マグマ（代数）

抽象代数学では、マグマ、二項演算子、^[1]、または稀に群素は代数構造の基本的な種類である。具体的には、マグマは定義により閉じていなければならない単一の二項演算子を備えた集合から構成される。その他の特性は課されない。

歴史と用語

群体という用語は、1927 年にハインリッヒブラントがブラント群体を説明する際に導入されました。その後、この用語は B. A. ハウスマンとオイステインオーレ(1937) ^{[2]によって、この論文で使用されている意味 (二項演算を含む集合) で流用されました。その後の}Zentralblattでの論文のレビューで、ブラントはこの用語の過剰使用に強く反対しました。ブラント群体は、圏論で使用される意味での群体ですが、ハウスマンとオーレが使用する意味での群体ではありません。しかし、クリフォードとプレストン(1961) やハウィー(1995) など、半群論の影響力のある書籍では、ハウスマンとオーレの意味で群体を使用しています。ホリングス (2014) は、群体という用語は「おそらく現代数学で最も頻繁に使用されている」のは、圏論で与えられた意味であると書いています。^[3]

バーグマンとハウスクネヒト (1996) によると、「必ずしも結合的ではない二項演算を持つ集合を表す、一般的に受け入れられている言葉はない。群素という言葉は多くの普遍代数学者によって使われているが、圏論や関連分野の研究者はこの言葉の用法に強く反対している。なぜなら、彼らは同じ言葉を「すべての射が可逆な圏」という意味で使っているからだ。マグマという用語はセール[リー代数とリー群、1965]によって使われた。」 ^[4]また、ブルバキの数学要旨、代数、第 1 章から第 3 章、1970 年にも登場する。^[5]

意味

マグマとは、任意の 2 つの要素a、b ∈ Mを別の要素a • b ∈ Mに送る操作•と一致する集合 Mです。記号 • は、適切に定義された操作の一般的なプレースホルダーです。マグマとして適格となるには、集合と操作( M、 • ) が次の要件 (マグマプロパティまたは閉包プロパティと呼ばれる) を満たしている必要があります。

M内のすべてのa、bについて、演算a • bの結果もMに含まれます。

数学的な表記では次のようになります。

a,b\in M\implies a\cdot b\in M.

• が部分演算である場合、( M , •) は部分マグマ^[6]または、より一般的には部分群と呼ばれる。^[6]^[7]

マグマの形態

マグマの射とは、二項演算を保存しながらマグマ( M、•)をマグマ( N、∗)に写す関数f : M → Nである。

f ( x・y ) = f ( x )∗ f ( y ) です。

たとえば、Mが正の実数、* が幾何平均、N が実数直線、• が算術平均である場合、対数 f はマグマ ( M、*) から ( N、•) への射になります。

証拠：

\log {\sqrt {xy}}\ =\ {\frac {\log x+\log y}{2}}

これらの可換マグマは結合的ではなく、恒等元も持たないことに注意してください。このマグマの射は、1863 年にW. スタンレージェヴォンズが著書『金の価値の深刻な下落の確認』の7 ページでイギリスの 39 の商品のインフレ率を計算して以来、経済学で使用されています。

表記法と組み合わせ論

マグマ演算は繰り返し適用できますが、一般に非結合的な場合には順序が重要となり、括弧で表記されます。また、演算 • は省略され、並置表記されることがよくあります。

(a • (b • c)) • d \equiv (a (bc)) d

.

括弧の数を減らすために、最も内側の演算と括弧のペアを省略し、単に並置するだけの省略形がよく使用されます: $xy • z \equiv (x • y) • z$ 。たとえば、上記は括弧が含まれたまま次の式に省略されます:

（ a ・ bc ） d

.

括弧の使用を完全に避ける方法は、プレフィックス表記法です。プレフィックス表記法では、同じ式が $•• a • bcd$ と書き込まれます。プログラマーに馴染みのある別の方法は、ポストフィックス表記法（逆ポーランド記法）です。ポストフィックス表記法では、同じ式が $abc •• d •$ と書き込まれ、実行順序は単純に左から右になります（カリー化なし）。

マグマの要素を表す記号と、バランスの取れた括弧の集合からなるすべての可能な文字列の集合は、ダイク言語と呼ばれます。マグマ演算子の $n$ 通りの適用の書き方の総数は、カタラン数 $C n$ で与えられます。したがって、たとえば $C 2 = 2$ は、マグマの 3 つの要素を 2 つの演算で組み合わせる方法は $(ab) c$ と $a (bc)$ の 2 つしかないというステートメントです。それほど自明ではありませんが、 $C 3 = 5$ : $((ab) c) d$ 、 $(a (bc)) d$ 、 $(ab)(cd)$ 、 $a ((bc) d)$ 、および $a (b (cd))$ です。

$n$ 個の元素を持つマグマは $n n 2個$ あるので、1、1、16、19683、4 294 967 296、...（OEISのシーケンスA002489 ）のマグマは0、1、2、3、4、...の要素を持っています。非同型マグマの対応する番号は1、1、10、3330、178 981 952、...（OEISのシーケンスA001329）であり、同時に非同形および非反同形であるマグマの数は1、1、7、1734、89 521 056 、...（ OEISの配列A001424）。^[8]

フリーマグマ

集合X上の自由マグマ M _{X は}、 Xによって生成される「最も一般的な」マグマです(つまり、生成元に課せられた関係や公理はありません。自由オブジェクトを参照してください)。 M _X上の二項演算は、2 つのオペランドをそれぞれ括弧で囲み、同じ順序で並べることによって形成されます。例:

a • b = (a)(b)、

a • (a • b) = (a)((a)(b)),

(a • a) • b = ((a)(a))(b)。

M _Xは括弧を保持したX上の非結合語の集合として記述できる。^[9]

これは、コンピュータサイエンスでよく知られている用語で言えば、 Xの要素によってラベル付けされた葉を持つ完全な二分木のマグマとして見ることもできます。操作は、ルートで木を結合する操作です。

自由マグマは普遍的な性質を持ち、f : X → NがXから任意のマグマNへの関数である場合、マグマの射f ′へのfの唯一の拡張が存在する。

f ′ : MX → N .

マグマの種類

マグマはそれ自体として研究されることはあまりありません。その代わりに、操作が満たす必要のある公理に応じて、いくつかの異なる種類のマグマが存在します。一般的に研究されるマグマの種類は次のとおりです。

準群:分割が常に可能なマグマ
- ループ:単位元を持つ準群。
半群: 演算が結合的であるマグマ。
- モノイド: 単位元を持つ半群。
グループ: 逆元、結合元、単位元を持つマグマ。

除算可能性と可逆性のそれぞれは、キャンセルプロパティを意味することに注意してください。

可換性を持つマグマ

可換マグマ：可換性を持つマグマ。
可換モノイド: 可換性を持つモノイド。
アーベル群: 可換性を持つ群。

特性による分類

マグマ $(S, •)は$ $x, y, u, z$ ∈ $S$ であり、

内側: $xy$ $•$ $uz$ $\equiv$ $xu$ $•$ $yz$ という恒等式を満たす場合
左半内側: $xx$ $•$ $yz$ $\equiv$ $xy$ $•$ $xz$ という等式を満たす場合
右半内側: $yz$ $•$ $xx$ $\equiv$ $yx$ $•$ $zx$ の等式を満たす場合
半内側: 左半内側と右半内側の両方の場合
左分配法: $x$ $•$ $yz$ $\equiv$ $xy$ $•$ $xz$ という等式を満たす場合
右分配法: $yz$ $•$ $x$ $\equiv$ $yx$ $•$ $zx$ の等式を満たす場合
自動配布: 左分配と右分配の両方の場合
可換性: $xy$ $\equiv$ $yxの$ 等式を満たす場合
べき等性: $xx$ $\equiv$ $x を$ 満たす場合
単能性: $xx$ $\equiv$ $yy$ という恒等式を満たす場合
ゼロポテント: $xx • y \equiv xx \equiv y • xx$ ^[10]の恒等式を満たす場合
代替: $xx • y \equiv x • xy$ と $x$ $•$ $yy$ $\equiv$ $xy$ $•$ $y$ の等式を満たす場合
パワーアソシエイティブ: いずれかの元素によって生成されたサブマグマが結合的である場合
フレキシブル: $xy$ $•$ $x$ $\equiv$ $x$ $•$ $yx$ の場合
連想的: $x • yz \equiv xy • z$ という恒等式を満たす場合、半群と呼ばれる。
左片耳: $xy$ $\equiv$ $xzの$ 恒等式を満たす場合
右のウナール: $yx$ $\equiv$ $zxの$ 等式を満たす場合
乗算がゼロの半群、またはヌル半群: $xy$ $\equiv$ $uvの$ 恒等式を満たす場合
ユニタル: アイデンティティ要素がある場合
左相殺: $すべてのx 、 y 、 z$ について、関係 $xy = xz は$ $y$ $=$ $z$ を意味する。
右相殺: $すべてのx 、 y 、 z$ について、 $yx = zx の$ 関係が成り立つならば、 $y$ $=$ $z$ となる。
相殺的: 右相殺と左相殺の両方が可能な場合
左ゼロを持つ半群: $それが半群であり、恒等式xy$ $\equiv$ $x を$ 満たす場合
右ゼロを持つ半群: $それが半群であり、恒等式$ $yx\equivx$ $を$ 満たす場合
三内側: （必ずしも異なるとは限らない）任意の３つの元素が中間サブマグマを生成する場合
エントロピー: それが中性相殺マグマの準同型像である場合。^[11]
中央: $xy$ $•$ $yz$ $\equiv$ $y$ という恒等式を満たす場合

与えられた特性を満たすマグマの数

マグマの分類

マグマのカテゴリMagは、そのオブジェクトがマグマであり、その射がマグマ準同型であるカテゴリです。カテゴリMagには直積があり、包含関手 Set → Med ↪ Mag が自明なマグマとして存在し、その演算は射影x T $y$ $=$ $y$ $によって$ $与え$ られます。

重要な性質は、入射的な自己準同型はマグマ拡大の自己同型、つまり自己準同型（の定数列）の余極限に拡張できることです。

シングルトン $({*}, *)$ は Magの終端オブジェクトであり、Magは代数的であるため、Magは尖っており完全である。^[12]

参照

参考文献

^ バーグマン、クリフォード（2011）、ユニバーサル代数：基礎と選択トピック、CRCプレス、ISBN 978-1-4398-5130-2
^ ハウスマン、BA; オーレ、オイステイン（1937年10月）「準群の理論」、アメリカ数学誌、59（4）：983–1004、doi：10.2307/2371362、JSTOR 2371362。
^ ホリングス、クリストファー（2014）、鉄のカーテンを越えた数学：半群の代数理論の歴史、アメリカ数学会、pp. 142-143、ISBN 978-1-4704-1493-1。
^ バーグマン、ジョージ・M.; ハウスクネヒト、アダム・O. (1996)、共群と共環のカテゴリにおける連想環、アメリカ数学会、p. 61、ISBN 978-0-8218-0495-7。
^ ブルバキ、N. (1998) [1970]、「代数構造：§1.1 合成法則：定義1」、代数I：第1章～第3章、シュプリンガー、p. 1、ISBN 978-3-540-64243-5。
^ ab ミュラー＝ホイッセン、フォルケルト;パロ、ジャン・マルセル。スタシェフ、ジム編。 (2012)、Associahedra、Tamari Lattices and Associated Structures: Tamari Memorial Festschrift、Springer、p. 11、ISBN 978-3-0348-0405-9。
^ Evseev, AE (1988)、「部分群の概観」、Silver, Ben (編)、代数的半群に関する19の論文、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3115-1。
^ ワイスタイン、エリック・W.「グループイド」.マスワールド。
^ Rowen, Louis Halle (2008)、「定義 21B.1」、Graduate Algebra: Noncommutative View、Graduate Studies in Mathematics、American Mathematical Society、p. 321、ISBN 978-0-8218-8408-9。
^ ケプカ、T.; Němec, P. (1996)、「単純なバランスの取れたグループイド」(PDF)、Acta Universitatis Palackianae Olomucensis。ファカルタス・レルム・ナチュラリウム。マセマティカ、35 (1): 53–60。
^ イェジェク、ヤロスラフ; Kepka、Tomáš (1981)、「Free entropic groupoids」(PDF)、Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae、22 (2): 223–233、MR 0620359 。
^ Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian category. Springer. pp. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0。

Hazewinkel, M. (2001) [1994]、「マグマ」、数学百科事典、EMS Press
Hazewinkel, M. (2001) [1994]、「Groupoid」、数学百科事典、EMS Press
Hazewinkel, M. (2001) [1994]、「自由マグマ」、数学百科事典、EMS Press
ワイスタイン、エリック・W.「グループイド」。マスワールド。

さらに読む

ブルック、リチャード・ヒューバート（1971）、バイナリシステムの調査（第3版）、Springer、ISBN 978-0-387-03497-3

[1] バーグマン、クリフォード（2011）、ユニバーサル代数：基礎と選択トピック、CRCプレス、ISBN 978-1-4398-5130-2

[2] ハウスマン、BA; オーレ、オイステイン（1937年10月）「準群の理論」、アメリカ数学誌、59（4）：983–1004、doi：10.2307/2371362、JSTOR 2371362。

[Hollings2014-3] ホリングス、クリストファー（2014）、鉄のカーテンを越えた数学：半群の代数理論の歴史、アメリカ数学会、pp. 142-143、ISBN 978-1-4704-1493-1。

[BergmanHausknecht1996-4] バーグマン、ジョージ・M.; ハウスクネヒト、アダム・O. (1996)、共群と共環のカテゴリにおける連想環、アメリカ数学会、p. 61、ISBN 978-0-8218-0495-7。

[Bourbaki1998-5] ブルバキ、N. (1998) [1970]、「代数構造：§1.1 合成法則：定義1」、代数I：第1章～第3章、シュプリンガー、p. 1、ISBN 978-3-540-64243-5。

[Müller-HoissenPallo2012-6] ミュラー＝ホイッセン、フォルケルト;パロ、ジャン・マルセル。スタシェフ、ジム編。 (2012)、Associahedra、Tamari Lattices and Associated Structures: Tamari Memorial Festschrift、Springer、p. 11、ISBN 978-3-0348-0405-9。

[Silver-7] Evseev, AE (1988)、「部分群の概観」、Silver, Ben (編)、代数的半群に関する19の論文、アメリカ数学会、ISBN 0-8218-3115-1。

[8] ワイスタイン、エリック・W.「グループイド」.マスワールド。

[9] Rowen, Louis Halle (2008)、「定義 21B.1」、Graduate Algebra: Noncommutative View、Graduate Studies in Mathematics、American Mathematical Society、p. 321、ISBN 978-0-8218-8408-9。

[10] ケプカ、T.; Němec, P. (1996)、「単純なバランスの取れたグループイド」(PDF)、Acta Universitatis Palackianae Olomucensis。ファカルタス・レルム・ナチュラリウム。マセマティカ、35 (1): 53–60。

[11] イェジェク、ヤロスラフ; Kepka、Tomáš (1981)、「Free entropic groupoids」(PDF)、Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae、22 (2): 223–233、MR 0620359 。

[12] Borceux, Francis; Bourn, Dominique (2004). Mal'cev, protomodular, homological and semi-abelian category. Springer. pp. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0。