HNN 拡張

数学において、HNN 拡張は組合せ群論の重要な構成です。

これは、1949年の論文「群の埋め込み定理」^{[1]でグラハム}・ヒグマン、ベルンハルト・ノイマン、ハンナ・ノイマンによって導入されたもので、与えられた群Gを別の群G'に埋め込み、 Gの2つの与えられた同型部分群が（与えられた同型を通して）G'で共役になるようにするものである。

G を表現 を持つ群とし、をGの2つの部分群間の同型と する。t をSに含まれない新しい記号とし、定義する。 ${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$${\displaystyle \alpha \colon H\to K}$

${\displaystyle G*_{\alpha }=\left\langle S,t\mid R,tht^{-1}=\alpha (h),\forall h\in H\right\rangle .}$

この群は、αに対するGの HNN 拡張と呼ばれます。元の群 G は、構築の基本群と呼ばれ、部分群HとKは、関連付けられた部分群です。新しい生成元t は、安定文字と呼ばれます。 ${\displaystyle G*_{\alpha}}$

の表現にはGの表現からのすべての生成元と関係が含まれているため、生成元の同一視によって誘導される自然な準同型があり、これによってGは になります。Higman、Neumann、および Neumann は、この射が単射であること、つまりGの への埋め込みであることを証明しました。その結果、与えられた群の 2 つの同型部分群は、常に何らかの過剰群で共役になります。これを示したいというのが、この構築の元々の動機でした。 ${\displaystyle G*_{\alpha}}$${\displaystyle G*_{\alpha}}$${\displaystyle G*_{\alpha}}$

HNN拡張の重要な特性は、ブリトンの補題として知られる正規形定理である。^[2]を上記のようにし、wをにおける次の積とする。 ${\displaystyle G*_{\alpha}}$${\displaystyle G*_{\alpha}}$

${\displaystyle w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{n},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1.}$

すると、ブリトンの補題は次のように述べられる。

ブリトンの 補題。G ∗ _{αにおいて}w = 1ならば

• いずれかであり、Gではg ₀ = 1である${\displaystyle n=0}$
• または、あるi∈ {1, ..., n −1}に対して、次のいずれかが成立します。${\displaystyle n>0}$

1. ε _i = 1, ε _{i +1} = −1, g _i ∈ H ,
2. ε _i = −1、ε _{i +1} = 1、g _i ∈ K。

対偶的に言えば、ブリトンの補題は次の形になります。

ブリトンの補題 （別の形式）。wが

• かつg ₀ ≠ 1 ∈ G、${\displaystyle n=0}$
• または 、積wには、 h∈Hの場合にはtht ^−1の形式、 k∈Kの場合にはt ⁻ 1ktの形式の部分文字列は含まれない。${\displaystyle n>0}$

その後、。${\displaystyle w\neq 1}$${\displaystyle G*_{\alpha}}$

HNN 拡張の最も基本的な特性は、ブリトンの補題から得られます。その結果には、次の事実が含まれます。

• Gからへの自然準同型は単射なので、 はG を部分群として含むと考えることができます。${\displaystyle G*_{\alpha}}$${\displaystyle G*_{\alpha}}$
• における有限位数のすべての元はGの元と共役である。${\displaystyle G*_{\alpha}}$
• のすべての有限部分群はGの有限部分群と共役です。${\displaystyle G*_{\alpha}}$
• に、任意の整数 に対しても にも にも含まれないような元が含まれている場合、には階数 2 の自由群と同型な部分群が含まれています。${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{k}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle G*_{\alpha}}$

代数的位相幾何学に適用すると、HNN 拡張は、写像f : X → Xによってそれ自体に「接着」された位相空間Xの基本群を構成する(たとえば、円上の曲面バンドルを参照)。したがって、HNN 拡張は、ザイフェルト-ファン・カンペンの定理のように、連結された共通部分空間に沿って接着された2 つの空間XとYに対して、融合を伴う自由積が行うのと同じ方法で、自己接着空間の基本群を記述する。HNN 拡張は、融合された自由積の自然な類似物であり、交差が連結されていない場合の和集合の基本群を決定する際に使用される。^[3]これらの 2 つの構成により、任意の合理的な幾何学的接着の基本群を記述できる。これは、グループのグラフの基本グループを構成する、ツリーに作用するグループのBass-Serre 理論に一般化される。^{[4] [5]}

HNN 拡張は、すべての有限生成再帰提示群は有限提示群に準同型に埋め込むことができるというHigman 埋め込み定理の Higman の証明において重要な役割を果たします。アルゴリズム的に決定不可能な単語問題を持つ有限提示群の存在に関するNovikov-Boone 定理の最近の証明のほとんども、実質的に HNN 拡張を使用しています。

HNN 拡張の考え方は、リー代数理論を含む抽象代数の他の部分にも拡張されています。

• グループ拡張