リプシッツ領域

数学において、リプシッツ領域（またはリプシッツ境界を持つ領域）とは、ユークリッド空間における領域のうち、その境界が「十分に正則」である領域、すなわち局所的にリプシッツ連続関数のグラフであると考えられる領域のことである。この用語は、ドイツの数学者ルドルフ・リプシッツにちなんで名付けられた。

させて${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$。 させて${\displaystyle \Omega }$ドメインである$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle \partial \Omega }$境界を表す${\displaystyle \Omega }$。 それから${\displaystyle \Omega }$任意の点に対して が成り立つ場合、はリプシッツ領域と呼ばれる。${\displaystyle p\in \partial \Omega }$超平面が存在する${\displaystyle H}$寸法${\displaystyle n-1}$を通して${\displaystyle p}$リプシッツ連続関数${\displaystyle g:H\rightarrow \mathbb {R} }$その超平面を越えて、そして現実${\displaystyle r>0}$そして${\displaystyle h>0}$そのため

• ${\displaystyle \Omega \cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ -h<y<g(x)\right\}}$
• ${\displaystyle (\partial \Omega )\cap C=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ g(x)=y\right\}}$

どこ

${\displaystyle {\vec {n}}}$は、に垂直な2つの単位ベクトルのうちの 1 つです。${\displaystyle H,}$

${\displaystyle B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|xp\|<r\}}$半径の開いた球${\displaystyle r}$、

${\displaystyle C:=\left\{x+y{\vec {n}}\mid x\in B_{r}(p)\cap H,\ {-h}<y<h\right\}.}$

言い換えれば、その境界の各点において、${\displaystyle \Omega }$は、局所的には、あるリプシッツ関数のグラフの上にある点の集合である。

より一般的な概念としては、弱リプシッツ領域というものがあり、これは境界が双リプシッツ写像によって局所的に平坦化できる領域のことである。上記のような意味でのリプシッツ領域は、弱リプシッツ領域と対比して、強リプシッツ領域と呼ばれることもある。

ドメイン${\displaystyle \Omega }$は、すべての点に対して弱リプシッツである。${\displaystyle p\in \partial \Omega ,}$半径が存在する${\displaystyle r>0}$そして地図${\displaystyle \ell _{p}:B_{r}(p)\rightarrow Q}$そのため

• $\displaystyle \ell _{p}}$全単射である。
• $\displaystyle \ell _{p}}$そして$\displaystyle \ell _{p}^{-1}}$両方ともリプシッツ連続関数である。
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\partial \Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{0};}$
• ${\displaystyle \ell _{p}\left(\Omega \cap B_{r}(p)\right)=Q_{+};}$

どこ${\displaystyle Q}$単位球を表す${\displaystyle B_{1}(0)}$で$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして

${\displaystyle Q_{0}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}=0\};}$

${\displaystyle Q_{+}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Q\mid x_{n}>0\}.}$

（強）リプシッツ領域は常に弱リプシッツ領域であるが、その逆は真ではない。強リプシッツ領域にならない弱リプシッツ領域の例として、2ブリック領域^{[ 1 ]が挙げられる。}

ソボレフ埋め込み定理の多くは、研究対象領域がリプシッツ領域であることを要求します。したがって、多くの偏微分方程式や変分問題はリプシッツ領域上で定義されます。

• ダコローニャ、B. (2004).変分法入門. インペリアル・カレッジ・プレス、ロンドン。ISBN 1-86094-508-2。