多重インデックス表記

多重インデックス表記法は、整数インデックスの概念をインデックスの順序付きタプルに一般化することにより、多変数微積分、偏微分方程式、および分布理論で使用される数式を簡略化する数学的表記法です。

n次元多重インデックスは${\textstyle n}$-タプル

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

非負整数の要素（つまり、${\textstyle n}$-次元の自然数の集合、表記される${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}$)

マルチインデックスの場合$\alpha, \beta \in \mathbb{N}_0^n$そして${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$定義：

成分ごとの合計と差

${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}$

部分的な順序

$\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}$

構成要素の合計（絶対値）

$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$$

階乗

${\displaystyle \alpha$ !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}

二項係数

${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha$ !}{\beta  !(\alpha -\beta )!}}}

多項係数

$${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha$$ ！}}} どこ${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}$。

力

$${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}$$。

高階偏微分

$${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}$$どこ$\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}$（4-勾配も参照）。表記法によっては${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}$も使用されます。^{[ 1 ]}

多重添え字表記法により、初等微積分学の多くの公式を対応する多変数ケースに拡張できます。以下にいくつかの例を示します。以下のすべての例において、${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}$（または${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)${\displaystyle \alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$、 そして${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$（または${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$)

多項定理

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}$

多項式定理

$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$なお、 x + yはベクトルであり、αは多重インデックスであるため、左側の式は( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n}の略記です。

ライプニッツの公式

スムーズな動作のために${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$、$${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}$$

テイラーシリーズ

解析関数の場合${\textstyle f}$で${\textstyle n}$変数$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha$$ !}}h^{\alpha }}。 実際、十分に滑らかな関数に対しては、同様のテイラー展開が得られます。$${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha$$ !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),} ここで最後の項（剰余）はテイラーの公式の正確なバージョンに依存します。たとえば、コーシーの公式（整数剰余）の場合、次のようになります。$${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha$$ !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}

一般線形偏微分演算子

形式的な線形${\textstyle N}$における 階偏微分演算子${\textstyle n}$変数は次のように記述されます$${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}$$

部品による統合

有界領域におけるコンパクトなサポートを持つ滑らかな関数${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$1つは$${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}$$この式は、分布と弱微分を定義するために使用されます。

もし${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}$はマルチインデックスであり、${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$、 それから $${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta$$ !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}

• アインシュタイン記法
• インデックス表記法
• リッチ計算

• サン・レイモンド、ザビエル（1991）。擬微分作用素理論入門。第1.1章。CRC Press。ISBN 0-8493-7158-9

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