すべての因数がアーベルである非正規級数を持つ群
数学、より具体的には 群論 の分野において 、 可 解群（かくかいぐん） または 可溶群（かほうぐん）とは、 拡大を 用いて アーベル群 から構成できる 群 である。同様に、可解群とは、 導来級数が 自明部分群 で終了する 群である 。
モチベーション
歴史的に、「解ける」という言葉は、 ガロア理論と 五次 方程式 の一般的な解けなさの証明から生まれた。具体的には、 多項式方程式が 根号 で解けるのは、 対応する ガロア群 が解ける 場合のみである [1] （この定理は 特性 0でのみ成立する点に注意 ）。これは、多項式に関連し、 体拡大の塔が存在することを意味する。
f
∈
F
[
x
]
{\displaystyle f\in F[x]}
F
=
F
0
⊆
F
1
⊆
F
2
⊆
⋯
⊆
F
m
=
K
{\displaystyle F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K}
そのような
F
i
=
F
i
−
1
[
α
i
]
{\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}
ここで は 、 方程式の解であり 、ここで
α
i
m
i
∈
F
i
−
1
{\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}}
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
x
m
i
−
a
{\displaystyle x^{m_{i}}-a}
a
∈
F
i
−
1
{\displaystyle a\in F_{i-1}}
F
m
{\displaystyle F_{m}}
分割フィールド が 含まれています
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
例 元を含む
最小のガロア体拡大
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
a
=
2
+
3
5
{\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}
は可解な群を与える。関連するフィールド拡張
Q
⊆
Q
(
2
)
⊆
Q
(
2
,
3
)
⊆
Q
(
2
,
3
)
(
e
2
i
π
/
5
)
⊆
Q
(
2
,
3
)
(
e
2
i
π
/
5
,
a
)
{\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)}
次の合成因子 を含むガロア拡大の可解な群を与える （ここで は恒等置換）。
1
{\displaystyle 1}
A
u
t
(
Q
(
2
)
/
Q
)
≅
Z
/
2
{\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}})} \right/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /2}
群作用 と 最小多項式
f
(
±
2
)
=
∓
2
,
f
2
=
1
{\displaystyle f\left(\pm {\sqrt {2}}\right)=\mp {\sqrt {2}},\ f^{2}=1}
x
2
−
2
{\displaystyle x^{2}-2}
A
u
t
(
Q
(
2
,
3
)
/
Q
(
2
)
)
≅
Z
/
2
{\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})} \right/\mathbb {Q({\sqrt {2}})} )\cong \mathbb {Z} /2}
群作用 と最小多項式
g
(
±
3
)
=
∓
3
,
g
2
=
1
{\displaystyle g\left(\pm {\sqrt {3}}\right)=\mp {\sqrt {3}},\ g^{2}=1}
x
2
−
3
{\displaystyle x^{2}-3}
A
u
t
(
Q
(
2
,
3
)
(
e
2
i
π
/
5
)
/
Q
(
2
,
3
)
)
≅
Z
/
4
{\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\right)\cong \mathbb {Z} /4}
群作用を持ち 、を 除く1の5乗根を含む最小多項式である。
h
n
(
e
2
i
m
π
/
5
)
=
e
2
(
n
+
1
)
m
i
π
/
5
,
0
≤
n
≤
3
,
h
4
=
1
{\displaystyle h^{n}\left(e^{2im\pi /5}\right)=e^{2(n+1)mi\pi /5},\ 0\leq n\leq 3,\ h^{4}=1}
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+
1
=
(
x
5
−
1
)
/
(
x
−
1
)
{\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{5}-1)/(x-1)}
1
{\displaystyle 1}
A
u
t
(
Q
(
2
,
3
)
(
e
2
i
π
/
5
,
a
)
/
Q
(
2
,
3
)
(
e
2
i
π
/
5
)
)
≅
Z
/
5
{\displaystyle \mathrm {Aut} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5},a\right)/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2i\pi /5}\right)\right)\cong \mathbb {Z} /5}
群作用 と最小多項式
j
l
(
a
)
=
e
2
l
i
π
/
5
a
,
j
5
=
1
{\displaystyle j^{l}(a)=e^{2li\pi /5}a,\ j^{5}=1}
x
5
−
(
2
+
3
)
{\displaystyle x^{5}-\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)}
定義グループ アクション (たとえば、 ) のそれぞれは、他のすべての拡張子を固定したまま、単一の拡張子を変更します。80 個のグループ アクションは、セット です 。
f
g
h
3
j
4
{\displaystyle fgh^{3}j^{4}}
{
f
a
g
b
h
n
j
l
,
0
≤
a
,
b
≤
1
,
0
≤
n
≤
3
,
0
≤
l
≤
4
}
{\displaystyle \{f^{a}g^{b}h^{n}j^{l},\ 0\leq a,b\leq 1,\ 0\leq n\leq 3,\ 0\leq l\leq 4\}}
この群は アーベル群 ではありません。たとえば、であるのに対し、 であり 、実際はです 。
h
j
(
a
)
=
h
(
e
2
i
π
/
5
a
)
=
e
4
i
π
/
5
a
{\displaystyle hj(a)=h(e^{2i\pi /5}a)=e^{4i\pi /5}a}
j
h
(
a
)
=
j
(
a
)
=
e
2
i
π
/
5
a
{\displaystyle jh(a)=j(a)=e^{2i\pi /5}a}
j
h
=
h
j
3
{\displaystyle jh=hj^{3}}
これは と同型であり 、ここで は 巡回群 の 半直積 と 直積を 使用して定義されます 。 は正規部分群ではありません。
(
Z
5
⋊
φ
Z
4
)
×
(
Z
2
×
Z
2
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} _{5}\rtimes _{\varphi }\mathbb {Z} _{4})\times (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}
φ
h
(
j
)
=
h
j
h
−
1
=
j
2
{\displaystyle \varphi _{h}(j)=hjh^{-1}=j^{2}}
Z
4
{\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}
意味 群 G が 可解で あるとは、 その 因子群 （商群）がすべて アーベルであるよう な非正規級数 、すなわち 部分群が存在する場合である。
1
=
G
0
◃
G
1
◃
⋯
◃
G
k
=
G
{\displaystyle 1=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{k}=G}
つまり、 G j −1 は G j において 正規 であり、 j = 1, 2, ..., k に対して、 G j / G j −1 はアーベル群となる 。
あるいは、その 導関数級数 の場合、降順正規級数
G
▹
G
(
1
)
▹
G
(
2
)
▹
⋯
,
{\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,}
ここで、すべての部分群は 前の部分群の 交換子部分群であり、最終的には Gの 自明 部分群に到達します。これらの 2 つの定義は同等です。なぜなら、すべてのグループ H と H のすべての 正規部分群 N について、商 H / N が アーベルとなるのは、 N が H の交換子部分群を含む 場合のみだからです。G ( n ) = 1となる 最小の n は 、可解群 Gの 導来長さ と呼ばれます 。
有限群の場合、同等の定義は、可解群は、 その因子がすべて 素数位 数 の 巡回群である 合成系列 を持つ群である、というものです。これは、有限群の合成長は有限であり、すべての 単純 アーベル群は素数位数の巡回であるため同等です。 ジョルダン・ヘルダーの定理は 、1 つの合成系列がこの特性を持つ場合、すべての合成系列もこの特性を持つことを保証します。多項式のガロア群の場合、これらの巡回群はある 体上の n 乗根（根号）に対応します 。この同等性は、無限群では必ずしも成り立ちません。たとえば、 整数 の群 Z の加法による非自明な部分群はすべて Z 自身と 同型で あるため、合成系列はありませんが、唯一の因子群が Z と同型である正規系列 {0, Z } は、実際に可解であることを証明しています。
例
アーベル群 解ける群の基本的な例はアーベル群です。アーベル群は、群自体と自明群だけで非正規級数が形成されるため、自明に解けます。しかし、非アーベル群は解ける場合と解けない場合があります。
べき乗グループ より一般的には、すべての 冪零群は 解けます。特に、すべての有限 p 群は 冪零であるため、有限 p 群 は解けます。
四元数グループ
特に、 四元数群は 群の拡大によって与えられる可解な群である。
1
→
Z
/
2
→
Q
→
Z
/
2
×
Z
/
2
→
1
{\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /2\to Q\to \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2\to 1}
ここでカーネルは によって生成されるサブグループです 。
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
−
1
{\displaystyle -1}
グループ拡張機能 群の拡大は 可解群の典型的な例である。つまり、 とが 可解群であれば、任意の拡大は
G
{\displaystyle G}
G
′
{\displaystyle G'}
1
→
G
→
G
″
→
G
′
→
1
{\displaystyle 1\to G\to G''\to G'\to 1}
は可解な群を定義します 。実際、すべての可解な群はこのような群の拡張から形成できます。
G
″
{\displaystyle G''}
非冪零である非可換群 解ける非冪零群の小さな例としては、 対称群 S 3 があります。実際、最小の単純な非可換群は A 5 （次数 5 の 交代群 ）であるため、位数が 60 未満の すべての 群は解けることになります。
奇数位数の有限群 フェイト ・トムソン定理は、 奇数次の有限群はすべて解けることを述べています。特に、これは有限群が単純である場合、それが素巡回群であるか偶数次群であるかのいずれかであることを意味します。
非例 群 S 5 は解けません。つまり、合成級数 {E, A 5 , S 5 } を持ち (そして、 ジョルダン・ヘルダーの定理 によれば、他のすべての合成級数はその級数と同値です)、 A 5 および C 2 に同型の因数群を与えます。また、 A 5 はアーベルではありません。この議論を一般化し、 A n が n > 4に対して S n の正規、最大、非アーベル単純部分群であるという事実と合わせると、 S n はn > 4に対して解けないこと がわかります。これは、 n > 4 ごとに、根号で解けない n 次 多項式 が存在する( アーベル・ルフィニの定理 )という証明の重要なステップです。この特性は、複雑性理論において バリントンの定理 の証明にも使用されます 。
GLのサブグループ 2
サブグループを検討する
B
=
{
[
∗
∗
0
∗
]
}
,
U
=
{
[
1
∗
0
1
]
}
{\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*\\0&*\end{bmatrix}}\right\}{\text{, }}U=\left\{{\begin{bmatrix}1&*\\0&1\end{bmatrix}}\right\}}
の
G
L
2
(
F
)
{\displaystyle GL_{2}(\mathbb {F} )}
ある体 に対して 群商が成り立つ。すると、 の 任意の元を取り 、それらを掛け合わせて、どのような構造になるかを求めることで群商を求めることができる。つまり、
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
B
/
U
{\displaystyle B/U}
B
,
U
{\displaystyle B,U}
[
a
b
0
c
]
⋅
[
1
d
0
1
]
=
[
a
a
d
+
b
0
c
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&ad+b\\0&c\end{bmatrix}}}
の行列式条件は を意味するので 、 は 部分群（ となる行列 ）であることに注意する。 を固定すると 、線形方程式は を意味する。 は であるため 、 の任意の要素である 。 の任意の行列を取り 、それを の行列と掛け合わせることができるので、
G
L
2
{\displaystyle GL_{2}}
a
c
≠
0
{\displaystyle ac\neq 0}
F
×
×
F
×
⊂
B
{\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\subset B}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
a
d
+
b
=
0
{\displaystyle ad+b=0}
d
=
−
b
/
a
{\displaystyle d=-b/a}
F
{\displaystyle \mathbb {F} }
b
∈
F
{\displaystyle b\in \mathbb {F} }
B
{\displaystyle B}
[
1
d
0
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}
を用いると 、 の対角行列を得ることができます 。これは商群を示しています 。
d
=
−
b
/
a
{\displaystyle d=-b/a}
B
{\displaystyle B}
B
/
U
≅
F
×
×
F
×
{\displaystyle B/U\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}
この記述は をとして
分解するものであることに注目してください 。 ここで は によって に作用します。これは を意味します 。また、 という形式の行列は
B
{\displaystyle B}
F
⋊
(
F
×
×
F
×
)
{\displaystyle \mathbb {F} \rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}
(
a
,
c
)
{\displaystyle (a,c)}
b
{\displaystyle b}
(
a
,
c
)
(
b
)
=
a
b
{\displaystyle (a,c)(b)=ab}
(
a
,
c
)
(
b
+
b
′
)
=
(
a
,
c
)
(
b
)
+
(
a
,
c
)
(
b
′
)
=
a
b
+
a
b
′
{\displaystyle (a,c)(b+b')=(a,c)(b)+(a,c)(b')=ab+ab'}
[
a
b
0
c
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\0&c\end{bmatrix}}}
グループ内の
要素に対応します。
(
b
)
×
(
a
,
c
)
{\displaystyle (b)\times (a,c)}
ボレル部分群 線型代数群 に対して 、 ボレル部分群は において閉じており、連結しており、かつ解ける部分群として定義され 、これらの性質を持つ最大可能部分群です (最初の 2 つは位相的性質であることに注意してください)。たとえば、 および では 、 上三角行列または下三角行列の群はボレル部分群の 2 つです。上記の例、 の部分群 はボレル部分群です。
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
G
L
n
{\displaystyle GL_{n}}
S
L
n
{\displaystyle SL_{n}}
B
{\displaystyle B}
G
L
2
{\displaystyle GL_{2}}
GL におけるボレル部分群 3
そこには サブグループがある
G
L
3
{\displaystyle GL_{3}}
B
=
{
[
∗
∗
∗
0
∗
∗
0
0
∗
]
}
,
U
1
=
{
[
1
∗
∗
0
1
∗
0
0
1
]
}
{\displaystyle B=\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}U_{1}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*\\0&1&*\\0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}
注意してください 。したがって、ボレル群は次の形式を持ちます。
B
/
U
1
≅
F
×
×
F
×
×
F
×
{\displaystyle B/U_{1}\cong \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }}
U
⋊
(
F
×
×
F
×
×
F
×
)
{\displaystyle U\rtimes (\mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times }\times \mathbb {F} ^{\times })}
単純線型代数群の積におけるボレル部分群
積群では ボレル部分群は次の形式の行列で表すことができる。
G
L
n
×
G
L
m
{\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}
[
T
0
0
S
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}T&0\\0&S\end{bmatrix}}}
ここで、は 上三角行列 であり、は上三角行列 です 。
T
{\displaystyle T}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
S
{\displaystyle S}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
Zグループ p- シロー部分群 が巡回する 有限群は、 2つの巡回群の 半直積 であり、特に解ける。このような群は Z群 と呼ばれる。
OEIS値 n 次の可解群の数は （ n = 0から始まる）
0、1、1、1、2、1、2、1、5、2、2、1、5、1、2、1、14、1、5、1、5、2、2、1、15、2、2、5、4、1、4、1、51、1、2、1、14、1、2、2、14、1、6、1、4、2、2、1、52、2、5、1、5、1、15、2、13、2、2、1、12、1、2、4、267、1、4、1、5、1、4、1、50、...（シーケンス A201733 OEIS において 解けない群の順序は
60、120、168、180、240、300、336、360、420、480、504、540、600、660、672、720、780、840、900、960、1008、1020、1080、1092、1140、1176、1200、1260、1320、1344、1380、1440、1500、...（OEIS の シーケンス A056866 ）
プロパティ 解決可能性は、いくつかの操作の下で閉じています。
G が解け、 Hが G の部分群であれば 、 H は 解ける。 [2] G が解け、 G から H への 準同型 が存在する場合 、 H は解けます。同様に ( 第一同型定理 により)、 G が解け、 N が G の正規部分群である場合 、 G / N は解けます。 [3] 前の特性は、次の「2 つ分の価格で 3 つ」の特性に拡張できます。G は、 N と G / N の 両方が解ける場合にのみ解けます 。 特に、 G と H が解ける場合、 直積 G × H は解けます。 可解性は群の拡張 の下で閉じている :
H と G / H が解ける場合、 G も解けます 。特に、 N と H が解ける場合、それらの 半直積 も解けます。 また、花輪製品の下に閉じられています:
G と H が解け、 X が G 集合である 場合 、 X に関する G と H の 輪積 も解けます。 任意の正の整数N に対して、 導来長 が最大 N の可解群は、 準同型 像、 部分代数 、および (直) 積 の採り方に関して閉じているため、群多様体の 部分多様体を 形成 します。導来長が無制限の可解群の列の直積は解けないため、すべての可解群のクラスは多様体ではありません。
バーンサイドの定理 バーンサイドの定理は、 G が p a q b の 位数 の 有限群 であり 、 p と q が 素数 、 a と b が 負でない 整数 である場合 、 G は解けることを述べています。
超可解群 可解性の強化として、グループ G は、 因子がすべて巡回する 不変 正規級数を持つ場合、 超可解 (または 超溶解 )と呼ばれます。正規級数は定義により有限の長さを持つため、 無数 グループは超可解ではありません。実際、すべての超可解グループは 有限生成 であり、アーベル群が超可解であるのは有限生成の場合のみです。交代群 A 4 は、超可解ではない有限可解グループの例です。
有限生成群に限定すると、次のような群のクラスの配置を考えることができます。
巡回群 < アーベル群 < 冪零群 < 超可解群 < 多巡回群 < 可解群 < 有限生成群 。
事実上解けるグループ 群 G は、有限の指数を持つ可解な部分群を持つ場合、 事実上可解と 呼ばれます。これは 事実上可換群 に似ています。指数 1 を持つ群自体を選択すればよいので、明らかにすべての可解群は事実上可解です。
ヒポアベリアン 可解群とは、その導来級数が有限 段階で自明部分群に到達する群のことである。無限群では、有限導来級数は安定しない可能性があるが、超限導来級数は 必ず 安定する。超限導来級数が自明群に到達する群は、 準可換群 と呼ばれ、すべての可解群は準可換群である。G ( α ) = G ( α +1) となる最初の順序数 αは、群 G の (超限) 導来長と呼ばれ 、すべての順序数は何らかの群の導来長であることが証明されている (Malcev 1949)。
p-解ける 有限群が素数pに対してp-可解であるとは、その構成系列のすべての因数が p-群 であるか、pと素数の位数を持つ場合である。有限群が可解であるとは、すべてのpに対してp-可解である場合に限ります。
[4]
参照
注記
^ ミルン. 場の理論 (PDF) p. 45. ^ Rotman (1995)、 定理 5.15 、p. 102、 Google ブックス ^ Rotman (1995)、 定理 5.16 、p. 102、 Google ブックス ^ 「p-solvable-groups」。 グループプロパティウィキ 。
参考文献
外部リンク OEIS シーケンス A056866 (解けないグループの順序) 反復拡張としての可解群 
![{\displaystyle f\in F[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccbe5f3f86529d2b1b617a852f0368e16bba2d0)
![{\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcbc76557bbd9ec44ec40f956390571d65208ff)
![{\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fa5478e35db7ad155cfc8df0e59c59e2b8a2d54)
