固有値を近似する方法
レイリー ・リッツ法は、 固有値を 近似する直接的な数値法であり、物理的な 境界値問題を 解く文脈で考案され 、 レイリー卿 と ワルター・リッツ にちなんで名付けられました。
この方法では、無限次元の 線形演算子が 有限次元の 圧縮によって近似され、その上で 固有値アルゴリズムを 使用できます 。
これは、 固有値と固有ベクトルの 近似値を求めるすべてのアプリケーションで、異なる名前で使われることが多い。 量子力学 では、粒子系が ハミルトニアン で記述され、リッツ法は 試行波動関数を 使用して、最低エネルギーで基底状態固有関数を近似する。 有限要素法の コンテキストでは、数学的には同じアルゴリズムが一般に リッツ・ガラーキン法 と呼ばれている。レイリー・リッツ法またはリッツ法という用語は、機械工学や構造工学において、構造物の
固有モード と 共振周波数 を近似するのによく使われる。
命名と帰属 この方法の名前とその起源の物語は歴史家によって議論されてきました。 [1] [2] この数値計算手順は1908年から1909年にかけて ヴァルター・リッツ によって 発表されて以来、ヴァルター・リッツにちなんでリッツ法と呼ばれています 。AW Leissaによると、 [1] レイリー卿は 1911年にリッツの研究を称賛する論文を書きましたが、その中で彼自身もリッツの方法を著書や他の出版物の多くの箇所で使用したと述べています。この発言は後に議論されましたが、またこの方法が単一ベクトルの単純なケースで レイリー商をもたらすという事実から、 レイリー・リッツ 法という名前が付けられています 。 S. イランコ [2]によると、 リチャード・クーラントを 引用して 、 レイリー卿 と ワルター・リッツの両者は、 偏微分方程式 の 境界値問題と 変分法の 問題の等価性を解の数値計算に利用するというアイデアを 独立に 考案し、変分問題を、有限個のパラメータを決定する必要のある極値問題に近似するより単純なものに置き換えた。議論にとって皮肉なことに、アルゴリズムの現代的な正当化では、 変分法が廃止され、 ボリス・ガラーキン にちなんで名付けられた ガラーキン法 のよう に、より単純でより一般的な 直交射影のアプローチが採用され、 リッツ・ガラーキン法 という名前も付けられている 。 [ 要出典 ]
方法 をヒルベルト空間 上の 線型作用素 とし、 内積を とします 。 ここで、関数の有限集合を考えます 。用途に応じて、これらの関数は次のようになります。
T
{\displaystyle T}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
（ ⋅ 、 ⋅ ）
{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
ら
= {
φ
1
、 。 。 。 、
φ
ん
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}=\{\varphi _{1},...,\varphi _{n}\}}
演算子の固有関数から生成された正規直交基底を使用して、 対角 近似行列を生成することもできますが、この場合は、すでにスペクトルを計算しておく必要があります。
ここで、 を要素とする行列として定義される で 近似する [3]。
T
{\displaystyle T}
T
ら
{\displaystyle T_{\mathcal {L}}}
（
T
ら
）
私 、 じゅう
= （ T
φ
私
、
φ
じゅう
） 。
{\displaystyle (T_{\mathcal {L}})_{i,j}=(T\varphi _{i},\varphi _{j}).}
固有値問題 を解く。行列 は を に 圧縮したもの である ことが分かる 。 [3]
T
ら
あなた = λ あなた
{\displaystyle T_{\mathcal {L}}u=\lambda u}
T
ら
{\displaystyle T_{\mathcal {L}}}
T
{\displaystyle T}
ら
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
微分作用素 （例えば、 シュトゥルム・リウヴィル作用素 ）の場合 、内積は 弱定式化 に置き換えることができる 。 [4] [6]
（ ⋅ 、 ⋅ ）
{\displaystyle (\cdot ,\cdot )}
あ
（ ⋅ 、 ⋅ ）
{\displaystyle {\mathcal {A}}(\cdot ,\cdot )}
正規直交基底のサブセットを使用して行列を求めた場合、 の固有ベクトルは正規直交基底関数の 線形結合 となり 、結果として の固有ベクトルの近似値となる 。 [7]
T
ら
{\displaystyle T_{\mathcal {L}}}
T
{\displaystyle T}
プロパティ
スペクトル汚染 レイリー・リッツ法では、打ち切りが大きくなるにつれて、演算子のスペクトルの実際の値に収束しない値を生成する可能性があります。これらの値はスペクトル汚染として知られています。 [3] [5] [8]場合によっては（ シュレーディンガー方程式 の場合など ）、方程式のすべての固有値を含み、汚染を含まない近似は存在しません。 [9]
圧縮（および汚染）のスペクトルは、 演算子の 数値範囲によって制限されます。多くの場合、それは必須数値範囲と呼ばれる数値範囲のサブセットによって制限されます。 [10] [11]
行列の固有値問題の場合 数値線形代数では、 レイリー・リッツ法は、 与えられた 正規 直交列を持つ 行列から生成された、 より小さなサイズの投影行列を使用して、 サイズ の
行列の 固有値問題を近似するために
よく適用されます [12 ]。アルゴリズムの行列バージョンは最も単純です。
あ
x
= λ
x
{\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }
あ ∈
Ｃ
いいえ × いいえ
{\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{N\times N}}
いいえ
{\displaystyle N}
メートル < いいえ
{\displaystyle m<N}
五 ∈
Ｃ
いいえ × メートル
{\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{N\times m}}
行列 を計算する 。ここで は の 複素共役転置を表す。
メートル × メートル
{\displaystyle m\times m}
五
∗
あ 五
{\displaystyle V^{*}AV}
五
∗
{\displaystyle V^{*}}
五
{\displaystyle V}
固有値問題を解く
V
∗
A
V
y
i
=
μ
i
y
i
{\displaystyle V^{*}AV\mathbf {y} _{i}=\mu _{i}\mathbf {y} _{i}}
リッツベクトル とリッツ値を計算する
x
~
i
=
V
y
i
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{i}=V\mathbf {y} _{i}}
λ
~
i
=
μ
i
{\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{i}=\mu _{i}}
元の行列の 固有値と固有ベクトル に対するリッツペアと呼ばれる 近似値を出力します 。
(
λ
~
i
,
x
~
i
)
{\displaystyle ({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\mathbf {x} }}_{i})}
A
{\displaystyle A}
行列の列によって与えられた正規直交基底を持つ部分空間に 行列の固有ベクトルに近いベクトルが 含まれている場合 、 上記の レイリー・リッツ法は これらの固有ベクトルをよく近似するリッツ ベクトルを見つけます。簡単に計算できる量は、 すべてのリッツ ペアに対するこのような近似の精度を決定します。
V
∈
C
N
×
m
{\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{N\times m}}
k
≤
m
{\displaystyle k\leq m}
A
{\displaystyle A}
k
{\displaystyle k}
‖
A
x
~
i
−
λ
~
i
x
~
i
‖
{\displaystyle \|A{\tilde {\mathbf {x} }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{i}{\tilde {\mathbf {x} }}_{i}\|}
最も簡単なケースでは 、 行列は 単位列ベクトル になり 、 行列は レイリー商 に等しいスカラーになり、 固有値問題の 唯一の解は と になり 、唯一のリッツ ベクトルはそれ自身になります。したがって、 の場合、レイリー・リッツ法は レイリー商 の計算になります 。
m
=
1
{\displaystyle m=1}
N
×
m
{\displaystyle N\times m}
V
{\displaystyle V}
v
{\displaystyle v}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
V
∗
A
V
{\displaystyle V^{*}AV}
ρ
(
v
)
=
v
∗
A
v
/
v
∗
v
{\displaystyle \rho (v)=v^{*}Av/v^{*}v}
i
=
1
{\displaystyle i=1}
y
i
=
1
{\displaystyle y_{i}=1}
μ
i
=
ρ
(
v
)
{\displaystyle \mu _{i}=\rho (v)}
v
{\displaystyle v}
m
=
1
{\displaystyle m=1}
レイリー商 とのもう 1 つの便利な関係は、 すべてのリッツ ペア に対してとなり、 レイリー商 の対応する理論から リッツ値のいくつかの特性を導出できるようになること です 。たとえば、が エルミート行列 の場合 、その レイリー商 (したがってすべてのリッツ値) は実数であり、 の最小固有値と最大固有値の閉区間内の値を取ります 。
μ
i
=
ρ
(
v
i
)
{\displaystyle \mu _{i}=\rho (v_{i})}
(
λ
~
i
,
x
~
i
)
{\displaystyle ({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\mathbf {x} }}_{i})}
μ
i
{\displaystyle \mu _{i}}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
例 行列に
は、
固有値 とそれに対応する固有ベクトルが
あります。
次に、
固有値 とそれに対応する固有ベクトル
を
とって
、リッツ値が で 、リッツベクトルが であると
します。リッツベクトルのそれぞれは、与えられ た に対して の固有ベクトルの 1 つで あり、リッツ値は の 3 つの固有値のうちの 2 つを与えることがわかります。正確な近似の数学的説明は、この例では 、 行列の 列空間が 2 つの固有ベクトルとによって張られる部分空間とまったく同じであるという 事実に基づいています 。
A
=
[
2
0
0
0
2
1
0
1
2
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}}
1
,
2
,
3
{\displaystyle 1,2,3}
x
λ
=
1
=
[
0
1
−
1
]
,
x
λ
=
2
=
[
1
0
0
]
,
x
λ
=
3
=
[
0
1
1
]
.
{\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =2}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}
V
=
[
0
0
1
0
0
1
]
,
{\displaystyle V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}},}
V
∗
A
V
=
[
2
1
1
2
]
{\displaystyle V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}}
1
,
3
{\displaystyle 1,3}
y
μ
=
1
=
[
1
−
1
]
,
y
μ
=
3
=
[
1
1
]
,
{\displaystyle \mathbf {y} _{\mu =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {y} _{\mu =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},}
1
,
3
{\displaystyle 1,3}
x
~
λ
~
=
1
=
[
0
1
−
1
]
,
x
~
λ
~
=
3
=
[
0
1
1
]
.
{\displaystyle \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=1}={\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {\tilde {x}} _{{\tilde {\lambda }}=3}={\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}.}
A
{\displaystyle A}
V
{\displaystyle V}
A
{\displaystyle A}
V
{\displaystyle V}
x
λ
=
1
{\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =1}}
x
λ
=
3
{\displaystyle \mathbf {x} _{\lambda =3}}
行列特異値問題の場合 数値線形代数の 切断特異値分解 (SVD)では、 レイリー・リッツ法を 使用して、特異値問題を固有値問題に変換することにより、指定された部分空間内の
サイズの 行列の左特異ベクトルと右特異ベクトルの近似値を見つけることもできます。
M
∈
C
M
×
N
{\displaystyle M\in \mathbb {C} ^{M\times N}}
M
×
N
{\displaystyle M\times N}
正規行列を使用する 特異値とそれに 対応する左特異ベクトルおよび右特異ベクトルの定義は、 およびです 。レイリー・リッツ法を エルミート 正規行列 または（ どちらか小さい方）に適用して、近似特異ベクトルと特異値の 1 セット（左と右）を見つけたら、特異値で割るだけで、もう 1 つの左と右の特異ベクトルのセット、つまり、 およびを決定できます 。ただし、特異値が小さいかゼロの場合、この除算は不安定になるか失敗します。
σ
{\displaystyle \sigma }
M
v
=
σ
u
{\displaystyle Mv=\sigma u}
M
∗
u
=
σ
v
{\displaystyle M^{*}u=\sigma v}
M
∗
M
∈
C
N
×
N
{\displaystyle M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}}
M
M
∗
∈
C
M
×
M
{\displaystyle MM^{*}\in \mathbb {C} ^{M\times M}}
u
=
M
v
/
σ
{\displaystyle u=Mv/\sigma }
v
=
M
∗
u
/
σ
{\displaystyle v=M^{*}u/\sigma }
別のアプローチ、例えば、サイズ の 正規行列を と定義する方法は、 正規直交 列を持つ与えられた 行列に対して、 行列
のレイリー・リッツ法の固有値問題が 行列
の特異値問題として解釈できるという 事実を利用 します。この解釈により、次のように左近似特異ベクトルと右近似特異ベクトルの両方を簡単に同時に計算できます。
A
=
M
∗
M
∈
C
N
×
N
{\displaystyle A=M^{*}M\in \mathbb {C} ^{N\times N}}
N
×
N
{\displaystyle N\times N}
N
×
m
{\displaystyle N\times m}
W
∈
C
N
×
m
{\displaystyle W\in \mathbb {C} ^{N\times m}}
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
W
∗
A
W
=
W
∗
M
∗
M
W
=
(
M
W
)
∗
M
W
{\displaystyle W^{*}AW=W^{*}M^{*}MW=(MW)^{*}MW}
N
×
m
{\displaystyle N\times m}
M
W
{\displaystyle MW}
行列 を計算します 。
N
×
m
{\displaystyle N\times m}
M
W
{\displaystyle MW}
行列 、 対角行列 、および 行列 を使用して 、薄い、または経済的なサイズの SVD を計算します 。
M
W
=
U
Σ
V
h
,
{\displaystyle MW=\mathbf {U} \Sigma \mathbf {V} _{h},}
N
×
m
{\displaystyle N\times m}
U
{\displaystyle \mathbf {U} }
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
m
×
m
{\displaystyle m\times m}
V
h
{\displaystyle \mathbf {V} _{h}}
Ritz の左特異ベクトル と右 特異ベクトルの行列を計算します。
U
=
U
{\displaystyle U=\mathbf {U} }
V
h
=
V
h
W
∗
{\displaystyle V_{h}=\mathbf {V} _{h}W^{*}}
選択された特異値と、元の行列の対応する左特異ベクトルおよび右特異ベクトルに対するリッツ特異三重項と呼ばれる近似 値を出力します。 これらは、左特異ベクトルが行列の列空間に制限された近似的な 切り捨て特異値分解 (SVD) を表します 。
U
,
Σ
,
V
h
{\displaystyle U,\Sigma ,V_{h}}
M
{\displaystyle M}
W
{\displaystyle W}
このアルゴリズムは、行列がLOBPCG などの固有値ソルバーの出力であり 、正規行列の数値的に選択された固有ベクトルを近似する 場合の後処理ステップとして使用できます 。
W
{\displaystyle W}
A
=
M
∗
M
{\displaystyle A=M^{*}M}
例 行列に
は、通常の行列
特異値 と対応する 薄い SVD があり
、行列の左特異ベクトルの完全なセットからの最初の乗数の列 、中間の項の対角要素が特異値であり、転置された最後の乗数の列 (転置によって変化することはありませんが)
が対応する右特異ベクトルです。
M
=
[
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
0
0
0
0
]
{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}
A
=
M
∗
M
=
[
1
0
0
0
0
4
0
0
0
0
9
0
0
0
0
16
]
,
{\displaystyle A=M^{*}M={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&4&0&0\\0&0&9&0\\0&0&0&16\\\end{bmatrix}},}
1
,
2
,
3
,
4
{\displaystyle 1,2,3,4}
A
=
[
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
]
[
4
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
]
[
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
]
,
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}},}
A
{\displaystyle A}
[
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
]
∗
=
[
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}^{*}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}
特異値 1 と 2 に対応する
2 つの正確な右特異ベクトルによって張られる列空間を考えて
みましょう
。
W
=
[
1
/
2
1
/
2
1
/
2
−
1
/
2
0
0
0
0
]
{\displaystyle W={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}}
[
0
1
1
0
0
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}}
アルゴリズムのステップ 1 に続いて、 を計算し
、ステップ 2 でその 薄い SVD を 計算します。こうして、および として 対応する 2 つの左特異ベクトル から、 および の
特異値 2 および 1 を既に取得しており 、
これら は行列 の列空間に広がり 、近似が与えられた に対して正確である理由を説明しています 。
M
W
=
[
1
/
2
1
/
2
2
−
2
0
0
0
0
]
,
{\displaystyle MW={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},}
M
W
=
U
Σ
V
h
{\displaystyle MW=\mathbf {U} {\Sigma }\mathbf {V} _{h}}
U
=
[
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
]
,
Σ
=
[
2
0
0
1
]
,
V
h
=
[
1
/
2
−
1
/
2
1
/
2
1
/
2
]
.
{\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\\0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad \Sigma ={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {V} _{h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}.}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
U
{\displaystyle \mathbf {U} }
u
{\displaystyle u}
[
0
,
1
,
0
,
0
,
0
]
∗
{\displaystyle [0,1,0,0,0]^{*}}
[
1
,
0
,
0
,
0
,
0
]
∗
{\displaystyle [1,0,0,0,0]^{*}}
W
{\displaystyle W}
W
{\displaystyle W}
最後に、ステップ 3 では、行から 2 つの右特異ベクトルを および として復元する 行列 を 計算します 。最初のベクトルを検証します。
および
したがって、2 つの正確な右特異ベクトルによって張られる列空間を持つ指定された行列について 、これらの右特異ベクトル、および対応する左特異ベクトルと特異値をすべて正確に決定します。任意の行列 について、 レイリー–リッツ法の最適性の意味で
与えられた最適な近似特異トリプレットを取得します。
V
h
=
V
h
W
∗
{\displaystyle V_{h}=\mathbf {V} _{h}W^{*}}
V
h
=
[
1
/
2
−
1
/
2
1
/
2
1
/
2
]
[
1
/
2
1
/
2
0
0
1
/
2
−
1
/
2
0
0
]
=
[
0
1
0
0
1
0
0
0
]
{\displaystyle \mathbf {V} _{h}={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}&0&0\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}&0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}
v
{\displaystyle v}
[
0
,
1
,
0
,
0
]
∗
{\displaystyle [0,1,0,0]^{*}}
[
1
,
0
,
0
,
0
]
∗
{\displaystyle [1,0,0,0]^{*}}
M
v
=
σ
u
{\displaystyle Mv=\sigma u}
[
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
4
0
0
0
0
]
[
0
1
0
0
]
=
2
[
0
1
0
0
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}=\,2\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}
M
∗
u
=
σ
v
{\displaystyle M^{*}u=\sigma v}
[
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
4
0
]
[
0
1
0
0
0
]
=
2
[
0
1
0
0
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&2&0&0&0\\0&0&3&0&0\\0&0&0&4&0\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}=\,2\,{\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}.}
W
{\displaystyle W}
W
{\displaystyle W}
W
{\displaystyle W}
アプリケーションと例
量子物理学では 量子物理学では、ハミルトニアン のスペクトル は量子力学システムによって許容される離散的なエネルギーレベルの集合であり、レイリー・リッツ法は複雑な原子または核システムのエネルギー状態と波動関数を近似するために使用されます。 [7] 実際、単一の水素原子よりも複雑なシステムでは、ハミルトニアンのスペクトルの正確な解は知られていません。 [6]
この場合、 試行波動関数 が システム 上でテストされます。この試行関数は、境界条件 (およびその他の物理的制約) を満たすように選択されます。正確な関数は不明です。試行関数には 1 つ以上の調整可能なパラメータが含まれており、これらを変更して最低エネルギー構成を見つけます。
Ψ
{\displaystyle \Psi }
基底状態エネルギーは 不等式を満たすことが示されます。
E
0
{\displaystyle E_{0}}
E
0
≤
⟨
Ψ
|
H
^
|
Ψ
⟩
⟨
Ψ
|
Ψ
⟩
.
{\displaystyle E_{0}\leq {\frac {\langle \Psi |{\hat {H}}|\Psi \rangle }{\langle \Psi |\Psi \rangle }}.}
つまり、基底状態のエネルギーはこの値よりも小さくなります。試行波動関数は常に基底エネルギー以上の期待値を与えます。
試行波動関数が 基底状態に対して
直交することが分かっている場合、それはある励起状態のエネルギーの境界を提供します。
リッツ仮説関数は、未知の係数によってパラメータ化された N 個 の既知の基底関数の線形結合です 。
{
Ψ
i
}
{\displaystyle \left\lbrace \Psi _{i}\right\rbrace }
Ψ
=
∑
i
=
1
N
c
i
Ψ
i
.
{\displaystyle \Psi =\sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}.}
ハミルトニアンが分かっている場合、その期待値は次のように表すことができます。
ε
=
⟨
∑
i
=
1
N
c
i
Ψ
i
|
H
^
|
∑
i
=
1
N
c
i
Ψ
i
⟩
⟨
∑
i
=
1
N
c
i
Ψ
i
|
∑
i
=
1
N
c
i
Ψ
i
⟩
=
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
N
c
i
∗
c
j
H
i
j
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
N
c
i
∗
c
j
S
i
j
≡
A
B
.
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\left\langle \displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right|{\hat {H}}\left|\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }{\left\langle \left.\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right|\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\Psi _{i}\right\rangle }}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{i}^{*}c_{j}H_{ij}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{i}^{*}c_{j}S_{ij}}}\equiv {\frac {A}{B}}.}
基底関数は通常は直交しないため、 重なり合う行列 S には非ゼロの非対角要素があります。 または(最初の共役) のいずれかを使用して、期待値を最小化できます。 たとえば、 をゼロ で 偏導関数にすると、すべての k = 1, 2, ..., N に対して次の等式が得られます 。
これは、 N 個の 永年方程式
のセットにつながります 。
{
c
i
}
{\displaystyle \left\lbrace c_{i}\right\rbrace }
{
c
i
∗
}
{\displaystyle \left\lbrace c_{i}^{*}\right\rbrace }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
{
c
i
∗
}
{\displaystyle \left\lbrace c_{i}^{*}\right\rbrace }
∂
ε
∂
c
k
∗
=
∑
j
=
1
N
c
j
(
H
k
j
−
ε
S
k
j
)
B
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial c_{k}^{*}}}={\frac {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{j}(H_{kj}-\varepsilon S_{kj})}{B}}=0,}
∑
j
=
1
N
c
j
(
H
k
j
−
ε
S
k
j
)
=
0
for
k
=
1
,
2
,
…
,
N
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{N}c_{j}\left(H_{kj}-\varepsilon S_{kj}\right)=0\quad {\text{for}}\quad k=1,2,\dots ,N.}
上記の方程式では、エネルギー と係数は未知数です。 c に関して 、これは同次線形方程式のセットであり、 これらの未知数に対する係数の
行列式 がゼロのときに解を持ちます。
これは、 の N 個 の値に対してのみ当てはまります 。さらに、ハミルトニアンは エルミート演算子 であるため、 H 行列も エルミートで あり、 の値は実数になります。 (i=1,2,..,N) の中での最低値 は、 使用される基底関数の基底状態への最良の近似値になります。残りの N-1 個のエネルギーは、励起状態エネルギーの推定値です。状態 i の波動関数の近似値は、 対応する永年方程式から
係数を見つけることによって取得できます。
ε
{\displaystyle \varepsilon }
{
c
j
}
{\displaystyle \left\lbrace c_{j}\right\rbrace }
det
(
H
−
ε
S
)
=
0
,
{\displaystyle \det \left(H-\varepsilon S\right)=0,}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ε
i
{\displaystyle \varepsilon _{i}}
ε
i
{\displaystyle \varepsilon _{i}}
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
{
c
j
}
{\displaystyle \left\lbrace c_{j}\right\rbrace }
機械工学では レイリー・リッツ法は、 バネ質量システム や 断面 が変化するシャフト上の フライホイール など、 多 自由度 システムの近似実 共振周波数を求めるために 機械工学 でよく使用されます。これはレイリー法の拡張です。また、柱の座屈荷重や座屈後の挙動を求めるためにも使用できます。
システムの振動の共振周波数を求める場合を考えてみましょう。まず、振動を の形式で表します。この形式
では、モード シェイプは不明です 。次に、運動エネルギー項と位置エネルギー項で構成されるシステムの総エネルギーを求めます。運動エネルギー項には の時間微分が 2 乗含まれており 、 の係数が加わります 。したがって、システムの総エネルギーを計算し、次の形式で表すことができます。
y
(
x
,
t
)
=
Y
(
x
)
cos
ω
t
{\displaystyle y(x,t)=Y(x)\cos \omega t}
Y
(
x
)
{\displaystyle Y(x)}
y
(
x
,
t
)
{\displaystyle y(x,t)}
ω
2
{\displaystyle \omega ^{2}}
E
=
T
+
V
≡
A
[
Y
(
x
)
]
ω
2
sin
2
ω
t
+
B
[
Y
(
x
)
]
cos
2
ω
t
{\displaystyle E=T+V\equiv A[Y(x)]\omega ^{2}\sin ^{2}\omega t+B[Y(x)]\cos ^{2}\omega t}
エネルギー保存則により、平均運動エネルギーは平均位置エネルギーと等しくなければなりません。したがって、
これは レイリー商
としても知られています 。したがって、モード形状 がわかっていれば、 と を 計算して、固有振動数を得ることができます。しかし、モード形状はまだわかっていません。これを見つけるために、 いくつかの近似関数の組み合わせとして近似することができます。
ここ で、 は決定すべき定数です。一般に、 のランダムなセットを選択すると 、システムの実際の固有モードの重ね合わせが記述されます。ただし、 固有振動数が最小になるように を求めると 、このセットによって記述されるモードは、 システムの実際の固有モードの可能な限り最低のものになります。したがって、これは最低の固有振動数を見つけます。この近似された最低の固有モードに直交する固有モードが見つかった場合、次のいくつかの固有振動数も近似的に見つけることができます。
ω
2
=
B
[
Y
(
x
)
]
A
[
Y
(
x
)
]
=
R
[
Y
(
x
)
]
{\displaystyle \omega ^{2}={\frac {B[Y(x)]}{A[Y(x)]}}=R[Y(x)]}
Y
(
x
)
{\displaystyle Y(x)}
A
[
Y
(
x
)
]
{\displaystyle A[Y(x)]}
B
[
Y
(
x
)
]
{\displaystyle B[Y(x)]}
Y
(
x
)
{\displaystyle Y(x)}
Y
i
(
x
)
{\displaystyle Y_{i}(x)}
Y
(
x
)
=
∑
i
=
1
N
c
i
Y
i
(
x
)
{\displaystyle Y(x)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}Y_{i}(x)}
c
1
,
c
2
,
⋯
,
c
N
{\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}
c
1
,
c
2
,
⋯
,
c
N
{\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}
c
1
,
c
2
,
⋯
,
c
N
{\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}
ω
2
{\displaystyle \omega ^{2}}
c
1
,
c
2
,
⋯
,
c
N
{\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}
一般に、 と は 係数の二次項の集合として表すことができます 。
ここで 、 と は それぞれ離散システムの剛性行列と質量行列です。
A
[
Y
(
x
)
]
{\displaystyle A[Y(x)]}
B
[
Y
(
x
)
]
{\displaystyle B[Y(x)]}
c
i
{\displaystyle c_{i}}
B
[
Y
(
x
)
]
=
∑
i
∑
j
c
i
c
j
K
i
j
=
c
T
K
c
{\displaystyle B[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}K_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }
A
[
Y
(
x
)
]
=
∑
i
∑
j
c
i
c
j
M
i
j
=
c
T
M
c
{\displaystyle A[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}M_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }
K
{\displaystyle K}
M
{\displaystyle M}
の最小化は次 のようになります。
ω
2
{\displaystyle \omega ^{2}}
∂
ω
2
∂
c
i
=
∂
∂
c
i
c
T
K
c
c
T
M
c
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \omega ^{2}}{\partial c_{i}}}={\frac {\partial }{\partial c_{i}}}{\frac {\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }}=0}
これを解決すれば、
c
T
M
c
∂
c
T
K
c
∂
c
−
c
T
K
c
∂
c
T
M
c
∂
c
=
0
{\displaystyle \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} {\frac {\partial \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\partial \mathbf {c} }}-\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} {\frac {\partial \mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }{\partial \mathbf {c} }}=0}
K
c
−
c
T
K
c
c
T
M
c
M
c
=
0
{\displaystyle K\mathbf {c} -{\frac {\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {c} }{\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {c} }}M\mathbf {c} =\mathbf {0} }
K
c
−
ω
2
M
c
=
0
{\displaystyle K\mathbf {c} -\omega ^{2}M\mathbf {c} =\mathbf {0} }
c の非自明な解を得るには、c の行列係数の行列式がゼロである必要があります。
det
(
K
−
ω
2
M
)
=
0
{\displaystyle \det(K-\omega ^{2}M)=0}
これにより、システムの最初のN 個の固有周波数と固有モードの解が得られます 。N は近似関数の数です。
二重バネ質量システムの単純なケース 以下の説明では、最も単純なケース、つまり、システムに集中バネと集中質量が 2 つあり、モード形状が 2 つだけであると仮定します。したがって、 M = [ m 1 , m 2 ] および K = [ k 1 , k 2 ] となります。
システムのモード形状は 2 つの項で構成され、そのうちの 1 つは係数 B で重み付けされます ( 例 : Y = [1, 1] + B [1, −1])。
単振動 理論によれば、 たわみがゼロのときの 速度 は、最大たわみのときの 角周波数 とたわみ (y) の積です。この例では、各質量の 運動エネルギー (KE) はなどであり、各 バネの 位置エネルギー (PE) は など
です。
ω
{\displaystyle \omega }
1
2
ω
2
Y
1
2
m
1
{\textstyle {\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}}
1
2
k
1
Y
1
2
{\textstyle {\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}}
また、減衰がない場合、最大KEは最大PEに等しいこともわかっています。したがって、
∑
i
=
1
2
(
1
2
ω
2
Y
i
2
M
i
)
=
∑
i
=
1
2
(
1
2
K
i
Y
i
2
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{i}^{2}M_{i}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}K_{i}Y_{i}^{2}\right)}
モード シェイプの全体的な振幅は、常に各側で相殺されます。つまり、想定されるたわみの実際のサイズは重要ではなく、モード シェイプ のみが重要です。
次に数学的操作により、 B に関して の 式が得られ、これを B に関して 微分して 、最小値、つまり のときの を見つけることができます 。これにより、 が最小となる の B の値が得られます。これは 、モード形状が と 仮定されている ため、 がシステムの予測される基本周波数になることが期待される場合 の の上限解です が、仮定を前提として、その上限の最低値を見つけました。これは、B が 2 つの想定モード形状関数の最適な「組み合わせ」を見つけるために使用されるためです。
ω
{\displaystyle \omega }
d
ω
/
d
B
=
0
{\displaystyle d\omega /dB=0}
ω
{\displaystyle \omega }
ω
{\displaystyle \omega }
ω
{\displaystyle \omega }
この方法には多くのコツがありますが、最も重要なのは、現実的な想定モード形状を試して選択することです。たとえば、梁のたわみの問題の場合、予想される解に解析的に類似する変形形状を使用するのが賢明です。変形解の次数が低くても、 4 次式は 単純リンク梁の簡単な問題のほとんどに適合する可能性があります。バネと質量は離散的である必要はなく、連続的 (または混合) であってもかまいません。また、分散 KE 項と PE 項を簡単に記述できる場合、または連続要素を離散部分に分割できる場合は、この方法をスプレッド シート で簡単に使用して、非常に複雑な分散システムの固有振動数を簡単に見つけることができます。
この方法は、以前の最良解にモード形状を追加して反復的に使用することも、多くの B と多くのモード形状を含む長い式を構築してから、それらを 部分的に 微分することもできます。
動的システムでは クープマン 演算子は 有限次元の 非線形システムを 無限次元の 線形システム として符号化することを可能にする。一般的に、これらの問題は両方とも解くのが難しいが、後者についてはリッツ・ガラーキン法を使って解を近似することができる。 [13]
有限要素法との関係 有限要素法の言語では、行列は 区分線形要素空間におけるハミルトニアンの 剛性行列 であり、行列は 質量行列 です 。線形代数の言語では、値は 離散化されたハミルトニアンの固有値であり、ベクトルは 離散化された固有ベクトルです。
H
k
j
{\displaystyle H_{kj}}
S
k
j
{\displaystyle S_{kj}}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
c
{\displaystyle c}
参照
注釈と参考文献 リッツ、ワルサー (1909)。 「Über eine neue Methode zur Lösung gewisser variationsprobleme der mathematischen Physik」。 Reine und Angewandte Mathematik に関するジャーナル 。 135 : 1-61. マクドナルド、JK (1933)。「レイリー・リッツ変分法による逐次近似」。 物理学 改訂 43 。
^ ab Leissa, AW (2005). 「レイリー法とリッツ法の歴史的根拠」 . Journal of Sound and Vibration . 287 (4–5): 961–978. Bibcode :2005JSV...287..961L. doi :10.1016/j.jsv.2004.12.021. ^ ab Ilanko, Sinniah (2009). 「レイリー法とリッツ法の歴史的根拠に関するコメント」 Journal of Sound and Vibration . 319 (1–2): 731–733. Bibcode :2009JSV...319..731I. doi :10.1016/j.jsv.2008.06.001. ^ abcd Davies, EB ; Plum, M. (2003). 「スペクトル汚染」. IMA Journal of Numerical Analysis . ^ ab Süli, Endre ; Mayers, David (2003). 数値解析入門 . ケンブリッジ大学出版局 . ISBN 0521007941 。 ^ ab Levitin, Michael; Shargorodsky, Eugene (2004). 「自己随伴演算子のスペクトル汚染と 2 次相対スペクトル」。IMA Journal of Numerical Analysis 。 ^ ab Pryce, John D. (1994). シュトゥルム・リウヴィル問題の数値解法 . オックスフォード大学出版局. ISBN 0198534159 。 ^ ab Arfken, George B. ; Weber, Hans J. (2005). 物理学者のための数学的手法 (第 6 版). Academic Press. ^ コルブルック、マシュー。「無限の解読：スペクトルを計算できるか？」。 今日の数学 。数学とその応用研究所。 ^ Colbrook, Matthew; Roman, Bogdan; Hansen, Anders (2019). 「エラー制御によるスペクトルの計算方法」. Physical Review Letters . ^ Pokrzywa, Andrzej (1979). 「直交射影法と有界演算子のスペクトルの近似」 Studia Mathematica 。 ^ Bögli, Sabine; Marletta, Marco; Tretter, Christiane (2020). 「無制限線形演算子の必須数値範囲」。Journal of Functional Analysis 。 ^ Trefethen, Lloyd N.; Bau, III, David (1997). 数値線形代数. SIAM. p. 254. ISBN 978-0-89871-957-4 。 ^ Servadio, Simone; Arnas, David; Linares, Richard. 「直交多項式を使ったクープマン演算子チュートリアル」. arXiv.
外部リンク 変分法のコースには、レイリー・リッツ法に関するセクションがあります。 数学百科事典 におけるリッツ法 Gander, Martin J.; Wanner, Gerhard (2012). 「オイラー、リッツ、ガラーキンから現代のコンピューティングへ」 SIAM Review . 54 (4): 627–666. CiteSeerX 10.1.1.297.5697 . doi :10.1137/100804036. 
![{\displaystyle [0,1,0,0,0]^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de6114937b86934f48baae6c7fe3d80e44478cc4)
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![{\displaystyle A[Y(x)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452d734b5fc06a5eec96060c6c5a5c1932f940f8)
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![{\displaystyle B[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}K_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}K \mathbf {c} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ba33d81be63d66c46d1b51aac81efd0dacd4f6)
![{\displaystyle A[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}M_{ij}=\mathbf {c} ^{\mathsf {T}}M \mathbf {c} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53882b7604ba1c7f8cf482a4597b797459ef7261)
