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数学、特に群表現の理論において、群Gの正則表現とは、 Gが自身に対して平行移動によって行う群作用によって得られる線形表現のことである。
左方向への平行移動によって与えられる左正則表現λと、右方向への平行移動の逆によって与えられる右正則表現ρを区別する。
有限群Gに対して、左正則表現 λ (体K上) は、 Gの要素によって自由に生成されるKベクトル空間V上の線形表現であり、すなわち、 Gの要素はVの基底と同一視できる。g ∈ Gが与えられたとき、λ gは、基底に対するgによる左平行移動によって決定される線形写像である。すなわち、
右正則表現 ρ の場合、表現の公理を満たすためには反転操作が必要となる。具体的には、g ∈ Gが与えられたとき、ρ gは、基底への作用によって決定されるV上の線形写像であり、g − 1による右平行移動によって定義される。
あるいは、これらの表現は、すべての関数G → KからなるKベクトル空間W上で定義することもできます。この形式で、正則表現はリー群などの位相群に一般化されます。
Wに関する具体的な定義は次のとおりです。関数f : G → Kと要素g ∈ Gが与えられたとき、
そして
すべての群G は、自身に対して平行移動によって作用します。この作用を置換表現とみなすと、単一の軌道と、Gの単位部分群 { e } を安定化群として特徴付けられます。与えられた体Kに対するGの正則表現は、この置換表現をK上のベクトル空間の基底ベクトルの集合として取ることによって作られる線形表現です。重要な点は、置換表現は分解しない（推移的である）のに対し、正則表現は一般に小さな表現に分解されるということです。たとえば、Gが有限群でKが複素数体である場合、正則表現は既約表現の直和として分解され、各既約表現は、その次元の重複度で分解に現れます。これらの既約表現の数は、 Gの共役類の数に等しくなります。
上記の事実は指標理論によって説明できます。正則表現 χ (g)の指標は、正則表現Vに作用するgの不動点の数であることを思い出してください。つまり、 gが既約でない場合、不動点 χ (g)の数はゼロであり、それ以外の場合は | G | となります。Vが分解 ⊕ a i V iを持つとします。ここで、V iはGの既約表現であり、a iは対応する重複度です。指標理論により、重複度a i は次のように計算できます。
つまり、各既約表現の多重度は、その表現の次元に等しいということである。
群環に関する記事では、有限群の正則表現を明確に説明するとともに、正則表現をモジュールとして扱うことができる方法を示しています。
構成をより抽象的に述べると、群環K [ G ] はそれ自身上の加群とみなされます。（ここでは左作用か右作用かを選択できますが、表記法以外には重要ではありません。）Gが有限で、 K の標数が| G |を割り切らない場合、これは半単純環であり、その左（右）環イデアルを考察しています。この理論は深く研究されています。特に、正則表現の直和分解には、K上のGの既約線形表現のすべての同型類の代表元が含まれていることが知られています。この場合、正則表現は表現論を包括的に表すと言えます。K の標数が| G | を割り切る加群の場合、 K [ G ] が半単純でない場合、表現が直和として分割されないと既約にならない可能性があるため、より困難になります。
位数nのgによって生成される巡回群Cの場合、 K [ C ]の要素がK [ C ] に乗算作用を及ぼすときの行列形式は、巡回行列と呼ばれる独特の形式をとります。この行列では、各行は、自然基底を参照したときに、上の行を右にシフトしたものになります (巡回順、つまり最も右の要素が左に現れます)。
体Kが原始的なn乗根を含む場合、すべてのn × n巡回行列に対してn個の線形独立な同時固有ベクトルを書き下すことで、Cの表現を対角化できます。実際、ζ が任意のn乗根である場合、要素
は、乗算によるgの作用に対する固有ベクトルであり、固有値は です。
したがって、gのすべてのべき乗とその線形結合の固有ベクトルも存在する。
これは、代数的に閉じた体K (複素数など)上で、 Kの標数(素数pの場合) が G の位数を割り切らない限り、Gの正則表現は完全に可約であるという抽象的な結果を、この場合明示的な形で表したものです。これはマシュケの定理と呼ばれています。この場合、標数に関する条件は、原始的なn乗根の存在によって暗黙的に示されますが、素標数p がnを割り切る場合には、そのようなことは起こりません。
巡回行列式は19世紀の数学で初めて登場し、その対角化の結果が示されました。すなわち、巡回行列式は、上述のn個の固有ベクトルに対応するn個の固有値の積です。フロベニウスの群表現に関する基本的な研究は、任意の有限群Gの群行列式の類似の因数分解を見つけるという動機から始まりました。つまり、Gのgで与えられる基底要素に乗算によって作用するK [ G ]の要素を表す任意の行列の行列式です。Gがアーベル群でない限り、因数分解には次数が1より大きいGの既約表現に対応する非線形因子が含まれていなければなりません。
位相群Gの場合、上記の意味での正則表現は、Gが平行移動によって作用する、G上の適切な関数空間に置き換えられる必要がある。コンパクトな場合については、ピーター・ワイルの定理を参照のこと。Gがリー群であるが、コンパクトでもアーベル群でもない場合、これは調和解析の難しい問題となる。局所的にコンパクトなアーベル群の場合は、ポントリャーギン双対性理論の一部である。
ガロア理論では、体LとLの自己同型群の有限群Gに対して、 Gの固定体Kは [ L : K ] = | G | を持つことが示されています。実際には、さらに言うことができます。K [ G ] 加群として見たLは正則表現です。これが正規基底定理の内容であり、正規基底とは、 Gのgに対するg ( x )がK上のLのベクトル空間基底となるようなLの要素xのことです。そのようなx は存在し、それぞれがLからK [ G ]へのK [ G ] 同型を与えます。代数的整数論の観点からは、正規整数基底を研究することが興味深いです。ここでは、 LとK をそれらが含む代数的整数の環で置き換えようとします。ガウス整数の場合、そのような基底が存在しない可能性があることがすでにわかります。a + biとa − bi は、1 が整数の組み合わせではあり得ないため、Z [ i ]のZ加群基底を形成することは決してありません。その理由はガロア加群理論において詳細に研究されている。
群環の正則表現は、左正則表現と右正則表現が同型加群を与えるようなものである（そして多くの場合、場合分けする必要はない）。体A上の代数が与えられたとき、 A をそれ自身上の左加群と右加群として扱う関係について問うことは、すぐには意味をなさない。群の場合、K [ G ]の基底要素gに対する逆要素を取ることによって定義される写像は、 K [ G ] からその反対の環への同型写像を与える。一般のAの場合、このような構造はフロベニウス代数と呼ばれる。名前が示すように、これらは19 世紀にフロベニウスによって導入された。これらは、コボルディズム仮説の特定の例によって 1 + 1 次元の位相的量子場理論と関連していることが示されている。
