グループ縮小

理論物理学において、ユージン・ウィグナーとエルダル・イノニュは、与えられたリー群から、その連続部分群に関する群縮約によって異なる（同型でない）リー群を得る可能性について議論した^{[1] 。これは、適切な状況下で、}リー代数のパラメータに対する極限操作に相当し、このリー代数の構造定数を非自明な特異な方法で変更する。^[2]^[3]

例えば、3次元回転群 $SO(3)$ のリー代数、 $[$ $X$ $1$ $,$ $X$ $2$ $] =$ $X$ $3などは、変数$ $Y$ $1$ $=$ $εX$ $1$ 、 $Y$ $2$ $=$ $εX$ $2$ 、 $Y$ $3$ $=$ $X$ $3$ の変更によって次のように書き直すことができる。

[Y 1, Y 2] = ε 2 Y 3 、[Y 2, Y 3] = Y 1 、[Y 3, Y 1] = Y 2

。

収縮極限 $ε \to 0は、第 1 交換子を自明化し、平面$ ユークリッド群の非同型代数 $E 2 ~ ISO(2)$ を生成します。(これは、円筒面上の点の運動を記述する円筒群に同型です。これは、ミンコフスキー空間のヌル4 元ベクトルの小群、または安定化部分群です。) 具体的には、変換生成子 $Y$ $1$ $、$ $Y$ $2$ $は、 E$ $2$ のアーベル正規部分群(群の拡張を参照)、放物型ローレンツ変換を生成します。

同様の限界は物理学でかなり応用されており（対応原理を参照）、

ド・ジッター群 SO $(4, 1) ~ Sp(2, 2) を$ ポアンカレ群 $ISO(3, 1)$ に変換する場合、ド・ジッター半径は $R \to \infty$ に発散する:または
AdS半径が $R$ $\to \infty$ に発散するにつれて、超反ド・ジッター代数が超ポアンカレ代数に変換される。または
ポアンカレ群からガリレイ群へ、光速が発散するにつれて：c → ∞ [ ^4]または
プランク定数がゼロになる古典極限では、モイヤル括弧リー代数（量子交換子に相当）をポアソン括弧リー代数に変換します: ħ → 0。

注記

^ イノニュ＆ウィグナー 1953
^ シーガル 1951、221 ページ
^ サレタン 1961、1 ページ
^ ギルモア 2006

参考文献

Dooley, AH; Rice, JW (1985). 「半単純リー群の縮約について」(PDF) .アメリカ数学会誌. 289 (1): 185–202. doi : 10.2307/1999695 . ISSN 0002-9947. JSTOR 1999695. MR 0779059.
ギルモア、ロバート (2006)。リー群、リー代数、およびその応用。ドーバー数学の本。ドーバー出版。ISBN 0486445291. MR 1275599。
Inönü, E. ; Wigner, EP (1953). 「群の縮約とその表現について」Proc. Natl. Acad. Sci . 39 (6): 510–24. Bibcode :1953PNAS...39..510I. doi : 10.1073/pnas.39.6.510 . PMC 1063815. PMID 16589298 .
Saletan, EJ (1961). 「リー群の縮約」.数理物理学ジャーナル. 2 (1): 1–21. Bibcode :1961JMP.....2....1S. doi :10.1063/1.1724208.
Segal, IE (1951). 「群によって決定される作用素代数のクラス」. Duke Mathematical Journal . 18 : 221. doi :10.1215/S0012-7094-51-01817-0.

[1] イノニュ＆ウィグナー 1953

[2] シーガル 1951、221 ページ

[3] サレタン 1961、1 ページ

[4] ギルモア 2006