分解不可能な連続体

点集合位相において、分解不可能な連続体とは、分解不可能な連続体、すなわち、その固有部分連続体のいずれ2つを和集合として表すことができない連続体のことである。1910年、LEJ Brouwerが初めて分解不可能な連続体を記述した。

分解不可能な連続体は、位相幾何学者によって反例の源として用いられてきた。また、力学系にも現れる。

連続体${\displaystyle C}$は空でないコンパクトな連結距離空間です。弧、n次元球面、ヒルベルト立方体は経路連結連続体の例です。位相幾何学者の正弦曲線は経路連結ではない連続体の例です。ワルシャワ円は、局所的に経路連結ではない経路連結連続体です。部分連続体${\displaystyle C'}$連続体の${\displaystyle C}$は、の閉じた連結部分集合である。${\displaystyle C}$空間が非退化であるとは、それが一点に等しくない場合をいう。連続体${\displaystyle C}$2 つのサブ連続体が存在する場合、分解可能である。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$の${\displaystyle C}$そのため${\displaystyle A\neq C}$そして${\displaystyle B\neq C}$しかし${\displaystyle A\cup B=C}$したがって、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$非退化である。分解できない連続体は、分解不可能な連続体である。連続体は${\displaystyle C}$すべての部分連続体が分解不可能である連続体は、遺伝的に分解不可能であると言われる。分解不可能な連続体の構成要素は、${\displaystyle C}$は、任意の 2 点が何らかの適切な部分連続体内に含まれるような最大集合である。${\displaystyle C}$連続体${\displaystyle C}$還元不可能な${\displaystyle c}$そして${\displaystyle c'}$もし ${\displaystyle c,c'\in C}$そして、どちらの点も含む真の部分連続体は存在しない。非退化分解不可能な計量連続体の場合${\displaystyle X}$非可算部分集合が存在する${\displaystyle J}$そのため${\displaystyle X}$は、任意の 2 つの点の間で既約です。${\displaystyle J}$[ ^{1 ]​}

1910年、LEJ Brouwerは分解不可能な連続体を記述し、 Arthur Moritz Schoenfliesが立てた予想を否定した。${\displaystyle X_{1}}$そして${\displaystyle X_{2}}$は、開いた、連結した、互いに素な集合である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$そのため${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$、 それから${\displaystyle \partial X_{1}=\partial X_{2}}$2 つの閉じた連結な真部分集合の和集合でなければならない。^{[ 2 ]}ジグムント・ヤニシェフスキは、バケツの取っ手のバージョンを含む、このような分解不可能な連続体をさらに記述した。しかし、ヤニシェフスキはこれらの連続体の既約性に焦点を当てた。1917 年、米山邦三は、共通境界が分解不可能な和田湖(和田武雄にちなんで命名)を記述した。1920 年代には、ワルシャワ数学学派がFundamenta Mathematicaeにおいて、分解不可能な連続体を病理的な反例としてではなく、それ自体として研究し始めた。ステファン・マズルキェヴィチは、分解不可能性の定義を最初に与えた人物である。1922 年、ブロニスワフ・クナスターは、遺伝的に分解不可能な連続体の最初の例である擬似弧を記述した。 ^{[ 3 ]}

分解不可能な連続体は、入れ子になった交点列の極限として、あるいは（より一般的には）連続体の列の逆極限として構成されることが多い。バケットハンドル、すなわちブロウワー・ヤニシェフスキ・クナスター連続体は、分解不可能な連続体の最も単純な例とみなされることが多く、そのように構成することができる（右上を参照）。あるいは、カントール三項集合を考えてみよう。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$区間に投影${\displaystyle [0,1]}$の${\displaystyle x}$平面内の軸。${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$上の半円のファミリー${\displaystyle x}$中心軸${\displaystyle (1/2,0)}$エンドポイントは${\displaystyle {\mathcal {C}}}$（この点に関して対称である）。${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}}$下の半円のファミリーは${\displaystyle x}$区間の中点を中心とする軸${\displaystyle [2/3,1]}$エンドポイントは${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3,1]}$。 させて${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$下の半円のファミリーは${\displaystyle x}$区間の中点を中心とする軸${\displaystyle [2/3^{i},3/3^{i}]}$エンドポイントは${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap [2/3^{i},3/3^{i}]}$すると、そのようなすべてのものの結合${\displaystyle {\mathcal {C}}_{i}}$バケツの取っ手です。^{[ 4 ]}

バケットハンドルにはボレル横断線が存在しない、つまり、各構成要素からちょうど１点ずつを含むボレル集合は存在しない。

ある意味では、「ほとんどの」連続体は分解不可能である。${\displaystyle M}$になる${\displaystyle n}$メトリック付きセル${\displaystyle d}$、${\displaystyle 2^{M}}$空でない閉部分集合の集合${\displaystyle M}$、 そして${\displaystyle C(M)}$すべての接続されたメンバーのハイパースペース${\displaystyle 2^{M}}$ハウスドルフ計量器を装備${\displaystyle H_{d}}$定義される${\displaystyle H_{d}(A,B)=\max\{\sup\{d(a,B):a\in A\},\sup\{d(b,A):b\in B\}\}}$すると、非退化分解不可能な部分連続体の集合は${\displaystyle M}$密度が高い${\displaystyle C(M)}$。

1932年、ジョージ・バーコフは、不変連続体を含む環状領域の同相写像である「注目すべき閉曲線」について記述した。マリー・シャルパンティエはこの連続体が分解不可能であることを示し、分解不可能な連続体から力学系への最初のつながりを示した。あるスメールの馬蹄形写像の不変集合はバケツの取っ手である。マーシー・バージらは、力学系における分解不可能な連続体を広範囲に研究してきた。^{[ 5 ]}

• 分解不可能性（構成的数学）
• 和田湖群は、境界が分解不可能な連続体である平面の3つの開部分集合である。
• ソレノイド
• シェルピンスキーのカーペット

• Solecki, S. (2002). 「トポロジーにおける記述的集合論」. Hušek, M.、van Mill, J. (編)『一般トポロジーの最近の進歩 II』 . Elsevier. pp. 506–508 . ISBN  978-0-444-50980-2。
• カッセルマン、ビル（2014）、「表紙について」（PDF）、AMS通知、61：610、676ブロウワーが描いた、雑誌の表紙に掲載されている分解不可能な連続体の図について解説する。