サイクロイド

幾何学において、サイクロイドとは、円上の点が滑ることなく直線に沿って転がるときに描く曲線のことです。サイクロイドはトロコイドの特殊な形であり、曲線が別の曲線の上を転がることで生成される曲線 であるルーレットの例です。

サイクロイドは、先端が上を向いており、一様な重力下では最も速く下降する曲線です（最速降下曲線）。また、曲線に沿った単振動（繰り返し上下に転がる）の周期が、物体の開始位置に依存しない曲線の形でもあります（トートクローン曲線）。物理学では、静止している荷電粒子が互いに垂直な 一様な電場と磁場の下に置かれると、粒子の軌道はサイクロイドを描きます。

サイクロイドは、トロイのヘレンのように17世紀の数学者の間で頻繁に論争を引き起こしたことから「幾何学者のヘレン」と呼ばれてきましたが、サラ・ハートは「この曲線の特性が非常に美しいため」そのように名付けられたと考えています。^{[1] [2]}

数学の歴史家たちは、サイクロイドの発見者として複数の候補を挙げている。数学史家ポール・タナリーは、イアンブリコスが記述したアンティオキアのカルプスによる同様の研究を引用し、そのような単純な曲線は古代人に知られていたに違いないと推測した。^[3] イギリスの数学者ジョン・ウォリスは1679年の著作で、この発見者はニコラウス・クザーヌであるとしているが、^[4]その後の研究では、ウォリスが間違っていたか、彼が使用した証拠が失われていることが示唆されている。^[5]ガリレオ・ガリレイの名前が19世紀末に提唱され^[6]、少なくとも1人の著者はマリン・メルセンヌがその功績であると報告している。^[7]モーリッツ・カントール^[8]とジークムント・ギュンター^[9]の研究に始まり、学者たちは現在、1503年に出版された『幾何学入門』におけるサイクロイドの記述に基づいて、フランスの数学者シャルル・ド・ボヴェレス^{[10] [11] [12]を優先させています。 [13]} この研究で、ボヴェレスは、回転する車輪が描く円弧を、小さい車輪の半径の120%大きい円の一部であると誤解しています。^[5]

ガリレオはサイクロイドという用語を生み出し、曲線について真剣に研究した最初の人物でした。^[5] 弟子のエヴァンジェリスタ・トリチェリによると、^[14] 1599年にガリレオはサイクロイドの求積法（サイクロイドの下の面積の決定）を、生成円と結果として生じるサイクロイドの両方を金属板にトレースし、それらを切り取って重さを量るという、珍しい経験的な方法で試みました。彼はその比率がおよそ3:1であることを発見しましたが、これが真の値でした。しかし、彼はその比率が無理数であると誤って結論付け、それでは求積法は不可能だったでしょう。^[7] 1628年頃、ジル・ペルソヌ・ド・ロベルヴァルはおそらくメルセンヌ神父から求積法の問題を学び、1634年にカヴァリエリの定理を使って求積法を実現しました。^[5] しかし、この作品は1693年まで出版されませんでした（彼の著書『不可分論』）。^[15]

サイクロイドの接線の構築は、メルセンヌがロベルヴァル、ピエール・ド・フェルマー、ルネ・デカルトから独自の方法を学んだ1638年8月に遡る。メルセンヌはこれらの結果をガリレオに伝え、ガリレオはそれを弟子のトリチェリとヴィヴィアーニに渡し、彼らは求積法を作成した。この結果と他の結果は1644年にトリチェリによって出版され、^[14]サイクロイドに関する最初の印刷された著作でもある。これによりロベルヴァルはトリチェリを盗作で告発したが、1647年のトリチェリの早すぎる死により論争は短期間で終わった。^[15]

1658年、ブレーズ・パスカルは数学を諦めて神学の道へ進んだが、歯痛に悩まされながら、サイクロイドに関するいくつかの問題について考え始めた。歯痛は消え、パスカルはこれを研究を進めるための天からのしるしと受け止めた。8日後、パスカルは論文を書き上げ、その結果を公表するためにコンテストを行うことを提案した。パスカルは、サイクロイドの重心、面積、体積に関する3つの問題を提案し、優勝者には20スペイン・ダブロンと40スペイン・ダブロンの賞金が贈られるというものだった。パスカル、ロベルヴァル、カルカヴィ上院議員が審査員を務め、2つの提出物（ジョン・ウォリスとアントワーヌ・ド・ラルーヴェール）はどちらも適切とは判断されなかった。^{[16] : 198} コンテストが進行中、クリストファー・レンはパスカルにサイクロイドの修正の証明の提案を送った。ロベルヴァルはすぐに、自分は何年も前からその証明を知っていたと主張した。ウォリスはウォリスのTractatus Duoの中でレンの証明を（レンの名義で）公表し、最初に公表された証明の優先権をレンに与えた。^[15]

15年後、クリスティアーン・ホイヘンスはクロノメーターの改良にサイクロイド振り子を応用し、粒子が逆サイクロイド弧のセグメントを、その出発点に関係なく同じ時間で横断することを発見した。1686年、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは解析幾何学を用いて、この曲線を1つの方程式で記述した。1696年、ヨハン・ベルヌーイは最速降下問題を提起し、その解はサイクロイドであった。^[15]

原点を通るサイクロイドは、半径rの円がx軸の正の側 ( y ≥ 0 )を回転することによって生成され、点( x , y )で構成されます。 ここで、t は回転する円の回転角度に対応する実数パラメータです。 tが与えられた場合、円の中心は( x , y ) = ( rt , r )にあります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}}$$

デカルト方程式は、y方程式をtについて解き、 x方程式に代入することで得られます。または、多値逆余弦を消去することで得られます。$${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}$$

${\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}$

y をxの関数として見ると、サイクロイドはx軸上の尖点を除くすべての場所で微分可能であり、導関数は尖点（ y=0 ）に向かうか尖点の近くになります。 tから( x , y )への写像は微分可能であり、実際はクラスC ^∞であり、尖点での導関数は 0 です。 ${\displaystyle \infty}$${\displaystyle -\infty}$

点におけるサイクロイドの接線の傾きは で与えられます。 ${\displaystyle (x,y)}$${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$

ある尖点から次の尖点までのサイクロイド線分は、サイクロイドのアーチと呼ばれます。たとえば、 と の点はサイクロイドのアーチと呼ばれます。 ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }$

サイクロイドを関数のグラフとして考えると、それは次の微分方程式を満たす：^[17]${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}$

をサイクロイドの頂点（水平接線とを持つ点）からの高さの差として定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle h=2r-y=r(1+\cos t)}$${\displaystyle \cost=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}={\frac {2r}{h}}-1.}$

サイクロイドのインボリュートは、元のサイクロイドとまったく同じ形状です。これは、最初はサイクロイドの半弧上にあるワイヤの先端が描く経路として視覚化できます。ワイヤが元のサイクロイドに接したまま広がると、新しいサイクロイドが描かれます (サイクロイド振り子と弧の長さも参照)。

このデモンストレーションでは、サイクロイドの転がり車輪の定義と、その軌跡に接する移動点の瞬間速度ベクトルを使用します。 隣の図では、と は2 つの転がる円に属する 2 つの点であり、最初の円の底辺は 2 番目の円の頂点の真上にあります。 最初、 と は2 つの円の交点で一致します。 円が同じ速度で水平に転がると、と は2 つのサイクロイド曲線を横切ります。と を特定の時間に結ぶ赤い線を考えると、その線は常に で下の円弧に接し、 で上の円弧に直交することが証明されます。を特定の時間に上側の円と下側の円が共有する点とします。 ${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$は同一直線上にあります。実際、等しい回転速度は等しい角度を与え、したがって となります。したがって、点は直線上にあり、同様にとなります。とが等しいことから、も得られます 。したがって となります。${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle O_{1}O_{2}}$${\displaystyle {\ワイドハット {P_{1}QO_{1}}}+{\ワイドハット {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$${\displaystyle {\ワイドハット {P_{2}QO_{2}}}+{\ワイドハット {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$${\displaystyle {\ワイドハット {P_{1}QO_{2}}}={\ワイドハット {P_{2}QO_{1}}}}$${\displaystyle {\ワイドハット {P_{1}QO_{1}}}+{\ワイドハット {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$
• から線分への垂線と、における円の接線との交点が である場合、三角形は二等辺三角形であり、これはおよびという作図から簡単にわかります。との間には前述の等式があるため、 と は二等辺三角形です。${\displaystyle A}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle O_{1}O_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$${\displaystyle {\ワイドハット {QO_{2}P_{2}}}}$${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$
• 直交線分から上側の円に接する直線までを描き、その交点を呼ぶと、平行線間の角度に関する定理を用いて、 が菱形であることが分かる。${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle O_{1}O_{2}}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$
• ここで、の速度を考えてみましょう。 これは、回転速度と漂流速度という 2 つの成分の合計と見ることができます。円は滑ることなく回転するため、これらの係数は等しくなります。は に平行ですが、 はで下の円に接しており、したがって に平行です。 と の要素から構成される菱形は、辺が平行であるため、菱形と相似 (同じ角度) です。 次に、 の合計速度は に平行です。これは、どちらも辺が平行な 2 つの菱形の対角線であり、接触点を共有しているためです。したがって、速度ベクトルはの延長線上にあります。は でサイクロイドに接しているため、 も で下のサイクロイドの接線と一致することになります。${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle V_{d}}$${\displaystyle V_{d}}$${\displaystyle P_{1}A}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{2}A}$${\displaystyle V_{d}}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle BP_{1}AP_{2}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{2}P_{1}}$${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$
• 同様に、 が(菱形のもう一方の対角線)に直交していることも簡単に証明できます。${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle V_{1}}$
• これは、最初に下部サイクロイドの半円弧上に張られ、上部の円 に固定されたワイヤの先端は、先端の速度が各瞬間にワイヤに直交しているため (伸張も圧縮もなし)、長さを変えずに経路に沿って点をたどることを証明しています。同時に、張力と上記で実証された事実により、ワイヤは下部の円弧 に接します。(接線でない場合は、 に不連続性があり、その結果、張力の力が不均衡になります。)${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle P_{2}}$

上記のパラメータ化を使用すると、1 つのアーチの下の面積は次のように表されます。 ${\textstyle x=r(t-\sin t),\ y=r(1-\cos t)}$${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}$$${\displaystyle A=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt=3\pi r^{2}.}$$

これは回転する円の面積の 3 倍です。

一つのアーチの弧の長さ Sは次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{aligned}}}$$

サイクロイドの長さを計算する別の幾何学的な方法は、インボリュートを描くワイヤがアーチの半分から完全に解かれると、ワイヤが 2 つの直径に沿って伸び、長さが4 rになることに注目することです。これは、したがって、アーチの長さの半分に等しく、完全なアーチの長さは8 rです。

サイクロイドの頂点（水平接線とを持つ点）から同じアーチ内の任意の点までの弧の長さの二乗は で、これは高低差 に比例します。この特性は、サイクロイドの等時性の基礎となります。実際、弧の長さの二乗は、高低差にアーチ全体の長さ8 rを掛けたものに等しくなります。 ${\displaystyle \cost=-1}$${\displaystyle 8r^{2}(1+\コスト)}$${\displaystyle r(1+\cos t)}$

単振り子が逆サイクロイドの尖端から吊り下げられ、弦がサイクロイドの弧の 1 つに接するように拘束され、振り子の長さLがサイクロイドの弧の長さの半分 (つまり、生成円の直径の 2 倍、L = 4r ) に等しい場合、振り子の重りもサイクロイド経路を描きます。このような振り子は等時性があり、振幅に関係なく等時間の振動となります。尖端の位置を中心とした座標系を導入すると、運動方程式は次のように表されます。 ここで、は弦の直線部分が垂直軸となす角度で、は次のように表されます。 ここで、A < 1は「振幅」、は振り子のラジアン周波数、g は重力加速度です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}}$$${\displaystyle \theta}$$${\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\qquad \omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},}$$${\displaystyle \omega }$

17世紀のオランダの数学者クリスティアーン・ホイヘンスは、航海に使用するためのより正確な振り子時計の設計を模索しているときに、サイクロイドのこれらの性質を発見し証明しました。^[18]

サイクロイドに関連する曲線はいくつかあります。

• トロコイド: 曲線をトレースする点が回転円の内側 (短円) または外側 (長円) にあるサイクロイドの一般化。
• 内サイクロイド: サイクロイドの変形で、円が直線ではなく別の円の内側を転がる。
• 外サイクロイド: 円が直線ではなく別の円の外側を転がるサイクロイドの変形。
• 内トロコイド: 生成点が回転円の端にない可能性がある内サイクロイドの一般化。
• エピトロコイド: 生成点が回転円の端上にない可能性があるエピサイクロイドの一般化。

これらの曲線はすべて、一様な曲率を持つ別の曲線に沿って円が転がるルーレットです。サイクロイド、外サイクロイド、内サイクロイドは、それぞれがその縮閉線に相似であるという特性があります。qがその曲率と円の半径の積で、外サイクロイドの場合は正、内サイクロイドの場合は負の符号が付けられている場合、曲線と縮閉線の相似比は1 + 2 qです。

古典的なスピログラフのおもちゃは、下トロコイド曲線と上トロコイド曲線を描きます。

サイクロイドアーチは、建築家ルイス・カーンがテキサス州フォートワースのキンベル美術館の設計に使用しました。また、ウォレス・K・ハリソンがニューハンプシャー州ハノーバーのダートマス大学ホプキンスセンターの設計に使用しました。^[19]

初期の研究では、黄金時代のバイオリンのプレートの横方向のアーチ曲線のいくつかは、カーテートサイクロイド曲線によってほぼモデル化されていることが示されました。 ^[20]その後の研究では、カーテートサイクロイドはこれらの曲線の一般的なモデルにはならないことが示されており、^[21]これらの曲線はかなり変化します。

• サイクロゴン
• サイクロイドギア
• 周期関数のリスト
• トートクロネ曲線

• 物理学からの応用：Ghatak, A. & Mahadevan, L. クラック ストリート: シートを突き破る円筒のサイクロイド ウェイク。Physical Review Letters、91、(2003)。link.aps.org
• エドワード・カスナー＆ジェームズ・ニューマン（1940）『数学と想像力』pp 196-200、サイモン＆シュスター。
• ウェルズ D (1991)。ペンギン辞典『不思議で興味深い幾何学』。ニューヨーク: ペンギンブックス。pp. 445–47。ISBN 0-14-011813-6。

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「サイクロイド」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• Weisstein、Eric W.「サイクロイド」。MathWorld。2007年4月27日閲覧。
• 結び目を切るサイクロイド
• サイクロイドとサイクロイド曲線のすべての形式に関する論文、リチャード A. プロクター (BA) 著、コーネル大学図書館に掲載。
• Cycloid Curves (Sean Madsen 著、David von Seggern 協力、Wolfram Demonstrations Project)。
• PlanetPTC のサイクロイド (Mathcad)
• 微積分問題への視覚的アプローチ (トム・アポストル著)