ホーマーシャム・コックス（数学者）

ホーマーシャム・コックス（1857年 - 1918年）はイギリスの数学者であった。^{[1] [2]}

彼はホーマーシャム・コックス（1821–1897）の息子で、ハロルド・コックスの兄弟であり^[3]、トンブリッジ校（1870–75）で教育を受けた。ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジで1880年に4番目の成績でBAを、 1883年にMAを取得した。1881年にフェローになった。妹のマーガレットは、彼はよく物思いにふける人だったと述べている^{[4] 。彼はエイミー・コックスと結婚した[5]}。後に二人は別れ、彼女は1907年にロシアで家庭教師として働き始めた^[6]。

コックスは代数学を物理学に応用した4つの論文を書き、その後1885年に算術に関する本を出版して数学教育に転向した。彼の著書『算術原理』には2進数、素数、順列などが含まれていた。^{[c 1]}

コックスはミュア・セントラル・カレッジで数学を教える契約を結び、1891年から1918年に亡くなるまでウッタル・プラデーシュ州のアラハバードに住んでいた。彼はエイミー・コックスと結婚し、ウルスラ・コックスという娘をもうけた。^[5]

1881年から1883年にかけて、彼は非ユークリッド幾何学に関する論文を発表した。^{[c 2] [c 3] [c 4] [c 5]}

例えば、1881 年の論文 (1881 年と 1882 年に 2 回に分けて出版) ^{[c 2] [c 3]}では、現在ではヴィルヘルム キリング(1879 年) とアンリ ポアンカレ(1881 年)によって導入された双曲面モデルのワイエルシュトラス座標と呼ばれる、双曲幾何学の同次座標について説明しました。1881 年のポアンカレと同様に、コックスは2 次形式 を不変にする一般的なローレンツ変換を記述し、 についても記述しました。また、194 ページで、双曲面における原点の移動として説明した ローレンツ ブーストを定式化しました。${\displaystyle z^{2}-x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=x\cosh pz\sinh p\\Z&=-x\sinh p+z\cosh p\end{aligned}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{aligned}x&=X\cosh p+Z\sinh p\\z&=X\sinh p+Z\cosh p\end{aligned}}}$

同様の公式は1874年にグスタフ・フォン・エシェリヒによって使用されており、コックスは186ページで彼について言及している。彼は1882/1883年の論文^{[c 4] [c 5]}で非ユークリッド幾何学、四元数、外積代数を扱い、双曲面上の点Pから点Qへの移動を記述する次の公式を86ページで示している。

${\displaystyle {\begin{aligned}QP^{-1}&=\cosh \theta +\iota \sinh \theta \\QP^{-1}&=e^{\iota \theta }\end{aligned}}\quad (\iota ^{2}=1)}$

とともに、楕円空間の場合は を、放物線空間の場合は をそれぞれ用います。88ページで、彼はこれらすべてのケースを四元数の乗算であると特定しました。この変形は現在では双曲数と呼ばれ、左側の式全体を双曲バーサーとして使用できます。その後、その論文はアルフレッド・ノース・ホワイトヘッド（1898）によって次のように説明されました。 ^[7]${\displaystyle \cos \theta +\iota \sin \theta }$${\displaystyle \iota^{2}=-1}$${\displaystyle 1-\iota \theta }$${\displaystyle \iota^{2}=0}$${\displaystyle \iota^{2}=1}$

ホーマーシャム・コックスは、クリフォードの双四元数に類似した線型代数 [cf. 22] を構築し、2 次元、3 次元、およびそれ以上の次元の双曲幾何学に適用しています。また、楕円空間と双曲空間の両方の距離公式の表現にグラスマンの内積法を適用できることを指摘し、それを力のシステムの計量理論に適用しています。彼の論文全体が非常に示唆に富んでいます。

1891 年にコックスは三次元ユークリッド幾何学における一連の定理を発表しました。

(i) 3次元空間において、さまざまな平面a、b、c、d、e、... が通る点0をとります。

(ii) 2つの平面はそれぞれ、点0を通る直線で交差します。このような各直線上で、点がランダムに選ばれます。平面aと平面bの交線上の点は、点abと呼ばれます。

(iii) 3 つの平面a、b、cから 3 つの点bc、ac、abが生まれます。これらによって平面が決定されます。これを平面abcと呼びます。したがって、平面a、b、c、abcは、頂点bc、ac、ab、0 を持つ四面体を形成します。

(iv) 4 つの平面a、b、c、dから 4 つの平面abc、abd、acd、bcdが得られます。これらが 1 点で交わることは証明できます。その点を点abcdと呼びます。

(v) 5 つの平面a、b、c、d、e は、 abcdのような 5 つの点を与えます。これらが平面内にあることが証明できます。これを平面abcdeと呼びます。

(vi) 6つの平面a、b、c、d、e、f は、 abcdeのような6つの平面を生成します。これらは1点で交わることが証明できます。その点をabcdefと呼びます。以下同様に無限に続きます。^{[c 6]}

この定理はクリフォードの円定理と比較されてきた。どちらも定理の無限連鎖だからである。1941年にリッチモンドはコックスの連鎖の方が優れていると主張した。

コックスの関心はグラスマンの Ausdehnungslehre の応用の発見にあり、彼はその目的のために連鎖を利用している。現代の幾何学者なら誰でも (コックスの平面上の円に関する性質の多くが少なからず人為的に見えるに違いないが)、空間内の点と平面の図は、彼がそこから導出した平面上の円の図よりも単純で基本的であることに同意するだろう。しかし、この 2 ^{n個の円の図は、コックスの連鎖がクリフォードの連鎖よりも優れていることを疑う余地なく示している。なぜなら、後者は前者の円の半分が点に縮む特別なケースとして含まれているからである。コックスの 2 n}個の円の平面図は、初等的な方法で導出できる。^[8]

HSMコクセターは、直線ab上の任意の点を、 abと交差する0を中心とする任意の球と交換することでクリフォードの定理を導いた。平面a、b、c、…は、この球と円で交差し、これを立体的に平面に投影することができる。コックスの平面言語はクリフォードの円に変換される。^[9]

1965年にコックスの最初の3つの定理はコクセターの教科書『 幾何学入門』で証明された。^[10]