ギリシャ人（金融）

数理ファイナンスにおいて、ギリシャ語は、オプションなどのデリバティブ商品の価格が、金融商品またはポートフォリオの価値を左右する1つ以上の基礎パラメータの変化に対してどの程度敏感であるかを表す量（微積分学では偏微分、1次以上）である。最も一般的なこれらの感度はギリシャ文字で表わされるため、この名前が使われている（他の金融指標も同様）。これらは総称してリスク感度^[1]、リスク指標^{[2] 、}またはヘッジパラメータ^[3]とも呼ばれる。

ギリシャ指標はリスク管理において重要なツールです。各ギリシャ指標は、特定の基礎パラメータの小さな変化に対するポートフォリオの価値の感度を測定します。これにより、構成要素のリスクを個別に処理し、ポートフォリオをそれに応じて再調整して、望ましいエクスポージャーを達成することができます。たとえば、デルタ ヘッジを参照してください。

ブラック・ショールズ・モデル（特定の金融市場の比較的単純な理想化モデル）のギリシャ係数は計算が比較的容易で（金融 モデルの望ましい特性）、デリバティブ取引者、特に市場状況の悪化からポートフォリオをヘッジしようとするトレーダーにとって非常に有用である。このため、ヘッジに特に有用なデルタ、シータ、ベガなどのギリシャ係数は、スポット価格、時間、ボラティリティのパラメータの変化を測定するために明確に定義されている。ロー（リスクフリー金利に関する偏導関数）はブラック・ショールズ・モデルへの主要な入力であるが、リスクフリー金利の変化に対応する短期オプションの価値への全体的な影響は一般に重要ではなく、したがってリスクフリー金利を含む高次のデリバティブは一般的ではない。

最も一般的なギリシャ語は、デルタ、ベガ、シータ、ローの 1 次導関数と、値関数の 2 次導関数であるガンマです。このリストの残りの感度は一般的なので一般的な名前が付けられていますが、このリストがすべてを網羅しているわけではありません。

市場のプレーヤーは、毎日数十億ドル（ドル、ポンド、ユーロ）の原資産をめぐる競争的な取引を行っているため、正確な金額を把握することが重要です。実際には、ブラック・ショールズ・モデルやギリシャモデルで使用される単純化された仮定を超える、より洗練されたモデルが使用されます。

ギリシャ文字の名前の使用は、一般的な金融用語であるアルファとベータ、およびブラック・ショールズ・オプション価格設定モデルにおけるシグマ（対数収益の標準偏差）とタウ（満期までの時間）の使用から派生したものと思われます。「ベガ」（記号はギリシャ文字の小文字のヌに似ているため、この名前の使用は混乱を招く可能性があります）や「ゾンマ」など、いくつかの名前は考案されましたが、ギリシャ文字に似ています。「カラー」と「チャーム」という名前は、おそらく、これらの用語が素粒子物理学におけるクォークの珍しい特性に使用されたことに由来しています。

デルタ^[4] は、原資産価格の変化に対する理論的なオプション価値の変化率を測定する。デルタは、原資産価格に対するオプション価値の一次導関数である。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}}}$

バニラ オプションの場合、デルタは、ロングコール(またはショート プット) の場合は 0.0 から 1.0 の間の数値、ロングプット(またはショート コール) の場合は 0.0 から -1.0 の間の数値になります。価格に応じて、コール オプションは、原資産の株式を 1 株所有しているかのように動作します (ディープ イン ザ マネーの場合)、何も所有していないかのように動作します (ファー アウト オブ ザ マネーの場合)、またはその中間の何かであり、プット オプションの場合はその逆です。同じ行使価格のコールのデルタとプットのデルタの差は 1 です。プット - コール パリティにより、コールのロングとプットのショートは、スポットSで線形で係数が 1 であるフォワードFに相当し、導関数 dF/dS は 1 です。以下の式を参照してください。

これらの数字は、通常、オプション契約によって表される株式総数のパーセンテージとして提示されます。これは、オプションが（瞬時に）デルタで示される株式数のように動作するので便利です。たとえば、XYZ の 100 のアメリカン コール オプションのポートフォリオのデルタがそれぞれ 0.25（= 25%）である場合、価格がわずかに変動すると、XYZ の 2,500 株と同様に価値が増減します（100 のオプション契約で 10,000 株をカバーします）。符号とパーセンテージは省略されることがよくあります。符号はオプションの種類に暗黙的に含まれており（プットの場合は負、コールの場合は正）、パーセンテージは理解されます。最もよく引用されるのは、25 デルタ プット、50 デルタ プット/50 デルタ コール、および 25 デルタ コールです。50 デルタ プットと 50 デルタ コールは、スポットとフォワードが割引率によって異なるため、完全に同一ではありませんが、しばしば混同されます。

デルタは、コールの買いでは常にプラス、プットの買いでは常にマイナスです (ゼロでない限り)。同じ原資産のポジションの複雑なポートフォリオの合計デルタは、各ポジションのデルタの合計を単純に計算できます。ポートフォリオのデルタは構成要素に対して線形です。原資産のデルタは常に 1.0 なので、トレーダーは合計デルタで示される数の株式を購入または空売りすることで、原資産のポジション全体をデルタヘッジできます。たとえば、XYZ オプションのポートフォリオのデルタ (原資産の株式として表現) が +2.75 の場合、トレーダーは原資産の 2.75 株を空売りすることでポートフォリオをデルタヘッジできます。このポートフォリオは、XYZ の価格がどちらの方向に動いても、その合計値を維持します。 （原資産のわずかな動き、短期間、およびボラティリティやリスクフリー投資の収益率などの他の市場状況の変化にかかわらず）

デルタ（の絶対値）はオプションのパーセントマネーネス、つまりオプションがインザマネーで満期を迎える暗黙の確率（リスク中立測度で市場がブラウン運動する場合）に近いが、同一ではない。^[5]このため、オプショントレーダーの中にはデルタの絶対値をパーセントマネーネスの近似値として使用する人もいる。たとえば、アウトオブザマネーのコールオプションのデルタが0.15の場合、トレーダーはオプションがインザマネーで満期を迎える確率が約15%であると見積もるかもしれない。同様に、プット契約のデルタが-0.25の場合、トレーダーはオプションがインザマネーで満期を迎える確率が25%であると予想するかもしれない。アット・ザ・マネーのコールとプットのデルタはそれぞれ約0.5と-0.5ですが、ATMコールのデルタの方がわずかに高くなります。これはリスクフリーレートがデルタにいくらかの相殺をもたらすためです。満期時にオプションがイン・ザ・マネーになるマイナスの割引確率はデュアルデルタと呼ばれ、これはオプション価格の権利行使価格に対する一次導関数です。^[6]

同じ原資産、権利行使価格、満期までの期間、配当利回りのない欧州コール オプションとプット オプションの場合、各オプションのデルタの絶対値の合計は 1 になります。より正確には、コールのデルタ (正) からプットのデルタ (負) を引いた値が 1 になります。これはプット コール パリティによるものです。つまり、ロング コールとショート プット (コールからプットを引いた値) を足すと、デルタが 1 のフォワードが複製されます。

オプションのデルタ値がわかっている場合は、既知のコール デルタから 1 を引くか、既知のプット デルタに 1 を加算することで、同じ行使価格、原資産、満期日で権利が反対のオプションのデルタ値を計算できます。

${\displaystyle \Delta ({\text{call}})-\Delta ({\text{put}})=1,{\text{ therefore: }}\Delta ({\text{call}})=\Delta ({\text{put}})+1{\text{ and }}\Delta ({\text{put}})=\Delta ({\text{call}})-1.}$

たとえば、コールのデルタが 0.42 の場合、同じ権利行使価格の対応するプットのデルタは 0.42 − 1 = −0.58 で計算できます。プットからコールのデルタを導くには、同様に −0.58 に 1 を加えて 0.42 を得ます。

ベガ^[4]はボラティリティに対する感度を測る指標です。ベガは原資産の ボラティリティに対するオプション価値の導関数です。

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}}$

ベガはギリシャ文字の名前ではありません。使用されているグリフはギリシャ文字nu ( ) の非標準の大文字バージョンで、 と書きます。おそらく、ギリシャ文字nu がラテン文字のveeに似ているため、 vegaという名前が採用され、vega はアメリカ英語でbeta、eta、thetaが発音される方法から類推してveeから派生しました。 ${\textstyle \nu }$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

記号カッパ（ ）は、（学者によって）ベガ（ ）の代わりに使用されることがある（タウ（）や大文字のラムダ（）も同様であるが、^{[7] : 315} これらはまれである）。 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Lambda }$

ベガは通常、ボラティリティが 1パーセント ポイント上昇または下降したときにオプションの価値が増減する原資産株あたりの金額として表されます。すべてのオプション (コールとプットの両方) は、ボラティリティの上昇とともに価値が上がります。

一部のオプション戦略の価値はボラティリティの変化に特に敏感になる可能性があるため、特にボラティリティの高い市場では、ベガはオプショントレーダーにとって監視すべき重要なギリシャ線となる可能性があります。たとえば、アット・ザ・マネーのオプション ストラドルの価値は、ボラティリティの変化に大きく依存します。 「ボラティリティ リスク」を参照してください。

シータ^[4] は、導関数の値の時間の経過に対する感度を測定します（オプションの時間値を参照）、つまり「時間減衰」です。 ${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle \Theta =-{\frac {\partial V}{\partial \tau }}}$

時間が経過するにつれて、満期までの時間が短くなり、他の条件がすべて同じであれば、オプションの外部価値は減少します。通常 (ただし、下記を参照)、これはオプションが時間とともに価値を失うことを意味し、これは通常、ロング オプションは短い (負の) シータを持つと慣例的に言われます。実際、通常、オプションの価値の時間に対する文字通りの 1 次導関数は正の数です。オプション価値の変化は通常、負です。時間の経過が負の数 (満期までの時間の減少) であるためです。ただし、慣例により、実務家は通常、ロング オプションのシータ エクスポージャー (「減衰」) を負 (時間の経過を負ではなく) と呼ぶことを好むため、上記のように、シータは通常、1 次導関数の -1 倍として報告されます。 ${\displaystyle \tau \,}$

外部価値は時間の経過とともに減少しますが、割引が相殺要因になる場合があります。一部の種類のディープ イン ザ マネー オプション (ブラック ショールズ法のプット、ブラックのプットとコール) では、割引係数が時間の経過とともに 1 に近づくため、ロング オプションの価値が増加する要素となります。ディープ イン ザ マネー オプションでは、割引係数の増加による利益が外部価値の減少による損失を上回る場合があり、報告されたシータはロング オプションの場合、より一般的な負の値ではなく正の値になります (また、オプションは、行使可能な場合は早期行使候補になり、ヨーロピアン オプションの価値はパリティよりも低くなる可能性があります)。

オプション評価の式では慣例的に、満期までの時間 は年数で定義されます。専門家は通常、満期までの年数ではなく、満期までの日数の変化でシータを見ることを好みます。したがって、報告されたシータは通常、年間の日数で割られます。(暦日と営業日のどちらを数えるかは個人の選択によりますが、両方を支持する議論もあります。) ${\displaystyle \tau \,}$

ロー^[4]は 金利に対する感応度を測る指標であり、リスクフリー金利（該当する残存期間）に対するオプション値の導関数である。 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ={\frac {\partial V}{\partial r}}}$

極端な状況を除いて、オプションの価値は、他のパラメータの変化よりも無リスク金利の変化にあまり影響されません。このため、ローは 1 次ギリシャ関数の中で最も使用頻度が低いです。

ローは通常、リスクフリー金利が年間 1.0% (100 ベーシス ポイント) 上昇または下降した場合にオプションの価値が増減する、原資産の 1 株あたりの金額として表されます。

ラムダ^[4] 、オメガ[ ^8]、または弾力性[ ^{4]は、原資産価格の}パーセンテージ変化あたりのオプション価値のパーセンテージ変化であり、レバレッジの尺度であり、ギアリングと呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \lambda =\Omega ={\frac {\partial V}{\partial S}}\times {\frac {S}{V}}}$

それは、次のとおりです。 ${\displaystyle \lambda =\Omega =\Delta \times {\frac {S}{V}}}$

これはデルタの概念に似ていますが、絶対値ではなくパーセンテージで表現されます。

イプシロン^[9] （psiとも呼ばれるは、である原資産配当利回りのパーセンテージ変化に対するオプション価値のパーセンテージ変化である。配当利回りへの影響は、実際にはこれらの利回りの10％増加を使用して決定される。明らかに、この感応度は株式商品のデリバティブ商品にのみ適用できる。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \varepsilon =\psi ={\frac {\partial V}{\partial q}}}$

数値的には、すべての一次感度は期待収益のスプレッドとして解釈できる。^[10]情報幾何学は別の（三角法的な）解釈を提供している。^[10]

ガンマ^[4]は 、原資産価格の変化に対するデルタの変化率を測定します。ガンマは原資産価格に対する価値関数の 2次導関数です。${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\partial \Delta }{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}}$

ほとんどのロングオプションは正のガンマを持ち、ほとんどのショートオプションは負のガンマを持ちます。ロングオプションはガンマと正の関係にあります。価格が上昇するとガンマも増加し、デルタは0（ロングコールオプション）から1に、0（ロングプットオプション）から0に近づくからです。ショートオプションの場合は逆になります。^[11]

ガンマはアットザマネー (ATM) 付近で最大となり、インザマネー (ITM) またはアウトオブザマネー (OTM) に近づくほど小さくなります。ガンマが重要なのは、価値の コンベックスを修正するためです。

トレーダーがポートフォリオに対して効果的なデルタヘッジを確立しようとする場合、ポートフォリオのガンマを中和することも検討するかもしれません。これにより、ヘッジがより広範囲の基礎価格変動に対して効果的になることが保証されます。

Vanna ^[4]は、DvegaDspot ^[13]およびDdeltaDvol ^[13]とも呼ばれ、オプション値の2次導関数で、1つは原資産スポット価格、もう1つはボラティリティに対してです。数学的には、オプションデルタのボラティリティの変化に対する感応度であるDdeltaDvol、または原資産価格に対するベガの部分と同等です。Vannaは、デルタまたはベガヘッジされたポートフォリオを維持するときに監視するのに役立つ感応度です。Vannaを使用すると、トレーダーは、ボラティリティの変化に伴うデルタヘッジの有効性の変化、または原資産スポット価格の変化に対するベガヘッジの有効性を予測できます。

基礎となる値が連続的な2次偏微分を持つ場合、${\displaystyle {\text{Vanna}}={\frac {\partial \Delta }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S\,\partial \sigma }}.}$

チャーム^[4]またはデルタ減衰^[14]は、時間の経過に伴うデルタの瞬間的な変化率を測定します。

${\displaystyle {\text{Charm}}=-{\frac {\partial \Delta }{\partial \tau }}={\frac {\partial \Theta }{\partial S}}=-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \tau \,\partial S}}}$

チャームはDdeltaDtimeとも呼ばれる。^[13]チャームは、週末にデルタヘッジを行う際に測定/監視する重要なギリシャ語である。チャームはオプション値の2次導関数であり、1つは価格、もう1つは時間の経過に対するものである。また、原資産価格に対するシータの導関数でもある。

魅力の公式 (下記参照) の計算結果は、デルタ/年で表されます。これを年間の日数で割ると、1 日あたりのデルタ減衰率を算出できます。この方法は、オプションの満期までの残り日数が多い場合にかなり正確です。オプションの満期が近づくと、魅力自体が急速に変化する可能性があり、デルタ減衰率の 1 日の推定値は不正確になります。

Vomma ^[4] 、volga ^[15]、 vegaコンベクシティ^[15]、またはDvegaDvol ^[15]は、ボラティリティに対する2次の感応度を測定します。Vommaは、ボラティリティに関するオプション値の2次導関数であり、言い換えると、vommaはボラティリティの変化に対するベガの変化率を測定します。

${\displaystyle {\text{Vomma}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma ^{2}}}}$

ボンマが正の場合、ポジションは、インプライド ボラティリティが増加するとベガをロングにし、減少するとベガをショートにします。これは、ロング ガンマに類似した方法でスキャルピングできます。また、最初はベガ中立のボンマ ロング ポジションは、異なるストライクのオプションの比率から構築できます。ボンマは、マネーから離れたロング オプションに対して正であり、最初はマネーからの距離とともに増加します (ただし、ベガが低下すると低下します)。(具体的には、通常のd _{1 項}とd ₂項が同じ符号である場合にボンマが正になります。これは、d ₁  < 0 またはd ₂  > 0 の場合に当てはまります。)

ベタ^[16] 、ベガ減衰またはDvegaDtime ^[15]は、時間の経過に対するベガの変化率を測定します。ベタは価値関数の2次導関数であり、1回はボラティリティに対して、もう1回は時間に対して導出されます。

${\displaystyle {\text{Veta}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial \tau }}}$

一般的には、ベタの計算結果を年間日数の 100 倍で割り、その値を 1 日あたりのベガの変化率に減らします。

ベラ^[17]（時にはrhova）^[17]は、ボラティリティに対するrhoの変化率を測定します。ベラは価値関数の2次導関数であり、1つはボラティリティに対して、もう1つは金利に対してです。

${\displaystyle {\text{Vera}}={\frac {\partial \rho }{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial \sigma \,\partial r}}}$

「Vera」という単語は、2012 年初頭に R. Naryshkin によって造られました。当時、この感度は、ボラティリティの変化がローヘッジに与える影響を評価するために実際に使用される必要がありましたが、利用可能な文献にはまだ名前がありませんでした。「Vera」は、それぞれの 1 次ギリシャ語である Vega と Rho の組み合わせに似た発音であることから選ばれました。この名前は現在、たとえばMapleコンピュータ代数ソフトウェア (Finance パッケージに「BlackScholesVera」関数があります) など、より広く使用されています。

この偏導関数は、コールオプションの相場価格を用いて、その価格が示唆するリスク中立確率を推定するブリーデン・リッツェンバーガー式^[18]において基本的な役割を果たしている。

${\displaystyle \varpi ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial K^{2}}}}$

コール オプションの場合、バタフライ戦略の無限小ポートフォリオを使用して近似できます。

スピード^[4]は、原資産価格の変化に対するガンマの変化率を測定します。

${\displaystyle {\text{Speed}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{3}}}}$

これはガンマのガンマ^{[2] : 799}またはDgammaDspot ^[13] と呼ばれることもあります。スピードは、原資産のスポット価格に対する価値関数の3次導関数です。ポートフォリオのデルタヘッジまたはガンマヘッジを行う際には、スピードを監視することが重要になります。

ゾンマ^[4]はボラティリティの変化に対するガンマの変化率を測定します。

${\displaystyle {\text{Zomma}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \sigma }}={\frac {\partial {\text{vanna}}}{\partial S}}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \sigma }}}$

ゾンマはDgammaDvolとも呼ばれる。^[13]ゾンマはオプション値の3次導関数であり、原資産価格に対して2回、ボラティリティに対して1回導出される。ゾンマはガンマヘッジポートフォリオを維持する際に監視する有用な感度であり、トレーダーはボラティリティの変化に応じてヘッジの有効性の変化を予測するのに役立つ。

色^[13] 、ガンマ崩壊^[19]またはDgammaDtime ^[13]は、時間の経過に伴うガンマの変化率を測定します。

${\displaystyle {\text{Color}}={\frac {\partial \Gamma }{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial S^{2}\,\partial \tau }}}$

カラーはオプション値の 3 次導関数であり、原資産価格に対して 2 度、時間に対して 1 度です。カラーは、時間の経過とともにヘッジの有効性をトレーダーが予測するのに役立つため、ガンマヘッジ ポートフォリオを維持するときに監視する重要な感度になる可能性があります。

色の数式 (下記参照) の計算結果は、ガンマ/年で表されます。これを年間の日数で割ると、1 日あたりのガンマの変化が算出されます。この方法は、オプションの満期までの残り日数が多い場合にかなり正確です。オプションの満期が近づくと、色自体が急速に変化する可能性があり、1 日のガンマ変化の推定値が不正確になります。

Ultima ^[4]は、ボラティリティの変化に対するオプション・ボンマの感度を測定します。

${\displaystyle {\text{Ultima}}={\frac {\partial {\text{vomma}}}{\partial \sigma }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial \sigma ^{3}}}}$

UltimaはDvommaDvolとも呼ばれる。^[4] Ultimaはオプション値のボラティリティに対する3次導関数である。

パルミカルマ^[4]は時間の経過に伴う魅力の変化率を測定します。

${\displaystyle {\text{Parmicharma}}=-{\frac {\partial {\text{charm}}}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{3}V}{\partial \tau ^{2}\partial S}}}$

パルミチャーマはDcharmDtimeとも呼ばれる。^[20]パルミチャーマはオプション値の3次導関数であり、時間に2回、原資産価格に1回依存する。時間の経過とともにデルタヘッジポートフォリオをより適切に維持するために、トレーダーは現在のデルタポジションに加えてチャームをヘッジすることができる。^{[20] パルミチャーマは、チャームヘッジポートフォリオを維持する際に監視する有用な感度となり得る。なぜなら、}パルミチャーマは、トレーダーが時間の経過とともにヘッジの有効性がどのように変化するかを予測するのに役立つからである。

デリバティブの価値が 2 つ以上の原資産に依存している場合、そのギリシャ指標は原資産間の相互効果を含めるように拡張されます。

相関デルタは、原資産間の相関の変化に対するデリバティブの価値の感度を測定する。^{[21]これは一般に}セガとも呼ばれる。^{[22] [23]}

クロスガンマは、ある原資産のデルタが別の原資産の水準の変化に対してどれだけ変化したかを測定する。^[24]

クロスバンナは、ある原資産の水準の変化による別の原資産のベガの変化率を測定します。同様に、最初の原資産のボラティリティの変化による2番目の原資産のデルタの変化率を測定します。^[21]

クロスボルガは、ある原資産のベガの変化が別の原資産のボラティリティの変化に及ぼす影響を測定する。^[24]

ブラック・ショールズ・モデルによるヨーロピアン・オプション（コールとプット）のギリシャ係数は次のように計算されます。ここで、（ファイ）は標準正規確率密度関数、は標準正規累積分布関数です。ガンマとベガの式はコールとプットで同じであることに注意してください。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Phi }$

与えられた条件:

• 株価、${\displaystyle S\,}$
• 行使価格、${\displaystyle K\,}$
• 無リスク金利、${\displaystyle r\,}$
• 年間配当利回り、${\displaystyle q\,}$
• 満期までの期間（1年を単位のない分数で表す）、および${\displaystyle \tau =T-t\,}$
• ボラティリティ。${\displaystyle \sigma \,}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(S/K)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\\\varphi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}\\\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy=1-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}}\,dy\end{aligned}}}$

ブラック モデル(商品や先物オプションによく使用される) では、ギリシャ文字は次のように計算できます。

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {\ln(F/K)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}\\d_{2}&={\frac {\ln(F/K)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\tau }{\sigma {\sqrt {\tau }}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {\tau }}\end{aligned}}}$

(*) 次のように示される。${\displaystyle F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})}$

ミクロ証明:

させて${\displaystyle x=\sigma {\sqrt {\tau }}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}{x}}}$

${\displaystyle d_{1}\cdot x=\ln {\frac {F}{K}}+{\frac {1}{2}}x^{2}}$

${\displaystyle \ln(F/K)=d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {F}{K}}=e^{d_{1}\cdot x-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$

次に次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {F}{K}}\cdot {\frac {\varphi (d_{1})}{\varphi (d_{2})}}={\frac {F}{K}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {d_{2}}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}}$

${\displaystyle =e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\cdot {(d_{1}-x)}^{2}-{\frac {1}{2}}\cdot {d_{1}}^{2}}=e^{d_{1}x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot (2d_{1}-x)(-x)}=e^{0}=1.}$

それで${\displaystyle F\varphi (d_{1})=K\varphi (d_{2})}$

金融商品の関連するリスク指標の一部を以下に挙げます。

債券やその他の固定利付証券の取引では、オプションのデルタと同様に、債券デュレーションのさまざまな尺度が使用されます。デルタに最も近い類似物はDV01で、これは利回りが 1ベーシスポイント(つまり、年率 0.01%)上昇した場合の価格 (通貨単位) の減少です。ここで、利回りは基礎となる変数です。債券デュレーション § リスク - 金利感応度としてのデュレーションを参照してください。(関連するのは、信用スプレッドに対する感応度を測定するCS01です。)

ラムダに類似しているのが修正デュレーションで、これは利回りの単位変化に対する債券の市場価格のパーセンテージ変化です（つまり、DV01を市場価格で割ったものに相当します）。弾力性（入力のパーセンテージ変化に対する出力のパーセンテージ変化）であるラムダとは異なり、修正デュレーションは半弾力性、つまり入力の単位変化に対する出力のパーセンテージ変化です。キーレートデュレーションも参照してください。

債券コンベクシティは、金利の変化に対するデュレーションの感度の尺度であり、金利に関する債券価格の2 次導関数です(デュレーションは 1 次導関数)。これはガンマに類似しています。一般に、コンベクシティが高いほど、債券価格は金利の変化に敏感になります。債券コンベクシティは、金融において最も基本的で広く使用されているコンベクシティの形式の 1 つです。

オプションが組み込まれた債券の場合、ここでの標準的な最終利回りに基づく計算では、金利の変化がオプションの権利行使によるキャッシュフローにどのような変化をもたらすかは考慮されません。これに対処するために、実効デュレーションと実効コンベクシティが導入されます。これらの値は通常、ツリーベースのモデルを使用して計算され、単一の最終利回りではなく、利回り曲線全体を対象に構築されるため、オプションの有効期間の各時点での権利行使の挙動を時間と金利の両方の関数として捉えることができます。「ラティス モデル (金融) § 金利デリバティブ」を参照してください。

株式またはポートフォリオのベータ(β)は、比較対象となるベンチマークのボラティリティに対する資産のボラティリティを表す数値です。このベンチマークは一般に金融市場全体であり、S&P 500などの代表的な指数を使用して推定されることが多いです。

資産の収益が市場の収益の変化とは無関係に変化する場合は、ベータはゼロになります。ベータが正の場合、資産の収益は一般的に市場の収益に追随し、両方がそれぞれの平均を上回る傾向があるか、両方がそれぞれの平均を下回る傾向があります。ベータが負の場合、資産の収益は一般的に市場の収益と逆の動きをします。つまり、一方が平均を上回ると、もう一方が平均を下回る傾向があります。

fugitは、アメリカン オプションまたはバミューダ オプションを行使すると予想される時間です。fugit はヘッジ目的で計算すると便利です。たとえば、アメリカンスワップションのフローを、fugit にデルタを乗じたスワップのフローのように表し、これを使用して他の感度を計算することができます。

• アルファ（金融）
• ベータ（金融）
• デルタニュートラル
• 財務リスク管理
• 数学、科学、工学で使用されるギリシャ文字
• PnLの説明 § 感度法
• ヴァンナ・ヴォルガ川の料金

理論

• デルタ、ガンマ、ガンマP、ガンマシンメトリー、ヴァンナ、スピード、チャーム、サドルガンマ: バニラオプション - エスペン・ハウグ、
• ヴォルガ、ヴァンナ、スピード、チャーム、カラー: バニラ オプション - Uwe Wystup 2007-09-28 にWayback Machineでアーカイブ済み、バニラ オプション - Uwe Wystup

オンラインツール

• ギリシャ語: 金融オプションの価格の感度、ヨーロッパ、アメリカ、アジアのオプションのギリシャ語を計算する R パッケージ