ユニタル（幾何学）

^幾何学において、ユニットとは、 n + 1^個の点からなる集合を、その集合の異なる点の各組がちょうど 1 つの部分集合に含まれるように、サイズn + 1の部分集合に並べたものである。[a]これは、ユニットが 2-( n ³ + 1, n + 1, 1)ブロック設計であると言うことと同等である。一部のユニットは、次数n ^2の射影平面に埋め込まれることがある(設計の部分集合は、射影平面内の共線上の点の集合になる)。埋め込まれたユニットのこの場合には、平面のすべての線は、1 点またはn + 1 点でユニットと交差する。デザルグ平面PG(2, q ^{2 ) では、ユニットの古典的な例は、非退化エルミート曲線で与えられる。非古典的な例も多数ある。素数でないべきパラメータ}n = 6を持つ最初で唯一の既知のユニットは、Bhaskar Bagchi と Sunanda Bagchi によって構築された。^{[1]この単位元が}36次の射影平面に埋め込めるかどうかは、もしそのような平面が存在するならば、まだ分かっていない。

射影幾何学で使用されるいくつかの用語を復習します。

射影幾何学の相関とは、その部分空間上の包含関係を逆転させる全単射である。特に、相関は点と超平面を交換する。^[2]

2 次相関は極性と呼ばれます。

極性は、その付随するセスクイリニア形式sと伴自己同型αが次式を満たす とき、ユニタリ極性と呼ばれる。

基になるベクトル空間のすべてのベクトルu、vについて、 s ( u、v ) = s ( v、u ) ^αです。

ある点が極性の下の自身の像の上にある場合、その点は極性の 絶対点と呼ばれます。

射影幾何学PG( d , F )のユニタリ極性の絶対点は、あるd≥2に対して非退化エルミート多様体であり、d = 2の場合にはこの多様体は非退化エルミート曲線と呼ばれる。^[3]

PG(2, q ² )において、ある素数冪qに対して、非退化エルミート曲線の点​​の集合は単位元を形成し、^[4]これは古典単位元と呼ばれる。

をある素数べきに対する非退化エルミート曲線とする。同じ平面上のすべての非退化エルミート曲線は射影的に同値であるため、同次座標で次のように記述できる: ^[5]${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(2,q^{2})}$${\displaystyle PG(2,q^{2})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{(x_{0},x_{1},x_{2})\colon x_{0}^{q+1}+x_{1}^{q+1}+x_{2}^{q+1}=0\}.}$$

リー群に基づく別のユニタル族は、H. リューネブルクによって構築されました。^[6] Γ = R( q ) を、q = 3 ^{2 m +1}である、位数 ( q ³ + 1) q ³ ( q − 1)の型² G ₂のリー群とします。P を、 Γ のすべてのq ³ + 1シロー 3 部分群の集合とします。 Γ は、共役によりこの集合に二重推移的に作用します(これらの部分群をΓ が作用している点と考えると便利です)。 Pの任意のSとTに対して、点ごとの安定化子Γ S _{, Tは}位数q - 1の巡回であり、したがって一意の反転μ を含みます。このような反転はそれぞれ、Pのq + 1 個の点を固定します。 Γ^はPに対して二重推移的に作用するので、これはパラメータ2-( q3 +1, q +1,1)を持つ2次元設計となり、リーユニタルと呼ばれる。 ^[7]

リューネブルクはまた、レー単位元は、自己同型群Γが平面の共線群によって誘導されるような、位数q ²の射影平面（デザルグかどうかは関係ない）に埋め込むことができないことを示した。 ^[8] q = 3の場合、グリューニング^[9]は、レー単位元は位数9の射影平面に埋め込むことができないことを証明した。^[10]

4 つの 9 次射影平面(デザルグ平面PG(2,9)、 9 次ホール平面、9 次双対ホール平面、9 次ヒューズ平面。 ^[b] )において、ペンティラとロイル^{[11]による徹底的なコンピュータ検索により、これらの 4 つの平面で}n = 3となる 18 個のユニット (同値まで) が見つかりました。PG(2,9) に 2 個 (両方とも Buekenhout)、ホール平面に 4 個(2 個は Buekenhout、2 個はそれ以外)、したがって双対ホール平面にさらに 4 個、ヒューズ平面に 8 個です。ただし、ホール平面の Buekenhout ユニットの 1 つは自己双対であるため^[12]、双対ホール平面で再びカウントされます。したがって、 n = 3の埋め込み可能なユニタルは17種類あります。一方、網羅的ではないコンピュータ検索では、n = 3のユニタルである相互に同型でないデザインが900種類以上見つかりました^。[13]

ユニットはブロック設計なので、2つのユニット間に設計同型性がある場合、つまりブロックをブロックにマッピングする点集合間の一対一性がある場合、2つのユニットは同型であると言われます。この概念は埋め込み可能性の特性を考慮していないため、埋め込み可能性を考慮すると、同じ周囲平面に埋め込まれた2つのユニットは、一方のユニットを他方のユニットにマッピングする平面の共線性がある場合に同等であると言えます。^[10]

^{ブーケンハウト[14]}は、ブルック/ボーズ模型の古典的単位系を調べることで、 2つの構成を提供し、これらを組み合わせることで、任意の有限2次元変換平面に埋め込まれた単位系が存在することを証明した。メッツ^[15]はその後、ブーケンハウトの構成の1つが、少なくとも9の平方位を持つすべての有限デザルグ平面で非古典的単位系を生み出すことを示した。これらのブーケンハウト-メッツ単位系は、広範囲に研究されてきた。^{[16] [17]}${\displaystyle PG(2,q^{2})}$

Buekenhout の構築における中核となるアイデアは、 にある高次元 Bruck/Bose モデルでを見ると、古典的な単位元が満たすエルミート曲線の方程式が の二次曲面、つまり Bruck/Bose モデルの広がりによって表される線が単位元と 1 点で交わる場合は 3 次元卵形上の点円錐、そうでない場合は非特異二次曲面になるというものです。これらのオブジェクトは の平面に関して既知の交差パターンを持つため、結果として得られる点集合は、二次曲面内の元の広がりと同じ線をすべて生成広がりに含める任意の変換平面内で単位元のままです。卵形円錐の場合、この強制交差は 1 本の線で構成され、任意の広がりをこの線を含む広がりにマッピングできるため、この形式のすべての変換平面に埋め込まれた単位元が含まれることがわかります。 ${\displaystyle PG(2,q^{2})}$${\displaystyle PG(4,q)}$${\displaystyle PG(4,q)}$${\displaystyle PG(4,q)}$

エルミート多様体は、ある意味では二次曲面の一般化であり、極性の理論において自然に現れます。

K を反転自己同型を持つ体とする。nを整数とし、V をK上の (n+1)次元ベクトル空間とする。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \geq 1}$

PG(V)のエルミート多様体Hは、 V上の 非自明なエルミート半直線形の等方点からなるベクトル線を表す点の集合です。

をVの基底とします。射影空間内の点p がこの基底に関して 同次座標を持つ場合、その点がエルミート多様体上にあるのは、次の場合のみです。${\displaystyle e_{0},e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle (X_{0},\ldots ,X_{n})}$

${\displaystyle \sum _{i,j=0}^{n}a_{ij}X_{i}X_{j}^{\theta }=0}$

どこもかしこもか${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}^{\theta }}$${\displaystyle a_{ij}=0}$

エルミート行列 Aを で構成すると、方程式は次のように簡潔に表すことができます。 ${\displaystyle A_{ij}=a_{ij}}$

${\displaystyle X^{t}AX^{\theta }=0}$

どこ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{0}\\X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{bmatrix}}.}$

p をエルミート多様体H上の点とします。pを通る直線L は、多様体の 1 つの点 ( p自体)のみを含むか、多様体上に完全に存在する場合、定義により接線となります。これらの直線が部分空間、つまり全空間の超平面を形成することを証明できます。後者の場合、点は特異です。