中心差分スキーム

応用数学において、中心差分法は、対象とするパッチの中心ノードにおける微分演算子の近似を最適化し、微分方程式の数値解を提供する有限差分法です。 ^{[ 1 ]}これは、統合された対流拡散方程式を解き、e 面と w 面での輸送特性 Φ を計算するために使用されるスキームの 1 つです。ここで、 eとw はそれぞれ東と西を表します(計算グリッド上の方向を示すために慣習的に使用される方位角)。この方法の利点は、少なくとも単純な物質関係については理解と実装が容易であること、および前方差分や後方差分などの他の有限差分法よりも収束速度が速いことです。対流拡散方程式の右辺は、基本的に拡散項を強調しており、中心差分近似を使用して表現できます。解と解析を簡略化するために、線形補間を使用して、この方程式の左辺 (対流項に他ならない) のセル面の値を計算することができます。したがって、均一グリッドのプロパティのセル面値は次のように記述できます。^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \Phi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{P}+\Phi _{E})}$$$${\displaystyle \Phi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{W}+\Phi _{P})}$$

対流拡散方程式は拡散方程式と対流方程式をまとめて表したもので、物理システム内部での粒子、エネルギー、その他の物理量の移動における対流と拡散に関わるすべての物理現象を記述または説明するものです。^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {div} (\rho u\varphi )=\operatorname {div} (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi };\,}$$ ここで、Гは拡散係数、Φは特性である。

制御体積上で定常対流拡散方程式を正式に積分すると、

この方程式は、制御体積内のフラックスバランスを表しています。左辺は正味の対流フラックスを示し、右辺は正味の拡散フラックスと、制御体積内における物質の生成または消滅を表します。

ソース項方程式がない場合、次のようになります。

連続の式：

制御体積を仮定し、式2を制御体積で積分すると、次の式が得られる。

式3を積分すると次のようになる。

単位面積あたりの対流質量流束と細胞面における拡散伝導率を表すために、例えば次のような 2つの変数を定義すると便利です。$${\displaystyle F=\rho u}$$$${\displaystyle D=\Gamma /\delta x}$$

仮定すると${\displaystyle A_{e}=A_{w}}$積分された対流拡散方程式は次のように表すことができます。 $${\displaystyle F_{e}\varphi _{e}-F_{w}\varphi _{w}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

そして、統合された連続方程式は次のようになる。 $${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$$

中心差分法では、線形補間を用いて対流項のセル面値を計算します。

均一なグリッドの場合、特性Φのセル面値は次のように 表すことができます。$${\displaystyle \varphi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{E}+\varphi _{P}),\quad \varphi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{P}+\varphi _{W})}$$

これを積分対流拡散方程式に代入すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle F_{e}{\frac {\varphi _{E}+\varphi _{P}}{2}}-F_{w}{\frac {\varphi _{W}+\varphi _{P}}{2}}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

そして再編成について： $${\displaystyle \left[\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)+(F_{e}-F_{w})\right]\varphi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)\varphi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)\varphi _{E}}$$$${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$$

• これらは現在、オイラー方程式やナビエ・ストークス方程式の解法において日常的に用いられている。
• 中心差分近似を用いた結果、滑らかな領域において精度が著しく向上することが示された。
• 粗いメッシュでは、衝撃波の表現と境界層の定義を改善できる。^{[ 3 ]}

• プログラミングが簡単で、ステップあたりのコンピュータ処理時間が少なく、マルチグリッド加速技術との相性も良い。
• 定常状態に近づくために必要な、4次差分散逸と連動する自由パラメータを持つ。
• ペクレ数が2未満の場合、一次風上差分法よりも精度が高い。 ^{[ 3 ]}

• やや散逸的
• 局所ペクレ数が2より大きい場合、解に振動が生じたり、発散したりする。^{[ 4 ]}

• 有限差分法
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• テイラーシリーズ
• テイラーの定理
• 対流拡散方程式
• 拡散
• 対流
• ペクレ数
• 線形補間
• 対称微分
• 対流に対する風上差分スキーム

• 計算流体力学：基礎と応用– ジョン・D・アンダーソン、ISBN 0-07-001685-2
• 計算流体力学第 1 巻 – クラウス A. ホフマン、スティーブ T. チャン、ISBN 0-9623731-0-9

• 一次元定常対流拡散方程式#中心差分スキーム
• 有限差分法
• 中心差分法（ 2013年11月5日、 Wayback Machineにアーカイブ済み）
• ポアソン・ネルンスト・プランク方程式に対する保存型有限差分スキーム