyle f''(x)+p_{1}(x)f'(x)+p_{0}(x)f(x)=0.}
以下のような場合を区別することができる。
点a は 、関数p 1 ( x ) とp 0 ( x )が x = a 、通常の点 です 。 点aは、 p 1 ( x )が x = a p 0 が x = a 、正則特異点 です。 そうでなければ、点aは 不規則な特異点 である。 置換を用いることで、無限遠に不規則な特異点が存在するかどうかを確認できる。w = 1 / x {\displaystyle w=1/x} d f d x = − w 2 d f d w {\displaystyle {\frac {df}{dx}}=-w^{2}{\frac {df}{dw}}} d 2 f d x 2 = w 4 d 2 f d w 2 + 2 w 3 d f d w {\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=w^{4}{\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+2w^{3}{\frac {df}{dw}}}
したがって、この方程式をw に関する方程式に変換し、w = 0p 1 （ x ） {\displaystyle p_{1}(x)} p 2 （ x ） {\displaystyle p_{2}(x)} が p 1 （ x ） {\displaystyle p_{1}(x)} の次数 は、分子の次数より少なくとも１つ大きく、分母の次数はp 2 （ x ） {\displaystyle p_{2}(x)}
以下に、特異点と既知の解を持つ、数理物理学 における常微分方程式の例をいくつか示します。
ベッセル微分方程式 これは2階常微分方程式です。円筒座標系 におけるラプラス方程式 の解として得られます。 x 2 d 2 f d x 2 + x d f d x + （ x 2 − α 2 ） f = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})f=0} 複素数 α (ベッセル関数 の次数 ) に対して。最も一般的で重要な特殊なケースは、α が整数 n の場合です。
この方程式をx 2 で割ると次のようになります。 d 2 f d x 2 + 1 x d f d x + （ 1 − α 2 x 2 ） f = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {df}{dx}}+\left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{x^{2}}}\right)f=0.}
この場合、p 1 ( x ) = 1/ xは x = 0、 p( x ) = (1 − α 2 / x 2 )はx = 0
x → ∞メビウス変換を 使う必要がある。x = 1 / w {\displaystyle x=1/w} d 2 f d w 2 + 1 w d f d w + [ 1 w 4 − α 2 w 2 ] f = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0}
現在w = 0 {\displaystyle w=0} p 1 （ w ） = 1 w {\displaystyle p_{1}(w)={\frac {1}{w}}} p 0 （ w ） = 1 w 4 − α 2 w 2 {\displaystyle p_{0}(w)={\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}} w = 0 {\displaystyle w=0} x に対応する。
ルジャンドル微分方程式 これは2階常微分方程式です。球面座標 におけるラプラス方程式 の解の中にあります。 d d x [ （ 1 − x 2 ） d d x f ] + ℓ （ ℓ + 1 ） f = 0. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+\ell (\ell +1)f=0.}
角括弧を開くと次のようになります。 （ 1 − x 2 ） d 2 f d x 2 − 2 x d f d x + ℓ （ ℓ + 1 ） f = 0. {\displaystyle \left(1-x^{2}\right){d^{2}f \over dx^{2}}-2x{df \over dx}+\ell (\ell +1)f=0.}
そして(1 − x 2 ) で割ると： d 2 f d x 2 − 2 x 1 − x 2 d f d x + ℓ （ ℓ + 1 ） 1 − x 2 f = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-{\frac {2x}{1-x^{2}}}{\frac {df}{dx}}+{\frac {\ell (\ell +1)}{1-x^{2}}}f=0.}
この微分方程式は、±1と∞に正則な特異点を持つ。
エルミート微分方程式 この通常の2階微分方程式は、1次元の時間独立シュレーディンガー方程式を解く際に現れる。 E ψ = − ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + V （ x ） ψ {\displaystyle E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi } 調和振動子 の場合、ポテンシャルエネルギーV ( x ) は次のようになります 。V （ x ） = 1 2 m ω 2 x 2 。 {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}
これにより、以下の常微分方程式が得られる。 d 2 f d x 2 − 2 x d f d x + λ f = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-2x{\frac {df}{dx}}+\lambda f=0.}
この微分方程式は∞に不規則な特異点を持つ。その解はエルミート多項式 である。
超幾何方程式 この方程式は次のように定義できます。 z （ 1 − z ） d 2 f d z 2 + [ c − （ 1 + b + 1 ） z ] d f d z − 1 b f = 0. {\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.}
両辺をz (1 − z )d 2 f d z 2 + c − （ 1 + b + 1 ） z z （ 1 − z ） d f d z − 1 b z （ 1 − z ） f = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+{\frac {c-(a+b+1)z}{z(1-z)}}{\frac {df}{dz}}-{\frac {ab}{z(1-z)}}f=0.}
この微分方程式は、0、1、および∞に正則特異点を持つ。解は超幾何関数 である。
参考文献 ↑ Arscott, FM (1995). "Heunの方程式". Ronveaux, A. (編). Heunの微分方程式 . Oxford University Press. p. 74. ISBN 0198596952 。 
![{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dw^{2}}}+{\frac {1}{w}}{\frac {df}{dw}}+\left[{\frac {1}{w^{4}}}-{\frac {\alpha ^{2}}{w^{2}}}\right]f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb92277d5c170bbe6eef15dc500b20c43625749)
![\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}f\right]+\ell (\ell +1)f=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce689c2c583ab9eed555f3e6e43e1969658cd869)
![{\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {df}{dz}}-abf=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6675d6a9339985151e44cce4111a550c85dfdd89)
