エルミート・ヤンとミルズの関係

数学、特にゲージ理論と複素幾何学において、エルミート・ヤン・ミルズ接続（またはエルミート・アインシュタイン接続）は、ケーラー多様体上の正則ベクトル束の内積に関連付けられたチャーン接続であり、アインシュタイン方程式の類似を満たす。すなわち、接続の曲率2形式とケーラー形式の縮約は、恒等変換の定数倍でなければならない。エルミート・ヤン・ミルズ接続はヤン・ミルズ接続の特殊な例であり、インスタントンと呼ばれることが多い。

ドナルドソン、ウーレンベック、ヤウによって証明された小林-ヒッチン対応は、コンパクトケーラー多様体上の正則ベクトル束がエルミートヤン-ミルズ接続を持つのは、それが傾斜多安定である場合に限ると主張している。

エルミート・アインシュタイン接続は、エルミート・ヤン・ミルズ方程式の解として現れる。これらはケーラー多様体上のベクトル束に関する偏微分方程式系であり、ヤン・ミルズ方程式を導く。${\displaystyle A}$エルミートベクトル束上のエルミート接続である${\displaystyle E}$ケーラー多様体上${\displaystyle X}$寸法${\displaystyle n}$すると、エルミートヤン・ミルズ方程式は次のようになります。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{A}^{0,2}=0\\&F_{A}\cdot \omega =\lambda (E)\operatorname {Id} ,\end{aligned}}}$

ある定数に対して${\displaystyle \lambda (E)\in \mathbb {C} }$ここに次のものがあります: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle F_{A}\wedge \omega ^{n-1}=(F_{A}\cdot \omega )\omega ^{n}=\lambda (E)\omega ^{n}\operatorname {Id} .}$

なぜなら${\displaystyle A}$エルミート接続であると仮定すると、曲率${\displaystyle F_{A}}$は歪エルミート行列であり、したがって${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$暗示する${\displaystyle F_{A}^{2,0}=0}$基礎となるケーラー多様体が${\displaystyle X}$コンパクトで、${\displaystyle \lambda (E)}$はチャーン・ワイル理論を用いて計算できる。すなわち、

${\displaystyle {\begin{aligned}\deg(E)&:=\int _{X}c_{1}(E)\wedge \omega ^{n-1}\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{X}\operatorname {Tr} (F_{A})\wedge \omega ^{n-1}\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{X}\operatorname {Tr} (F_{A}\cdot \omega )\omega ^{n}.\end{aligned}}}$

以来${\displaystyle F_{A}\cdot \omega =\lambda (E)\operatorname {Id} _{E}}$また、恒等自己準同型は、ランクによって与えられるトレースを持つ。${\displaystyle E}$我々は得る

${\displaystyle \lambda (E)=-{\frac {2\pi i}{n!\operatorname {Vol} (X)}}\mu (E),}$

どこ${\displaystyle \mu (E)}$ベクトル束の傾き${\displaystyle E}$^{[ 3 ]}で与えられる

${\displaystyle \mu (E)={\frac {\deg(E)}{\operatorname {rank} (E)}},}$

そしてその量は${\displaystyle X}$体積形式に関して${\displaystyle \omega ^{n}/n!}$。

エルミート・ヤン・ミルズ方程式の2番目の条件がアインシュタイン計量の方程式と類似しているため、エルミート・ヤン・ミルズ方程式の解は、エルミート・ヤン・ミルズ接続だけでなく、エルミート・アインシュタイン接続とも呼ばれることが多い。

ケーラー・アインシュタイン計量のレヴィ・チヴィタ接続は、ケーラー・アインシュタイン計量に関してエルミート・アインシュタイン接続である。（ただし、これらの例は危険なほど誤解を招く。なぜなら、ページ計量のようなコンパクトなアインシュタイン多様体が存在するからである。）${\displaystyle {\mathbb {C} P}^{2}\#{\overline {\mathbb {C} P^{2}}}}$（エルミート関数ではあるが、レヴィ＝チヴィタの関係はエルミート＝アインシュタインの関係ではない。）

エルミートベクトル束${\displaystyle E}$正則構造を持つ場合、エルミート接続として自然な選択肢としてチャーン接続がある。チャーン接続の場合、条件は次のようになる。${\displaystyle F_{A}^{0,2}=0}$は自動的に満たされる。ヒッチン・コバヤシ対応は、正則ベクトル束が${\displaystyle E}$エルミート計量を許容する${\displaystyle h}$関連するチャーン接続がエルミートヤン・ミルズ方程式を満たすのは、ベクトル束が多安定である場合に限る。この観点から、エルミートヤン・ミルズ方程式は計量に関する方程式系と見なすことができる。${\displaystyle h}$関連するチャーン接続ではなく、方程式を解くこのような計量はエルミート・アインシュタイン計量と呼ばれます。^{[ 1 ]}

チャーン接続に関するエルミート・アインシュタイン条件は、小林（1980 、第6節）によって初めて導入された。これらの式は任意の次元でヤン・ミルズ方程式を意味し、実次元4ではインスタントンを定義する自己双対ヤン・ミルズ方程式と密接に関連している。特に、ケーラー多様体の複素次元が ${\displaystyle X}$は${\displaystyle 2}$形態は自己双対形態と反自己双対形態に分裂する。複雑な構造はこれと以下のように相互作用する。

${\displaystyle \Lambda _{+}^{2}=\Lambda ^{2,0}\oplus \Lambda ^{0,2}\oplus \langle \omega \rangle ,\qquad \Lambda _{-}^{2}=\langle \omega \rangle ^{\perp }\subset \Lambda ^{1,1}}$

ベクトル束の次数が${\displaystyle E}$が消滅すると、エルミートヤン・ミルズ方程式は次のようになる。${\displaystyle F_{A}^{0,2}=F_{A}^{2,0}=F_{A}\cdot \omega =0}$上記の表現によれば、これはまさに次の条件である。${\displaystyle F_{A}^{+}=0}$つまり、${\displaystyle A}$はASD インスタントンです。次数がゼロにならない場合、エルミート ヤン・ミルズ方程式の解は反自己双対にはなり得ず、実際、この場合、ASD 方程式の解は存在しません。^{[ 4 ]}

• アインシュタイン多様体
• 変形エルミートヤン・ミルズ方程式
• ゲージ理論（数学）

• 小林正七 (1980) 「第一チャーン類と正則テンソル場」名古屋数学雑誌、77 : 5–11、doi : 10.1017/S0027763000018602、ISSN 0027-7630、MR 0556302、S2CID 118228189   
• 小林正七（1987）「複素ベクトル束の微分幾何学」日本数学会紀要第 15巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08467-1MR 0909698​ 
• Huybrechts, Daniel (2004年11月18日).複素幾何学入門. Universitext. Springer Science+Business Media . ISBN 978-3540212904。{{cite book}}: CS1メンテナンス: 年 (リンク)