ルベーグ微分定理

数学において、ルベーグ微分定理は実解析の定理であり、ほとんどすべての点において、積分可能な関数の値は、その点の周りで取られた極限平均に等しいことを述べている。この定理はアンリ・ルベーグにちなんで名付けられた。

R ⁿ上のルベーグ積分可能な実数値または複素数値関数fに対して、不定積分は、可測集合Aをそのルベーグ積分に写像する集合関数である。${\displaystyle f\cdot \mathbf {1} _{A}}$、 どこ$\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$は集合Aの特性関数を表します。通常は次のように表記されます。 $${\displaystyle A\mapsto \int _{A}f\ \mathrm {d} \lambda ,}$$ここ でλはn次元ルベーグ測度である。

この積分のxにおける導関数は次のように定義される。 $${\displaystyle \lim _{B\to x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f\,\mathrm {d} \lambda ,}$$ ここで、| B |はxを中心とする球Bの体積（すなわちルベーグ測度）を表し、B → xはBの直径が0に近づくことを意味します。 ルベーグ微分定理（ルベーグ 1910 ）によれば、この導関数は存在し、ほとんどすべての点x∈Rnでf ( x )に等しくなります。^{[ 1 ]}実際には、もう少し強い主張が成り立ちます。次の点に注意し てください^。  $$\left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} \lambda (y)-f(x)\right|=\left|{\frac {1}{|B|}}\int _{B}(f(y)-f(x))\,\mathrm {d} \lambda (y)\right|\leq {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f(x)|\,\mathrm {d} \lambda (y).}$$

より強い主張は、右辺がほとんどすべての点xに対してゼロに近づくということである。これが成り立つ点xは、 fのルベーグ点と呼ばれる。

より一般的なバージョンも成り立つ。ボールBをファミリーに置き換えることができる。${\displaystyle {\mathcal {V}}}$有界な偏心率を持つ集合Uの集合。これは、ある固定されたc > 0が存在し、集合族の各集合U が、 ある球Bに含まれることを意味します。 ${\displaystyle |U|\geq c\,|B|}$また、すべての点x ∈ R ^{n は、}から任意に小さな集合に含まれると仮定します。${\displaystyle {\mathcal {V}}}$これらの集合がxに縮小すると、同じ結果が成り立ちます。ほとんどすべての点xに対して、 $${\displaystyle f(x)=\lim _{U\to x,\,U\in {\mathcal {V}}}{\frac {1}{|U|}}\int _{U}f\,\mathrm {d} \lambda .}$$

立方体のファミリーはそのようなファミリーの一例である。${\displaystyle {\mathcal {V}}}$家族も同様${\displaystyle {\mathcal {V}}}$R ²内の( m ) 個の長方形で、辺の比がm ⁻¹からmの間に留まるもの (m ≥ 1の固定mに対して^{)。R n}上に任意のノルムが与えられた場合、そのノルムに関連付けられた計量に対する球の族も別の例です。  

1次元の場合については、ルベーグ（1904年）によって既に証明されている。fが実数直線上で積分可能であれば、関数は $${\displaystyle F(x)=\int _{(-\infty ,x]}f(t)\,\mathrm {d} t}$$ はほぼ至るところで微分可能であり、${\displaystyle F'(x)=f(x).}$だった${\displaystyle F}$リーマン積分によって定義されるこの定理は、本質的には微積分学の基本定理であるが、ルベーグはルベーグ積分を使用した場合でもこの定理が真であることを証明した。^{[ 2 ]}

定理のより強い形式、すなわちほとんどすべての点が局所的に積分可能な関数fのルベーグ点であるという定理は、ハーディ・リトルウッド最大関数に対する弱い– L ¹評価の結果として証明できます。以下の証明は、Benedetto & Czaja (2009)、Stein & Shakarchi (2005)、 Wheeden & Zygmund (1977)、Rudin (1987)に見られる標準的な扱いに従います。

この命題は局所的な性質を持つため、f はある有限半径の球の外側ではゼロであると仮定でき、したがって積分可能である。このとき、集合が次のことを証明すれば十分である。

${\displaystyle E_{\alpha }={\Bigl \{}x\in \mathbf {R} ^{n}:\limsup _{|B|\rightarrow 0,\,x\in B}{\frac {1}{|B|}}{\bigg |}\int _{B}f(y)-f(x)\,\mathrm {d} y{\bigg |}>2\alpha {\Bigr \}}}$

α  > 0のすべての値に対して、測度は 0 である 。

ε  > 0 が与えられているとする 。L 1 ( R ⁿ )におけるコンパクト台を持つ連続関数の密度を用いると、以下の条件を満たす関数gを見つけることができる^。

${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}=\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f(x)-g(x)|\,\mathrm {d} x<\varepsilon .}$

そこで、主な違いを次のように書き直すと便利です。

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}f(y)\,\mathrm {d} y-f(x)={\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}{\bigl (}f(y)-g(y){\bigr )}\,\mathrm {d} y{\Bigr )}+{\Bigl (}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}g(y)\,\mathrm {d} y-g(x){\Bigr )}+{\bigl (}g(x)-f(x){\bigr )}.}$

最初の項は、 f − gの最大関数のxにおける値によって制限され、ここでは次のように表されます。  ${\displaystyle (f-g)^{*}(x)}$:

${\displaystyle {\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y\leq \sup _{r>0}{\frac {1}{|B_{r}(x)|}}\int _{B_{r}(x)}|f(y)-g(y)|\,\mathrm {d} y=(f-g)^{*}(x).}$

gは連続関数であるため、第 2 項は極限で消滅し、第 3 項は | f ( x ) − g ( x )| で制限されます。元の差の絶対値が極限で2 αより大きくなるためには、第 1 項または第 3 項の少なくとも 1 つの絶対値がαより大きくなければなりません。しかし、ハーディ・リトルウッド関数の推定では、 

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:(f-g)^{*}(x)>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {A_{n}}{\alpha }}\,\varepsilon ,}$

ある定数A _nは次元nのみに依存する。マルコフの不等式（チェビシェフの不等式とも呼ばれる）は、

${\displaystyle {\Bigl |}\left\{x:|f(x)-g(x)|>\alpha \right\}{\Bigr |}\leq {\frac {1}{\alpha }}\,\|f-g\|_{L^{1}}<{\frac {1}{\alpha }}\,\varepsilon }$

したがって

${\displaystyle |E_{\alpha }|\leq {\frac {A_{n}+1}{\alpha }}\,\varepsilon .}$

εは任意であったため、εは任意に小さくすることができ、定理が成り立つ。

ヴィタリ被覆補題はこの定理の証明に不可欠であり、ハーディ・リトルウッド最大関数の評価を証明する上で重要な役割を果たします。

この定理は、導関数の定義において、球を、ルベーグの正則性条件を満たす直径がゼロに近づく集合の族（上記で定義した、偏心率が有界な集合の族）に置き換えた場合でも成り立つ。これは、ヴィタリの被覆補題の記述においても同様の変更が可能であることから導かれる。

これは、リーマン積分可能な関数とその（不定）積分の導関数を等しいとする微積分学の基本定理の類推であり、かつ一般化である。また、逆の定理、すなわちすべての微分可能な関数はその導関数の積分に等しいことを示すことも可能であるが、そのためには任意の導関数を積分できるようにヘンストック・クルツヴァイル積分が必要となる。

ルベーグ微分定理の特殊な場合として、ルベーグ密度定理があります。これは、可測集合の特性関数に関する微分定理と同等です。密度定理は通常、より簡単な方法で証明されます（例えば、「測度とカテゴリー」を参照）。

この定理は、ルベーグ測度の代わりにR ⁿ上の任意の有限ボレル測度に対しても成り立ちます(証明は、例えば( Ledrappier & Young 1985 )を参照)。より一般的には、以下のいずれかが成り立つような、可分距離空間上の任意の有限ボレル測度に対して成り立ちます。

• 計量空間はリーマン多様体である。
• 距離空間は局所的にコンパクトな超距離空間である。
• その措置は倍増している。

これらの結果の証明は、（Federer 1969）の2.8～2.9節に記載されています。

• ルベーグの密度定理

• アンリ・ルベーグ(1904)。統合とプリミティブの機能の研究。パリ：ゴーティエ・ヴィラール。
• アンリ・ルベーグ（1910年）。「Sur l'intégration des fonctions の廃止」。高等師範科学誌。27 : 361–450 .土井: 10.24033/asens.624。
• ウィーデン、リチャード L.、ジグムント、アントニ(1977)。測度と積分 ― 実解析入門。マルセル デッカー。
• オクトビー、ジョン・C. (1980).測定とカテゴリー. シュプリンガー・フェルラーク.
• Stein, Elias M. ; Shakarchi, Rami (2005).実解析. プリンストン解析講義 III. プリンストン、ニュージャージー州: プリンストン大学出版局. pp.  xx+402. ISBN 0-691-11386-6。MR 2129625 
• ジョン・J・ベネデット;ツァヤ、ヴォイチェフ (2009)。統合と最新の分析。ビルクホイザー アドバンスト テキスト。スプリンガー。361 ～ 364ページ。ISBN  978-0817643065。
• ルディン、ウォルター（1987）。実解析と複素解析。国際純粋応用数学シリーズ（第3 版）。マグロウヒル。ISBN 0070542341。
• Ledrappier, F.; Young, LS (1985). "微分同相写像の計量エントロピー: パート I: Pesin のエントロピー公式を満たす測度の特徴付け". Annals of Mathematics . 122 (3): 509– 539. doi : 10.2307/1971328 . JSTOR 1971328 . 
• フェデラー、ハーバート（1969年）。幾何測度理論。 Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、バンド。 Vol.  153. ニューヨーク: Springer-Verlag New York Inc.