正射投影図法

地図作成における正射投影は古代から使われてきました。立体投影やグノモン投影と同様に、正射投影は球体を接平面または割線平面に投影する透視投影法です。正射投影の透視点は無限遠にあります。これは、地平線が大円となる宇宙から見た地球の半球を描写します。形状や面積は、特に端付近で歪みます。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

正射投影法は古代から知られており、地図作成におけるその用途は十分に記録されている。紀元前2世紀、ヒッパルコスはこの投影法を用いて星の出没位置を決定した。紀元前14年頃、ローマの技術者マルクス・ウィトルウィウス・ポッリオはこの投影法を用いて日時計を製作し、太陽の位置を計算した。^{[ 2 ]}

ウィトルウィウスは投影法に対して正射投影法（ギリシャ語のorthos （＝「まっすぐな」）とgraphē（＝「描く」）から）という用語を考案したようである。しかし、緯度と経度を示す日時計を意味するanalemmaという名称が、1613年にアントワープのフランソワ・ダギロンが現在の名称を広めるまで、一般的な名称であった。^{[ 2 ]}

この投影法で現存する最古の地図は、1509年（作者不明）、1533年と1551年（ヨハネス・シェーナー）、1524年と1551年（アピアン）の地球儀の粗雑な木版画である。ルネサンス期の博学者アルブレヒト・デューラーが設計し、ヨハネス・スタビウスが制作した高度に洗練された地図は1515年に登場した。^{[ 2 ]}

宇宙探査機から撮影された地球や他の惑星の写真は、天文学や惑星科学における正射投影法への新たな関心を呼び起こした。

球面正射影の公式は三角法を用いて導出されます。これらは球面上の経度( λ ) と緯度( φ )で表されます。球の半径Rと投影の中心点(および原点) ( λ ₀、φ ₀ )を定義します。( x、y )接平面への正射影の式は、次のようになります。^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\,\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R{\big (}\cos \varphi _{0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big )}\end{整列}}}$$

地図の範囲を超える緯度は、正射投影の中心からの角度距離cを計算することで切り取る必要があります。これにより、反対側の半球の点がプロットされないようにすることができます。 $${\displaystyle \cos c=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,.}$$cos( c )が負の 場合、その点はマップから切り取られるべきである。つまり、マッピングに含まれるすべての点が以下を満たす。 $${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<c<{\frac {\pi }{2}}.}$$

逆公式は次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {\rho }{R}}\end{aligned}}}$$

逆関数を計算する際には、逆正接関数の引数が2つのatan2形式（ atanではなく）を使用することをお勧めします。これにより、正射影の符号がすべての象限で正しくなることが保証されます。

逆公式は、( λ , φ )グリッド上で定義された変数を( x , y )の直交グリッドに投影しようとする場合に特に役立ちます。正射影を直接適用すると、 ( x , y )に点が散らばり、プロットや数値積分に問題が生じます。解決策の 1 つは、 ( x , y )投影面から始めて、正射影の逆公式を使用して( λ , φ )で定義された値から画像を構築することです。

楕円体版の正射投影図については参考文献を参照してください。^{[ 3 ]}

正射投影図と、北緯90度を中心とするいくつかの方位投影図を 同じ縮尺で比較したもの。投影高度は地球半径で表した順になっている（詳細はこちらをクリック  ）。

広義には、投影点が無限遠にある（したがって投影線が平行である）すべての投影法は、投影先の平面に関係なく、正投影法とみなされます。このような投影法は、極付近の角度や領域を歪ませます。

円筒への正射投影の一例として、ランベルト円筒正積投影法が挙げられる。

• 地図投影法の一覧
• 地図作成における立体投影

• 正射影法 ― MathWorldより