海岸線のパラドックス

海岸線のパラドックスは、陸地の海岸線の長さが明確に定義されていないという直感に反する観察である。これは、海岸線のフラクタル曲線のような特性、つまり海岸線が通常フラクタル次元を持つという事実に起因している。「長さのパラドックス」は以前にヒューゴ・スタインハウスによって指摘されていたが^[1]、この現象の最初の体系的な研究はルイス・フライ・リチャードソンによって行われ、^{[2] [3] 、}ブノワ・マンデルブロによって拡張された。^{[4] [5]}

海岸線の測定された長さは、測定に使用された方法と地図作成の一般化の程度によって異なります。陸地には、数百キロメートルから 1 ミリメートル以下の小さなサイズまで、あらゆる規模の地形があるため、測定時に考慮すべき最小の地形の明確なサイズはなく、したがって陸地の明確に定義された単一の周囲長はありません。地形の最小サイズについて特定の仮定が立てられると、さまざまな近似値が存在します。

この問題は、他のより単純なエッジの測定とは根本的に異なります。たとえば、測定装置を使用して、長さが特定の量より小さく、別の量より大きいことを決定することにより、まっすぐで理想的な金属棒の長さを正確に測定することができます。つまり、ある程度の不確実性内で測定することができます。測定装置の精度が高いほど、結果はエッジの実際の長さに近くなります。ただし、海岸線の場合、より細かく測定しても精度は向上せず、合計に加算されるだけです。金属棒とは異なり、海岸線の長さの正確な値を取得することは理論上でも不可能です。

3 次元空間では、海岸線のパラドックスはフラクタル面の概念に容易に拡張され、測定解像度に応じて表面の面積が変化します。

1951年直前、ルイス・フライ・リチャードソンは、国境の長さが戦争の可能性に及ぼす可能性のある影響を研究していた際、ポルトガルがスペインとの国境を987km（613マイル）と報告したのに対し、スペインは1,214km（754マイル）と報告していることに気づきました。これが海岸線問題の始まりであり、これは不規則な境界線の測定に内在する数学的な不確実性です。^[6]

国境 (または海岸線) の長さを推定する一般的な方法は、地図または航空写真上に、長さlのn本の等間隔の直線を区切り線で区切るというものでした。直線の各端は境界線上になければなりません。境界線推定の矛盾を調査したリチャードソンは、現在「リチャードソン効果」と呼ばれている現象を発見しました。つまり、直線の共通の長さが短くなると、直線の合計が単調に増加するという現象です。つまり、定規が短いほど、測定された境界線は長くなります。スペインとポルトガルの地理学者は、単に異なる長さの定規を使用していたのです。

リチャードソンにとって最も驚くべき結果は、ある状況下では、l がゼロに近づくにつれて、海岸線の長さが無限大に近づくということである。リチャードソンは、ユークリッド幾何学に基づいて、海岸線は、正多角形の同様の推定と同様に、固定長に近づくと信じていた。たとえば、円に内接する正多角形の周囲は、辺の数が増えるにつれて（そして一辺の長さが減少するにつれて）円周に近づく。幾何学的測度論では、円のように、限定された限界を持つ小さな直線で近似できる滑らかな曲線は、修正可能曲線と呼ばれる。^[7]ブノワ・マンデルブロは、 Dがεに依存しないことを示した。

長さの基本的な概念は、ユークリッド距離に由来します。ユークリッド幾何学では、直線は2 点間の最短距離を表します。この線の長さは 1 つだけです。球面上では、これは測地線の長さ (大円長とも呼ばれます) に置き換えられ、球面の両端と中心を含む平面に存在する表面曲線に沿って測定されます。基本曲線の長さはより複雑ですが、計算することもできます。定規で測定する場合、点を結ぶ直線の合計を加算することで、曲線の長さを概算できます。

曲線の長さを近似するために数本の直線を使用すると、実際の長さよりも短い推定値が生成されます。使用する直線が短くなるにつれて (つまり、より本数が多くなるにつれて)、その合計は曲線の実際の長さに近づき、その長さはそのような近似値すべての最小の上限または最大値になります。この長さの正確な値は、微積分(無限小の距離の計算を可能にする数学の分野)を使用して見つけることができます。次のアニメーションは、滑らかな曲線に正確な長さを意味のある方法で割り当てる方法 を示しています。

すべての曲線をこの方法で測定できるわけではありません。フラクタルとは、定義上、測定スケールが増しても複雑さが減少することのない曲線です。滑らかな曲線の近似値は、測定精度が増すにつれて単一の値に近づく傾向がありますが、フラクタルの測定値は収束しません。

フラクタル曲線の長さは常に無限大に発散するため、海岸線を無限またはほぼ無限の解像度で測定すると、海岸線の無限に短い屈曲部の長さを合計すると無限大になります。^{[8]しかし、この数字は、空間を無限小のセクションに分割できるという仮定に依存しています。ユークリッド幾何学の基礎となり、日常の測定で便利なモデルとして機能するこの仮定の真実性は、哲学的な推測の問題であり、原子レベル（およそ}ナノメートルのスケール）での「空間」と「距離」の変化する現実を反映しているかどうかはわかりません。

海岸線は、統計的にランダムなパターンを生み出す様々な自然現象によって形成されるのに対し、理想的なフラクタルは単純で定型的なシーケンスの繰り返しによって形成されるため、マンデルブロ集合などの理想的なフラクタルほど構造が明確ではありません。^[9]

リチャードソンが研究を終えてから10年以上経って、ブノワ・マンデルブロは、無限の海岸線のような自然界の非直線的な複合体を記述するために、新しい数学の分野であるフラクタル幾何学を開発した。 ^[10]彼の研究の基礎となった新しい図形に対する彼自身の定義は次の通りである。^[11]

私はラテン語の形容詞fractusからfractal という造語を作りました。対応するラテン語の動詞frangere は「壊す」、つまり不規則な断片を作ることを意味します。したがって、 fractus は「断片化された」だけでなく「不規則な」という意味も持つのが理にかなっています。

1967年5月5日に出版された「イギリスの海岸線の長さは？統計的自己相似性と分数次元」^[12]で、マンデルブロはハウスドルフ次元が1から2の間の自己相似曲線について論じている。これらの曲線はフラクタルの例であるが、マンデルブロはこの用語を1975年まで造語していなかったため、論文では使用していない。この論文は、マンデルブロがフラクタルをテーマにした最初の出版物の1つである。^[13]

経験的証拠は、測定の増分が小さいほど、測定された長さが長くなることを示唆している。ヤード棒で海岸線の長さを測定すると、同じ長さを 1 フィート (30 cm) の定規で測定した場合よりも短い結果となる。これは、ヤード棒がたどる経路よりも曲線的な経路に定規を置くことになるためである。 経験的証拠は、外挿すると、測定スケールがゼロに向かって減少するにつれて測定された長さが無制限に増加することを示す規則を示唆している。 この議論は、海岸線の長さについて話すことは無意味であり、海岸線を定量化する他の手段が必要であることを意味している。 次にマンデルブロは、コッホの雪片に関連する、厳密に自己相似となるように定義されるさまざまな数学的曲線について説明します。マンデルブロは、これらの曲線のそれぞれについて、ハウスドルフ次元を計算する方法を示しています。これらの曲線のそれぞれは、次元Dが1 から 2 の間です (彼は、次元がちょうど 2 である空間充填ペアノ曲線についても言及していますが、その構成法は示していません)。この論文では、海岸線や地理的境界が実際に分数次元を持っているとは主張していません。その代わりに、リチャードソンの経験則は、海岸線などの地理的曲線は分数次元のランダムな自己相似図形でモデル化できるという考えと互換性があると指摘しています。論文の終わり近くで、マンデルブロは、規則的ではなくランダムに見える自然界のフラクタルのようなオブジェクトの研究にどのように取り組むべきかについて簡単に説明しています。このために、彼は統計的に自己相似図形を定義し、これらは自然界で遭遇すると述べています。この論文は、マンデルブロの初期のフラクタルに関する考え方の「転換点」であるため重要です。^[14]これは、数学的オブジェクトと自然の形を結び付けるという、彼の後の研究の多くのテーマの例です。

いくつかのフラクタルの重要な特性は自己相似性です。つまり、どのスケールでも同じ全体的な構成が現れるということです。海岸線は、湾と岬が交互に並ぶものとして認識されます。与えられた海岸線がこの自己相似性の特性を持つという仮定の状況では、海岸線のどの小さなセクションをどれだけ拡大しても、砂粒に至るまで、より大きな湾と岬の上に小さな湾と岬が重なる類似のパターンが現れます。そのスケールでは、海岸線は、手元にある小さな物体から形成された湾と岬の確率的配置を持つ、瞬間的に移動する、潜在的に無限に長い糸のように見えます。このような環境では (滑らかな曲線とは対照的に)、マンデルブロは^[10]「海岸線の長さは、それをつかもうとする人々の指の間から滑り落ちる、とらえどころのない概念であることが判明する」と主張しています。

フラクタルには様々な種類があります。前述の特性を持つ海岸線は、「フラクタルの第一のカテゴリ、つまりフラクタル次元が 1 より大きい曲線」に属します。この最後の記述は、リチャードソンの考えをマンデルブロが拡張したものです。リチャードソン効果に関するマンデルブロの記述は次のとおりです。^[15]

${\displaystyle L(\varepsilon )\sim F\varepsilon ^{1-D},}$

ここで、海岸線の長さL は測定単位εの関数であり、次の式で近似される。Fは定数、D はリチャードソンがLで近似された海岸線に依存することを発見したパラメータである。彼は理論的な説明をしなかったが、マンデルブロはD をハウスドルフ次元（後にフラクタル次元と呼ばれる）の非整数形式と同一視した。式を整理すると 次のようになる。

${\displaystyle F\varepsilon ^{-D}\cdot \varepsilon ,}$

ここで、Fε ^{− D は}L を得るために必要な単位εの数でなければならない。海岸線を測る破線は一方向に伸びておらず、面積も表していないが、両者の中間にあり、幅2 εの帯と考えることができる。Dはそのフラクタル次元で、1 から 2 の範囲である（通常は 1.5 未満）。破線が多い海岸線ほどDが大きくなり、したがって同じεに対してL は長くなる。Dは南アフリカの海岸線では約 1.02 、イギリス西海岸では約 1.25 である。^{[5]湖の海岸線の場合、} Dの典型的な値は1.28 である。^[16]

海岸線のパラドックスは、どの川、ビーチ、国境、海岸線が最も長いかといった些細な問題を含む現実世界への応用に関する問題であり、前者 2 つの記録は激しい議論の対象となっている。さらに、この問題は領土の境界設定、所有権、浸食監視、および幾何学的モデリングの理論的意味にまで及ぶ。この問題を解決するために、いくつかの解決策が提案されている。^[17]これらの解決策は、「海岸線」の定義を設定し、海岸線の実際的な物理的限界を確立し、これらの実際的な限界内で数学的な整数を使用して長さを意味のあるレベルの精度で計算することにより、問題を取り巻く実際的な問題を解決します。^[17]これらの問題に対する実際的な解決策は、モデル内で理論的/数学的概念として存続する限り、すべての実際的な応用に対してこの問題を解決できます。^[18]

海岸線のパラドックスは、海岸線が本質的に有限で、空間内の実際の特徴であり、したがってその長さに対する定量的な答えがあるため、しばしば批判される。^{[17] [19]}フラクタルとの比較は、問題を説明するための比喩としては有用であるが、海岸線は自己反復的ではなく、基本的に有限であるため、完全に正確ではないと批判されている。^[17]

このパラドックスの原因は、私たちが現実を測定する方法に基づいており、その測定値を使用して海岸の地図モデルを作成しようとするときに最も関連しています。^[19] LiDAR、 GPS 、地理情報システムなどの現代の技術により、このパラドックスへの対処ははるかに容易になりましたが、測量測定とベクターソフトウェアの限界は残っています。 [17]批評家は、これらの問題はより理論的なものであり、計画者にとって実用的な考慮事項ではないと主張しています。 [ ^{17 ]}

あるいは、海岸「線」という概念自体が、鉛直基準面に対して平坦ではない潮汐基準面の割り当てに依存する人間の構築物であり、したがって潮間帯のどこかで陸と海の間に構築された線は半ば恣意的で、常に変化しています。したがって、さまざまな分析目的のために、さまざまなデータソースと方法論を使用して、それぞれ異なる長さの多数の「海岸線」が構築される可能性があります。これにより、海岸線の長さに依存する方法を使用した生態系サービスの定量化が複雑になる可能性があります。^[20]

• アラスカ国境紛争-アラスカ州北部に対するアラスカとカナダの領有権主張は、フィヨルドが密集した地域に適用される「海岸の曲がりくねった線に平行な線」を国境とする曖昧な表現の解釈の違いにより、大きく異なっていた。
• フラクタル次元
• ガブリエルの角笛は、無限の表面積を持ちながら有限の体積を持つ幾何学的図形である。
• 海岸線の長さによる国の一覧
• 規模（地理）
• ヒープのパラドックス
• 階段のパラドックス、直線部分の近似値が異なる値に収束する同様のパラドックス
• ゼノンのパラドックス
• 最も長いビーチのリスト
• 長さ別の河川系一覧
• 陸上国境の数による国と地域のリスト

• フラクタル幾何学の「海岸線」（マイケル・フレーム、ブノワ・マンデルブロ、ニアル・ネガー編、イェール大学の数学 190a 用に管理）
• カナダ地図帳 – 海岸線と海岸線
• デジタル コーストの NOAA GeoZone ブログ
• 海岸線のパラドックスとは何か？ – VeritasiumによるYouTube動画