オーバーリング

数学では、積分域の過剰環は積分域を含み、積分域の分数体は過剰環を含みます。過剰環は、さまざまな種類の環と域の理解を深めるのに役立ちます。

この記事では、すべての環は可換環であり、環とオーバーリングは同じ単位元を共有します。

が整域の分数体を表すとします。環 は、が の部分環であり、 が分数体 の部分環である場合に、整域の過剰環となります。^{[1] : 167}関係は です。^{[2] : 373}${\textstyle Q(A)}$${\textstyle A}$${\textstyle B}$${\textstyle A}$${\textstyle A}$${\textstyle B}$${\textstyle B}$${\textstyle Q(A)}$${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$

環は、乗法集合による環の分数の環である。^{[3] : 46 が}の重複環であり、 がの重複集合であると 仮定する。環はの重複環である。 のすべての非単位元が零因子である場合、 環はの分数の全体環である。 ^{[4] : 52–53}に含まれる のすべての重複環は環であり、は の重複環である。^{[4] : 52–53 が}で整閉である場合、 環はで整閉である。^{[4] : 52–53}${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$${\textstyle R,S,T}$ ${\textstyle A}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle A}$${\textstyle R}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle R_{A}}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle R_{A}}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle R_{A}}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle S_{A}}$${\textstyle S}$${\textstyle R}$${\textstyle R_{A}}$${\textstyle T_{A}}$${\textstyle R}$${\textstyle T}$

ネーター環は、3つの同値な有限性条件i) すべてのイデアルの上昇連鎖は有限であること、ii) すべての空でないイデアル族は最大元を持つこと、iii) すべてのイデアルは有限の基底を持つことを満たす。^{[3] : 199}

整域はデデキント域であるとは、その域のすべてのイデアルが素イデアルの有限積であるときである。^{[3] : 270}

環の制限次元は、正則元を含むすべての素イデアルの階数の中で最大の階数である。 ^{[4] : 52}

環が局所的に冪零でないとは、最大イデアルを持つすべての環が冪零元を持たないか、すべての非単位元が零因子である環のことである。^{[4] : 52}${\textstyle R}$ ${\textstyle R_{M}}$ ${\textstyle M}$

アフィン環は体上の多項式環の準同型 像である。^{[4] : 58}

デデキント リングのすべてのオーバーリングはデデキント リングです。^{[5] [6]}

非単位元がすべて零因子である環の直和のすべての重ね合わせはネーター環である。 ^{[4] : 53}

クルル1次元ネーター整域のすべての過剰環はネーター環である。 ^{[4] : 53}

これらの命題は整閉包を持つネーター環に対して同値である。^{[4] : 57}${\textstyle R}$${\textstyle {\bar {R}}}$

• のすべての超環はネーター環である。${\textstyle R}$
• の各極大イデアルに対して、 の各過剰環はネーター環となる。${\textstyle M}$${\textstyle R}$${\textstyle R_{M}}$
• リングは、次元が 1 以下に制限された局所冪零自由です。${\textstyle R}$
• 環はネーターであり、環の次元は 1 以下に制限されます。${\textstyle {\bar {R}}}$${\textstyle R}$
• のすべての多重環は整閉環である。${\textstyle {\bar {R}}}$

これらのステートメントは、整閉包を持つアフィン環に対して同値である。^{[4] : 58}${\textstyle R}$${\textstyle {\bar {R}}}$

• リングは局所的に冪零でない。${\textstyle R}$
• リングは有限モジュールです。${\textstyle {\bar {R}}}$${\textstyle \operatorname {R-} }$
• 環はネーター環です。${\textstyle {\bar {R}}}$

整閉局所環とは、非単位元がすべて零因子である整域または環である。^{[4] : 58}${\textstyle R}$

ネーター環のすべての上環が整閉環であるとき、そのネーター積分域はデデキント環となる。^{[7] : 198}

ネーター積分域の任意のオーバーリングは、ネーター積分域が捩れ類群を持つデデキント環である場合に分数環となる。^{[7] : 200}

連接環とは、有限生成イデアルが有限提示される可換環のことである。^{[2] : 373} ネーター領域とプリューファー領域は連接である。^{[8] : 137}

ペアは を超える積分領域拡張を示す。^{[9] : 331}${\textstyle (R,T)}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$

環は、が の部分域であり、がの部分域である場合に、ペアの中間域である。^{[9] : 331}${\textstyle S}$${\textstyle (R,T)}$${\textstyle R}$${\textstyle S}$${\textstyle S}$${\textstyle T}$

ネーター環のクルル次元は、すべてのオーバーリングがコヒーレントである場合に1以下である。^{[2] : 373}

整域ペア に対して、各中間整域が 内で整閉であるとき、は の多重環となる。^{[9] : 332  [10] : 175}${\textstyle (R,T)}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle T}$

の整閉包は、 の各適切な多重環がコヒーレントであるとき、プリューファー領域となる。^{[8] : 137}${\textstyle R}$${\textstyle R}$

プリューファー整域とクルル1次元ネーター整域のオーバーリングはコヒーレントである。^{[8] : 138}

環がQR 特性を持つとは、すべての上環が乗法集合を持つ局所化であることを意味する。^{[11] : 196} QR 領域はプリューファー領域である。 [11] ^{: 196} 捩れピカール群を持つプリューファー領域はQR 領域である。 [ ^{11 ] : 196} プリューファー領域が QR 領域であるのは、すべての有限生成イデアルの根基が主イデアルによって生成される根基に等しいことを意味する。^{[12] : 500}

プリュファードメインのステートメントは次と同等である：^{[13] ：56}${\textstyle R}$

• の各オーバーリングはの局所化の共通部分 であり、整閉である。${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$
• の各過剰環は の分数の環の共通部分であり、整閉環です。${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$
• の各オーバーリングは、 の素イデアルの拡張である素イデアルを持ち、整閉です。${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$
• の各オーバーリングは、 の任意の素イデアル上に位置する素イデアルを最大で1つ持ち、整閉である。${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$
• の各オーバーリングは 整的に閉じています。${\textstyle R}$
• の各オーバーリングは 首尾一貫しています。${\textstyle R}$

プリュファードメインという文は次と同等である: ^{[1] : 167}${\textstyle R}$

• の各オーバーリングはモジュールとして平坦です。$S$${\textstyle R}$${\displaystyle \operatorname {S-} }$
• の各評価環は分数の環です。${\textstyle R}$

極小環準同型は 、入射的非射影準同型であり、準同型が準同型の合成である場合、またはは同型である。^{[14] ：461}${\textstyle f}$${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle h}$${\textstyle g}$${\textstyle h}$

部分環の適切な極小環拡大は、 部分環の への環包含が極小環準同型である場合に生じる。これは、環ペアに適切な中間環が存在しないことを意味する。^{[15] : 186}${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle T}$${\textstyle (R,T)}$

環の最小のオーバーリングは 、環が部分環として含まれ、環のペアが適切な中間環を持たない場合に発生します。 ^{[16] : 60}${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle (R,T)}$

積分領域に関するイデアルのカプランスキーイデアル変換（ヘイズ変換、S変換）は分数体の部分集合である。この部分集合には、イデアルの各元に対して積が積分領域に含まれる正の整数が存在するような元が含まれる。^{[17] [16] : 60}${\textstyle I}$${\textstyle R}$${\textstyle Q(R)}$${\textstyle x}$${\textstyle y}$${\textstyle I}$${\textstyle n}$${\textstyle x\cdot y^{n}}$${\textstyle R}$

が体でない場合、領域の最小環拡大から生成される任意の領域は の多重環である。 ^{[17] [15] : 186}${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$

が体でないとき、の分数体にはの最小重複が含まれる。 ^{[16] : 60}${\textstyle R}$${\textstyle T}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$

整閉積分域が体ではないと仮定すると、積分域の極小の多重環が存在する場合、この極小の多重環は の最大イデアルのカプランスキー変換として発生する。^{[16] : 60}${\textstyle R}$${\textstyle R}$${\textstyle R}$

ベズー整域はプリューファー域の一種である。ベズー域の定義的性質は、すべての有限生成イデアルが主イデアルであるということである。ベズー域はプリューファー域の全ての優位性を共有する。^{[1] : 168}

整数環はプリューファー環であり、すべての上環は商の環である。^{[7] : 196} 二項有理数は分子が整数で分母が2のべき乗である分数である。二項有理数環は整数を2のべき乗で局所化したものおよび整数環の上環である。