ロープを燃やすパズル

レクリエーション数学において、ロープ燃焼パズルは、一定時間燃えるロープ、導火線、または靴ひもと、それらを燃やすマッチが与えられ、それらを使用して非単位時間を測定しなければならない数学パズルの一種です。可溶数は、このように測定できる時間量として定義されます。

これらのパズルは娯楽としてだけでなく、就職面接で候補者の問題解決能力をテストするために出題されることもあり、^[1]中学生の数学の学習課題として提案されてきました。^[2]

この問題の一般的な単純なバージョンでは、それぞれ 1 分間燃える導火線 2 本だけを使用して 45 秒の時間を測定することが求められます。この問題の前提は通常、導火線の長さの 3/4 を測って端から端まで燃えてしまうことを防ぐように指定されます。たとえば、導火線は長さに沿って不均一に燃えると述べるなどです。^{[1] [2] [3] [4]}

この問題の解決策の1つは、次の手順を実行することです。^[3]

• 最初のヒューズの一方の端と、2 番目のヒューズの両端に火をつけます。
• 2 番目のヒューズが切れてから 30 秒が経過し、1 番目のヒューズの燃焼時間は 30 秒残っています。1 番目のヒューズのもう一方の端に火をつけます。
• 最初のヒューズが切れると、45 秒が経過します。

他にも多くのバリエーションが可能であり、場合によっては、互いに異なる時間だけ燃える導火線を使用する。^[5]

この問題の一般的なバージョンでは、各ヒューズの持続時間は単位時間で、解法で使用または許可される操作は、解法の開始時または別のヒューズが切れる時間として決定される既知の時間にヒューズの片側または両側に火をつけることだけです。ヒューズの片側だけが時間に点灯している場合、ヒューズは時間に切れます。ヒューズの両端が時間におよびに点灯している場合、ヒューズは時間に切れます。これは、 の一部が元の速度で燃え、 の残りの部分が元の速度の 2 倍で燃えるためです。したがって、ヒューズは に燃えます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x+y+1)/2}$${\displaystyle yx}$${\displaystyle 1-(yx)}$

${\displaystyle x+(yx)+[1-(yx)]/2=(x+y+1)/2}$。

ある数が可溶数であるとは、単位時間ヒューズを使ってこれらの演算のみで時間の単位を測定できる場合である。例えば、例題の解によれば、は可溶数である。^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

一般性を失うことなく、時刻に片方の端だけに火がつく導火線を、時刻に両端に火がつく最初の導火線と、時刻 1 つ目の導火線が切れたときに時刻 2 つ目の導火線に置き換えることで、すべての導火線が両端に火がつくと仮定することができます。このようにして、可溶数は、既に得られている のペアに操作 を繰り返し適用することで数 から得られる数の集合として定義できます。^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1/2}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x,y\mapsto (x+y+1)/2}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle |xy|<1}$

可融数には、負でない整数がすべて含まれ、 は二項有理数、つまり分母が2 の累乗である分数の整然とした部分集合です。整然としているとは、可融数の減少するシーケンスを選択した場合、シーケンスは常に有限でなければならないことを意味します。整然とした集合の中で、それらの順序は、イプシロン数（無限順序数の特殊なケース）として分類できます。整然としているため、各整数に対して、より大きい可融数の中で一意の最小の可融数があります。これは、ある に対して の形を持ちます。^[7]この数はの関数として非常に急速に増加し、非常に急速に に対しては（大きな数に対するクヌースの上矢印表記法で） よりも大きくなっています。^[8]この数 が各 に対して存在することは、ペアノ算術では証明できません。^[7]${\displaystyle \varepsilon_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1/2^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle 2\uparrow ^{9}16}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

導火線パズルのルールを、導火線の両端よりも多くの点に火がつくように解釈すれば、より長い時間を測定することができる。例えば、導火線が燃えている間、常に 3 つの端が燃えているような方法で火がつくと (例えば、中央の 1 つの点と端に火がつき、現在燃えている点の 1 つまたは 2 つが燃え尽きるたびに、別の端または中央の別の点に火がつく)、導火線は 1 単位時間ではなく 1/3 単位時間燃えることになる。与えられた時間を単位分数の合計として表し、複数の点が燃えている導火線を単位分数ごとに連続して燃やしていくと、任意の有理数の単位時間を測定することができる。しかし、1 つの導火線であっても、必要な数の炎を灯し続けるには、無限の数の再点火ステップが必要になる可能性がある。^[4]

与えられた有理数を単位分数の和として表す問題は、異なる単位分数の和であるエジプト分数の構築と密接に関連している。しかし、導火線燃焼問題では分数が互いに異なる必要はない。エジプト分数の既知の方法を使用すると、で分数の時間 を測定するには、導火線（大文字の O 表記で表される）のみが必要であることが証明できる。 ^[9]ポール・エルデシュのエジプト分数に関する未証明の予想は、より少ない導火線 で常に十分であることを示唆している。^[10]${\displaystyle x/y}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle O({\sqrt {\log y}})}$${\displaystyle O(\log \log y)}$

ディック・ヘスが1998年のギャザリング4ガードナー会議のために作成した、これらのパズルに関する小冊子「靴ひも時計パズル」の中で、ヘスはハーバード大学の統計学者カール・モリスをこれらのパズルの元の情報源として挙げています。^[4]

• 水注ぎパズル、測定の組み合わせを伴う別の種類のパズル