ローレンツ共変性

相対論的物理学において、ローレンツ対称性またはローレンツ不変性は、オランダの物理学者ヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられ、特殊相対性理論による観測の等価性または観測対称性であり、慣性系内で互いに対して動いているすべての観測者に対して物理法則が同じままであることを意味します。これは、「実験結果が宇宙空間における実験室の向きやブースト速度に依存しないという自然の特徴」とも説明されています。^[1]

関連概念であるローレンツ共変性は、基礎となる時空多様体の特性です。ローレンツ共変性には、2 つの異なるが密接に関連した意味があります。

1. 物理量がローレンツ群の与えられた表現の下で変換する場合、その物理量はローレンツ共変であるといわれる。ローレンツ群の表現論によれば、これらの量はスカラー、4元ベクトル、4元テンソル、スピノルから構成される。特に、ローレンツ共変スカラー（例えば、時空間隔）はローレンツ変換の下で同じままであり、ローレンツ不変であるといわれる（すなわち、それらは自明な表現の下で変換する）。
2. 方程式は、ローレンツ共変量で表すことができる場合、ローレンツ共変であると言われます (紛らわしいことに、ここで不変という用語を使用する人もいます)。このような方程式の重要な特性は、1 つの慣性系で成り立つ場合は、どの慣性系でも成り立つことです。これは、テンソルのすべての成分が 1 つの系で消える場合は、すべての系で消えるという結果から導かれます。この条件は、相対性原理による要件です。つまり、すべての非重力法則は、2 つの異なる慣性系で同じ時空イベントで行われる同一の実験に対して、同じ予測を行う必要があります。

多様体では、共変と反変という言葉は、一般的な座標変換の下でオブジェクトがどのように変換されるかを指します。共変と反変の 4 元ベクトルはどちらもローレンツ共変量になり得ます。

一般相対性理論に従う局所ローレンツ共変性は、あらゆる点において時空の微小領域にのみ局所的に適用されるローレンツ共変性を指します。この概念は、ポアンカレ共変性とポアンカレ不変性をカバーするように一般化されています。

^{一般に、ローレンツ テンソル[説明が必要]}の (変換) 性質は、テンソルの順序、つまりテンソルが持つ自由インデックスの数によって識別できます。インデックスがない場合はスカラー、インデックスが 1 つある場合はベクトルなどです。物理的に解釈できるテンソルをいくつか以下に示します。

ミンコフスキー計量の符号規則η = diag  (1, −1, −1, −1)が記事全体で使用されます。

時空間間隔

${\displaystyle \Delta s^{2}=\Delta x^{a}\Delta x^{b}\eta _{ab}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}}$

固有時間（時間的間隔の場合）

${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\frac {\Delta s^{2}}{c^{2}}}},\,\Delta s^{2}>0}$

適切な距離（空間的な間隔の場合）

${\displaystyle L={\sqrt {-\Delta s^{2}}},\,\Delta s^{2}}},0}$

質量

${\displaystyle m_{0}^{2}c^{2}=P^{a}P^{b}\eta _{ab}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}}$

電磁気不変量

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{ab}F^{ab}&=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)\\G_{cd}F^{cd}&={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}F^{cd}=-{\frac {4}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)\end{aligned}}}$

ダランベルシアン/波動演算子

${\displaystyle \Box =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}$

4排気量

${\displaystyle \Delta X^{a}=\left(c\Delta t,\Delta {\vec {x}}\right)=(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}$

4ポジション

${\displaystyle X^{a}=\left(ct,{\vec {x}}\right)=(ct,x,y,z)}$

4 段階

これは4D偏微分である：

${\displaystyle \partial ^{a}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\frac {\partial }{\partial x}},-{\frac {\partial }{\partial y}},-{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

4速

${\displaystyle U^{a}=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\gamma \left(c,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)}$

どこ${\displaystyle U^{a}={\frac {dX^{a}}{d\tau }}}$

4-勢い

${\displaystyle P^{a}=\left(\gamma mc,\gamma m{\vec {v}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

ここで、 および は静止質量です。${\displaystyle P^{a}=mU^{a}}$${\displaystyle m}$

4-現在

${\displaystyle J^{a}=\left(c\rho ,{\vec {j}}\right)=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)}$

どこ${\displaystyle J^{a}=\rho _{o}U^{a}}$

4-潜在能力

${\displaystyle A^{a}=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)=\left({\frac {\phi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)}$

クロネッカーデルタ

${\displaystyle \delta _{b}^{a}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b,\\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}}$

ミンコフスキー計量（一般相対性理論による平坦空間の計量）

${\displaystyle \eta _{ab}=\eta ^{ab}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b=0,\\-1&{\mbox{if }}a=b=1,2,3,\\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}}$

電磁場テンソル（メトリックシグネチャ+ − − − を使用）

${\displaystyle F_{ab}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{c}}E_{x}&{\frac {1}{c}}E_{y}&{\frac {1}{c}}E_{z}\\-{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

二重電磁場テンソル

${\displaystyle G_{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&{\frac {1}{c}}E_{z}&-{\frac {1}{c}}E_{y}\\-B_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{z}&0&{\frac {1}{c}}E_{x}\\-B_{z}&{\frac {1}{c}}E_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{x}&0\end{bmatrix}}}$

標準場の理論では、QEDと標準モデルの両方において、限界および関連するローレンツ非保存演算子に非常に厳格で厳しい制約が課せられます。無関係なローレンツ非保存演算子は高いカットオフスケールによって抑制される可能性がありますが、通常は放射補正によって限界および関連するローレンツ非保存演算子を誘発します。したがって、無関係なローレンツ非保存演算子にも非常に厳格で厳しい制約が課せられます。

量子重力へのいくつかのアプローチはローレンツ不変性の破れにつながるため、^{[2]これらの研究は}現象論的量子重力の一部です。ローレンツ不変性の破れは弦理論、超対称性、ホラヴァ・リフシッツ重力で許容されます。^[3]

ローレンツ不変性を破るモデルは、通常4つのクラスに分類されます。^[要出典]

• 物理法則はまさにローレンツ共変ですが、この対称性は自発的に破れます。特殊相対論では、これがフォノン、つまりゴールドストーン粒子につながります。フォノンは光速よりも遅い速度で移動します。
• 格子内のフォノンの近似ローレンツ対称性（音速が臨界速度の役割を果たす）と同様に、特殊相対論のローレンツ対称性（真空中の光速が臨界速度となる）は、物理法則の低エネルギー限界に過ぎず、ある基本スケールで新しい現象を伴う。裸の従来の「素粒子」は、非常に小さな距離スケールでは点状の場の理論的対象ではないため、ゼロでない基本長を考慮する必要がある。ローレンツ対称性の破れは、運動量が減少するにつれてゼロに近づくエネルギー依存パラメータによって支配される。^{[4]このようなパターンには、}特権的な局所慣性フレーム（「真空静止フレーム」）の存在が必要である。これらは、ピエール・オージェ観測所のような超高エネルギー宇宙線実験によって、少なくとも部分的にテストすることができる。^[5]
• 物理法則はローレンツ群、より一般的にはポアンカレ群の変形に対して対称であり、この変形された対称性は正確で破られていない。この変形された対称性は、典型的には量子群対称性でもあり、これは群対称性の一般化である。変形された特殊相対性は、このクラスのモデルの例である。変形はスケールに依存しており、プランクスケールよりもはるかに大きい長さスケールでは、対称性はポアンカレ群と非常によく似ていることを意味する。超高エネルギー宇宙線実験では、このようなモデルをテストすることはできない。
• 非常に特殊な相対性理論は独自のクラスを形成します。電荷パリティ(CP) が正確な対称性である場合、ローレンツ群のサブグループですべての標準的な予測が得られます。しかし、これは当てはまりません。

最初の 2 つのクラスに属するモデルは、ローレンツの破れがプランク スケールまたはそれを超えて発生する場合、あるいは適切なプレオニックモデルではそれ以前に発生する場合、^[6]およびローレンツ対称性の破れが適切なエネルギー依存パラメータによって制御される場合、実験と一貫性を保つことができます。すると、プランク スケールの近くでポアンカレ対称性から逸脱するが、非常に大きな長さのスケールでは正確なポアンカレ群に向かって流れるモデルのクラスが得られます。これは 3 番目のクラスにも当てはまり、正確な (量子) 対称性が維持されるため、さらに放射補正から保護されます。

ローレンツ不変性の破れの証拠はないが、近年、そのような破れの実験的探索がいくつか行われている。これらの探索結果の詳細な要約は、ローレンツ不変性とCPT不変性の破れのデータ表に示されている。^[7]

ローレンツ不変性は、非ゼロ温度を仮定したQFTでも破れる。^{[8] [9] [10]}

ワイル半金属やディラック半金属におけるローレンツ対称性の破れの証拠も増えている。^{[11] [12] [13] [14] [15]}

• ローレンツ対称性と CPT 対称性の破れに関する背景情報: http://www.physics.indiana.edu/~kostelec/faq.html
• Mattingly, David (2005). 「ローレンツ不変性の最新テスト」Living Reviews in Relativity . 8 (1): 5. arXiv : gr-qc/0502097 . Bibcode :2005LRR.....8....5M. doi : 10.12942/lrr-2005-5 . PMC  5253993. PMID  28163649 .
• Amelino-Camelia G、Ellis J、Mavromatos NE、Nanopoulos DV、Sarkar S (1998 年 6 月)。「大胆なガンマ線バーストの観測による量子重力のテスト」。Nature。393 ( 6687 ) : 763–765。arXiv : astro-ph/9712103。Bibcode :1998Natur.393..763A。doi : 10.1038/31647。S2CID 4373934。2007年 12月22 日閲覧。
• Jacobson T 、Liberati S、Mattingly D (2003 年 8 月)。 「量子重力による特殊相対論の違反に対する強い天体物理学的制約」。Nature。424  ( 6952 ): 1019–1021。arXiv : astro-ph/0212190。Bibcode : 2003Natur.424.1019J。CiteSeerX 10.1.1.256.1937。doi : 10.1038 / nature01882。PMID 12944959。S2CID 17027443  。 
• Carroll S (2003年8 月)。「量子重力: 天体物理学的制約」。Nature . 424 ( 6952): 1007–1008。Bibcode : 2003Natur.424.1007C。doi : 10.1038 /4241007a。PMID 12944951。S2CID 4322563  。
• Jacobson, T.; Liberati, S.; Mattingly, D. (2003). 「閾値効果とプランクスケールのローレンツ破れ: 高エネルギー天体物理学からの複合制約」. Physical Review D. 67 ( 12): 124011. arXiv : hep-ph/0209264 . Bibcode :2003PhRvD..67l4011J. doi :10.1103/PhysRevD.67.124011. S2CID  119452240.