位相群の拡張

数学、より具体的には位相群において、位相群の拡大、あるいは位相拡大とは、とが位相群であり、と がそれら の像にも開いている連続準同型であるような短い完全列 である 。^[1]したがって、位相群のあらゆる拡大は群拡大である。 ${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0}$${\displaystyle H,X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi}$

位相的拡張は

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

そして

${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i'}{\rightarrow }}X'{\stackrel {\pi '}{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

図 1 の図 を可換にする位相同型が存在する場合、それらは同値 (または合同) です。${\displaystyle T:X\to X'}$

位相的拡張は

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

分割拡張とは、自明な拡張と同等である拡張 である。

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i_{H}}{\rightarrow }}H\times G{\stackrel {\pi _{G}}{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

ここで、は最初の因子への自然な包含であり、は 2 番目の因子への自然な射影です。 ${\displaystyle i_{H}:H\to H\times G}$${\displaystyle \pi _{G}:H\times G\to G}$

位相拡張 が分割されるのは、連続準同型写像が存在し、その恒等写像が${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$${\displaystyle R:X\rightarrow H}$${\displaystyle R\circ i}$${\displaystyle H}$

位相的拡張が分割されるのは、部分群が${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$${\displaystyle i(H)}$${\displaystyle X}$

• 実数と整数を取ります。 自然包含と自然射影を取ります。すると${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \imath }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\stackrel {\imath }{\to }}\mathbb {R} {\stackrel {\pi }{\to }}\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0}$

は位相アーベル群の拡張です。実際、これは非分割拡張の例です。

位相アーベル群の拡張は、とが局所コンパクトアーベル群であり、 とが 相対的に開いた連続準同型であるような短い完全列となる。 ^[2]${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0}$${\displaystyle H,X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi }$

• を局所コンパクトアーベル群の拡張とする

${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0.}$

およびの ポントリャーギン双対を取り、 および の双対写像を取ります。 すると、 シーケンス ${\displaystyle H^{\wedge },X^{\wedge }}$${\displaystyle G^{\wedge }}$${\displaystyle H,X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle i^{\wedge }}$${\displaystyle \pi ^{\wedge }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle 0\to G^{\wedge }{\stackrel {\pi ^{\wedge }}{\to }}X^{\wedge }{\stackrel {\imath ^{\wedge }}{\to }}H^{\wedge }\to 0}$

局所コンパクトアーベル群の拡張です。

非常に特殊な種類の位相拡張は、 の形式のものであり、 は単位円であり、は位相アーベル群である。^[3]${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

位相アーベル群がクラスに属するのは、その形式のすべての位相的拡大が ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

• すべての局所コンパクトアーベル群は に属します。言い換えると、が局所コンパクトアーベル群であるすべての位相拡張は分割されます。${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$${\displaystyle G}$

• すべての局所プレコンパクトアーベル群は に属します。${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$

• バナッハ空間（特に位相アーベル群）は に属しません。${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$