手術の正確な手順

数学的 外科理論において、外科正確列は、次元のコンパクト多様体の外科構造集合を計算するための主要な技術的ツールである。コンパクト- 次元多様体の外科構造集合は、 - 次元多様体を のホモトピー型内に分類する尖端集合である。 ${\displaystyle >4}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

基本的な考え方は、計算するためには、シーケンス内の他の項を理解していれば十分であり、通常は決定が容易であるということです。これらは一方では、一般化されたコホモロジー群を形成する通常の不変量であり、したがって、少なくとも原理的には、代数位相幾何学の標準的なツールを使用して計算できます。他方では、二次形式または二次構造を持つ連鎖複合体に関して代数的に定義されるL グループがあります。これらのグループについては多くのことが知られています。シーケンスの別の部分は、通常の不変量から L グループへの手術障害マップです。これらのマップには、場合によっては計算を可能にする特定の特性クラスの式があります。これら 3 つのコンポーネント、つまり通常のマップ、L グループ、手術障害マップの知識があれば、構造セットを決定するのに十分です (少なくとも拡張問題まで)。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$

実際には、ケースごとに進めなければなりません。各多様体について、手術の正確なシーケンスを決定するのは固有のタスクです。以下の例を参照してください。また、作業する多様体のカテゴリ（滑らかな（DIFF）、PL、または位相多様体）と、ホワイトヘッドねじれを考慮するかどうか（装飾または）に応じて、手術の正確なシーケンスのバージョンがあることにも注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {}}X}$${\displaystyle s}$${\displaystyle h}$

1962 年にBrowderとNovikovが行った、単連結ホモトピー型内の多様体の存在と一意性に関するオリジナルの研究は、1966 年にSullivanによって手術完全列として再定式化されました。1970 年にWall は、任意の基本群を持つ多様体に対する非単連結手術理論と手術完全列を開発しました。

手術の正確な手順は次のように定義されます

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$

どこ：

要素と要素は正規不変量のアーベル群であり、 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

要素と は群環に関連付けられたL群であり、 ${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$

地図と手術の障害マップです。 ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }(X\times I)\to L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$

矢印については以下で説明します。 ${\displaystyle \partial \colon L_{n+1}(\pi _{1}(X))\to {\mathcal {S}}(X)}$${\displaystyle \eta \colon {\mathcal {S}}(X)\to {\mathcal {N}}(X)}$

手術の正確なシーケンスにはさまざまなバージョンがあります。微分可能 (滑らか)、PL、位相的の 3 つのカテゴリの多様体のいずれかで作業できます。別の可能性としては、装飾またはで作業することです。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle h}$

次数 1 の正規写像は、次のデータから構成されます。次元の有向閉多様体、次数 1 の写像(つまり)、およびの安定接バンドルから上のあるバンドルへのバンドル写像です。このような 2 つの写像は、それらの間に正規ボルディズム (つまり適切なバンドル データによってカバーされるソースのボルディズム) が存在する場合に同値です。次数 1 の正規写像の同値類は正規不変量と呼ばれます。 ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{*}([M])=[X]}$${\displaystyle b\colon TM\oplus \varepsilon ^{k}\to \xi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X}$

このように定義すると、通常の不変量は、基点が で与えられる単なる尖った集合になります。しかし、ポントリャギン・トム構成はアーベル群の構造を与えます。実際、非自然な一対一があります。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$${\displaystyle (id,id)}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)\cong [X,G/O]}$

ここで、 は写像 のホモトピーファイバーを表します。これは無限ループ空間であり、したがってそれに写像することで一般化されたコホモロジー理論が定義されます。PL多様体を扱う場合は との正規不変量の同一視が、位相多様体を扱う場合は との正規不変量の同一視がそれぞれ存在します。 ${\displaystyle G/O}$${\displaystyle J\colon BO\to BG}$${\displaystyle [X,G/PL]}$${\displaystyle [X,G/TOP]}$

-群は、二次形式または二次構造を持つ連鎖複合体の観点から代数的に定義されます。詳細については、メインの記事を参照してください。ここでは、以下に説明する L 群の特性のみが重要になります。 ${\displaystyle L}$

この写像は、まず第一に集合論的な写像（必ずしも準同型ではないことを意味する）であり、次の性質を持つ（ の場合： ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$${\displaystyle n\geq 5}$

次数 1 の正規写像がホモトピー同値と一致するのは、内の画像が次の場合のみです。 ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$${\displaystyle \theta (f,b)=0}$${\displaystyle L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

任意のホモトピー同値性は、次数 1 の正規マップを定義します。 ${\displaystyle f\colon M\to X}$

この矢印は、実際には単なる写像ではなく、集合に対する群の作用を記述します。定義は、次のように記述される - 群 の要素の実現定理に基づいています。${\displaystyle L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$${\displaystyle L}$

を次元多様体とし、とする。すると、境界を持つ多様体の次数1の正規写像が存在する。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(X)}$${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$

${\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (M\times I,M\times 0,M\times 1)}$

次のプロパティがあります:

1.${\displaystyle \theta (F,B)=x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$

2.は微分同相写像である ${\displaystyle F_{0}\colon M\to M\times 0}$

3.閉多様体のホモトピー同値である ${\displaystyle F_{1}\colon M'\to M\times 1}$

が の要素を表すものとし、とします。するとは として定義されます。 ${\displaystyle f\colon M\to X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$${\displaystyle x\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$${\displaystyle \partial (f,x)}$${\displaystyle f\circ F_{1}\colon M'\to X}$

手術構造セットは単なる尖ったセットであり、手術障害マップは準同型ではない可能性があることを思い出してください。したがって、「正確なシーケンス」について話すときに何を意味するのかを説明する必要があります。したがって、手術の正確なシーケンスは、次の意味で正確なシーケンスです。 ${\displaystyle \theta }$

通常の不変量に​​対して、が成り立つのは、 の場合に限ります。2つの多様体構造に対して、が存在する場合に限ります。要素に対して、が成り立つのは、 が存在する場合に限ります。 ${\displaystyle z\in {\mathcal {N}}(X)}$${\displaystyle z\in \mathrm {Im} (\eta )}$${\displaystyle \theta (z)=0}$${\displaystyle x_{1},x_{2}\in {\mathcal {S}}(X)}$${\displaystyle \eta (x_{1})=\eta (x_{2})}$${\displaystyle u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$${\displaystyle \partial (u,x_{1})=x_{2}}$${\displaystyle u\in L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$${\displaystyle \partial (u,\mathrm {id} )=\mathrm {id} }$${\displaystyle u\in \mathrm {Im} (\theta )}$

位相的カテゴリでは、手術障害写像は準同型にすることができます。これは、ここで説明されているように、通常の不変量に​​代替アーベル群構造を置くことによって実現されます。さらに、手術完全列は、定義によりアーベル群の完全列であるラニツキの代数手術完全列と同一視できます。これにより、構造セットにアーベル群の構造が与えられます。ただし、このアーベル群構造の満足のいく幾何学的記述は、現在まで存在しないことに注意してください。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$

手術理論の構成上の質問に対する答えは、手術の正確な順序という観点から定式化できます。どちらの場合も、答えは 2 段階の閉塞理論の形で与えられます。

存在問題。を有限ポアンカレ複体とします。次の 2 つの条件が満たされる場合のみ、 は多様体とホモトピー同値です。まず、はスピヴァック正規ファイバのベクトル束縮小を持つ必要があります。この条件は、正規不変量の集合が空でないと述べることでも定式化できます。次に、となる正規不変量が存在する必要があります。同様に、手術妨害マップは に当たります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$${\displaystyle x\in {\mathcal {N}}(X)}$${\displaystyle \theta (x)=0}$${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\rightarrow L_{n}(\pi _{1}(X))}$${\displaystyle 0\in L_{n}(\pi _{1}(X))}$

一意性の質問。と が手術構造セットの 2 つの要素を表すものとします。これらが同じ要素を表すかどうかという質問には、次の 2 段階で回答できます。まず、とによって誘導される次数 1 の正規写像の間には正規コボルディズムが存在しなければなりません。これは、においてを意味します。正規コボルディズム を表します。における手術の障害により、この正規コボルディズムが境界を基準としたh-コボルディズム(またはs-コボルディズム) に変化した場合、 と は実際に手術構造セットの同じ要素を表します。 ${\displaystyle f\colon M\to X}$${\displaystyle f'\colon M'\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {}}f}$${\displaystyle {\mathcal {}}f'}$${\displaystyle {\mathcal {}}\eta (f)=\eta (f')}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(X)}$${\displaystyle (F,B)\colon (W,M,M')\to (X\times I,X\times 0,X\times 1)}$${\displaystyle {\mathcal {}}\theta (F,B)}$${\displaystyle {\mathcal {}}L_{n+1}(\pi _{1}(X))}$${\displaystyle {\mathcal {}}f}$${\displaystyle {\mathcal {}}f'}$

フランク・クインはブラウダーの指導の下で執筆した論文の中で、ファイバーシーケンスを導入し、手術長完全シーケンスがホモトピー群上の誘導シーケンスになるようにした。^[1]

これはスムーズなカテゴリの例です。 ${\displaystyle n\geq 5}$

手術の正確な順序というアイデアは、ホモトピー球面の群に関するケルヴェアとミルナーの原著論文にすでに暗黙的に存在していた。現在の用語では、

${\displaystyle {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})=\Theta ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n})=\Omega _{n}^{alm}}$ほぼ枠付き多様体のコボルディズム群、${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)=\Omega _{n+1}^{alm}}$

${\displaystyle L_{n}(1)=\mathbb {Z} ,0,\mathbb {Z} _{2},0}$ここでmod （L群の-周期性を思い出してください） ${\displaystyle n\equiv 0,1,2,3}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 4}$

この場合の手術の完全列はアーベル群の完全列である。上記の識別に加えて、

${\displaystyle bP^{n+1}=\mathrm {ker} (\eta \colon {\mathcal {S}}^{DIFF}(S^{n})\to {\mathcal {N}}^{DIFF}(S^{n}))=\mathrm {coker} (\theta \colon {\mathcal {N}}_{\partial }^{DIFF}(S^{n}\times I)\to L_{n+1}(1))}$

奇数次元の L 群は自明なので、次の正確なシーケンスが得られます。

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i}\to \Omega _{4i}^{alm}\to \mathbb {Z} \to bP^{4i}\to 0}$

${\displaystyle 0\to \Theta ^{4i-2}\to \Omega _{4i-2}^{alm}\to \mathbb {Z} /2\to bP^{4i-2}\to 0}$

${\displaystyle 0\to bP^{2j}\to \Theta ^{2j-1}\to \Omega _{2j-1}^{alm}\to 0}$

Kervaire と Milnor の結果は、最初の 2 つのシーケンスの中間のマップを研究し、グループを安定ホモトピー理論に関連付けることによって得られます。 ${\displaystyle \Omega _{i}^{alm}}$

次元における一般化されたポアンカレ予想は、 と表現できる。これは、スメール、フリードマン、ペレルマンの研究によって、任意の に対して証明されている。位相的カテゴリにおけるに対するの正確な順序から、次のことがわかる。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{TOP}(S^{n})=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle n\geq 5}$

${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}^{TOP}(S^{n})\to L_{n}(1)}$

同型です。(実際、これはいくつかのアドホックな方法で拡張できます。) ${\displaystyle n\geq 1}$

複素射影空間は次元位相多様体であり、 である。さらに、位相カテゴリの場合、手術障害マップは常に射影的であることが知られている。したがって、 ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$${\displaystyle (2n)}$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} P^{n})=1}$${\displaystyle \pi _{1}(X)=1}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {S}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to {\mathcal {N}}^{TOP}(\mathbb {C} P^{n})\to L_{2n}(1)\to 0}$

サリバンの研究から計算すると

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor (n+1)/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$そしてそれゆえ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {C} P^{n})\cong \oplus _{i=1}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\mathbb {Z} \oplus \oplus _{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor }\mathbb {Z} _{2}}$

非球面次元多様体とは、に対してとなる -多様体である。したがって、唯一の非自明なホモトピー群は${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi _{i}(X)=0}$${\displaystyle i\geq 2}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

ボレル予想を述べる一つの方法は、ホワイトヘッド群が自明であり、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Wh(\pi _{1}(X))}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}(X)=0}$

この予想は、多くの特殊なケース、例えば のとき、それが負に曲がった多様体の基本群であるとき、それが語双曲群または CAT(0) 群であるときなどで証明されました。 ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

このステートメントは、手術構造セットの右側の手術障害マップが単射であり、手術構造セットの左側の手術障害マップが全射であることを示すことと同等です。上記の結果の証明のほとんどは、これらのマップを調べるか、それらを識別できるアセンブリマップを調べることによって行われます。詳細については、ボレル予想、ファレル-ジョーンズ予想を参照してください。

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• ラニッキ、アンドリュー (1992)、「代数的 L 理論と位相多様体(PDF) 」、ケンブリッジ数学論文集、第 102 巻、ケンブリッジ大学出版局
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• Wall, CTC (1999)、「コンパクト多様体の手術」、数学調査とモノグラフ、第69巻（第2版）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0942-6、MR  1687388