中心群

抽象代数学 において、中心群とは、次の式を満たす要素の集合に対する 二項演算 によって定義される代数構造である。${\displaystyle \cdot}$$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b.}$$

たとえば、ユークリッド平面上の点に対する操作は、その直交座標を として再結合することによって定義され、 中心群となります。同じ種類の再結合によって、任意の集合の要素の順序付きペア上の中心群が定義され、自然中心群と呼ばれます。 ${\displaystyle \cdot}$$${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(y_{1},x_{2})}$$

中心群は、単一の二項演算を持つ代数構造として、特別な種類のマグマまたは群です。中心群は等式単位元によって定義されるため、さまざまな代数を形成し、その自由オブジェクトは自由中心群と呼ばれます。自由中心群は無限であり、べき等元を持ちません。有限集合上の自然中心群を含む有限中心群は、常に平方数の要素を持ち、その平方根はべき等元の数です。

中心群は、要素の集合と、この集合上の二項演算で構成され、この演算は すべての要素、、およびに対して方程式を満たします。^[1]${\displaystyle \cdot}$$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot (b\cdot c)=b}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

中心群は、中心有向グラフによって同等に定義できます。これらは、各頂点の順序付きペア (必ずしも異なる必要はありません) が 3 頂点の有向ウォークの開始頂点と終了頂点を形成する有向グラフです。つまり、各 と に対して、およびが有向辺である一意の頂点が存在する必要があります。任意の中心有向グラフから、各有向パス に対して となる中心群を定義できます。逆に、任意の中心群に対して、頂点の集合を群の要素とし、が存在する場合は常に辺が存在するとすることで、中心有向グラフを定義できます。^[2]${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u\to w}$${\displaystyle w\to v}$${\displaystyle u\cdot v=w}$${\displaystyle u\to w\to v}$${\displaystyle u\to w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u\cdot v=w}$

中心群の3番目の同等の定義は、1の行列であるという性質を持つ(0,1)行列 を含む。これらはまさに中心群を定義するグラフの有向隣接行列である。 ^[2]${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{2}}$

有限中心群にはそれぞれ平方個の元がある。元数が 個の場合、ちょうど個のべき等元（という性質を持つ元）が存在する。^[2]対応する中心有向グラフでは、各べき等頂点に自己ループが存在する。残りの頂点はそれぞれ一意の 2 サイクルに属する。中心群の行列ビューでは、べき等元は群を表す行列の主対角線上の 1 を形成する。行列の各行と各列にもちょうど1 が含まれる。行列のスペクトルはである。^[3]${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle i\cdot i=i}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k,0,0,\dots ,0}$

ラベル付けされた元、またはそれと同等に、平方がすべて1の行列である次元の(0,1)行列上の中心群の数は、 ${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle k^{2}\times k^{2}}$${\displaystyle k=1,2,3}$

1、12、1330560（OEISの配列A283627）。

の一般的な値に対してこれらの数値を見つけることは、 1967年にアラン・J・ホフマンによって未解決の問題として述べられました。^[4]${\displaystyle k}$

あらゆる代数多様体と同様に、中心群には自由対象、すなわち自由中心群がある。自由中心群は、与えられた生成元集合に対して、有限式の同値類である元を持つものとして定義することができ、同値関係では、中心群の定義方程式を繰り返し適用することで 2 つの式が互いに変換できる場合に 2 つの式は同値である。有限中心群とは異なり、自由中心群にはべき等元がない。自由中心群の式の同値性をテストする問題は、この問題を解決する項書き換えシステムを構築するためのKnuth-Bendix 完備化アルゴリズムの発見の動機となった例の 1 つであった。^[5]

結果として得られる書き換えシステムは、これらの規則のいずれかの左側に一致する部分式が右側に変換される規則で構成され 、一致する部分式がなくなるまで続きます。2つの式がこのように同じ式に変換された場合、それらの式は同等です。^[5]$${\displaystyle {\begin{aligned}(a\cdot b)\cdot (b\cdot c)&\to b\\a\cdot {\bigl (}(a\cdot b)\cdot c{\bigr )}&\to a\cdot b\\{\bigl (}a\cdot (b\cdot c){\bigr )}\cdot c&\to b\cdot c\\\end{aligned}}}$$

自然中心群は、ある定義集合内の値の順序付きペアを要素として持ちます。その二項演算は、これらのペアを次のように再結合します。 ^[5] たとえば、定義集合が実数の集合である場合、この演算は、直交座標で記述されるユークリッド平面上の点の積を定義します。定義集合が有限である場合、結果として得られる自然中心群も有限です。^[1]${\displaystyle \cdot}$ $${\displaystyle (x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=(y_{1},x_{2})}$$

自然中心群は中心群の中でも、 すべての元とに対して別の方程式に従うことによって特徴付けられる。^{[5] [2]}$${\displaystyle {\bigl (}a\cdot (a\cdot a){\bigr )}\cdot b=a\cdot b}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• 友情グラフ、2つの異なる頂点がそれぞれ3頂点のパスの終点であるという性質を持つ無向グラフ
• 半中心双群は、2つの二項演算を持つ中心群の一般化であり、1次元可逆セルオートマトンを特徴付けるために使用されます。