ワイル接続

微分幾何学において、ワイル接続（ワイル構造とも呼ばれる）は、共形多様体上で意味をなすレヴィ-チヴィタ接続の一般化である。これらは、一般相対性理論と電磁気学を統一する試みとしてヘルマン・ワイル（Weyl 1918）によって導入された。彼のアプローチは、成功した理論にはつながらなかったものの、^[1]エリー・カルタン（Cartan 1943）による詳細な研究を含む、共形幾何学における理論のさらなる発展につながった。これらはアイゼンハート（1927）でも議論された。

具体的には、が滑らかな多様体であり、上の（非退化）計量テンソルの共形クラスであるとします。ここで、 は、何らかの滑らかな関数に対してそのときに限ります（ワイル変換 を参照）。ワイル接続は、 上の捩れのないアフィン接続であり、任意の に対して、 が に依存する 1 形式である ような接続です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle [g]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle h,g\in [g]}$${\displaystyle h=e^{2\gamma }g}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g\in [g]}$$${\displaystyle \nabla g=\alpha _{g}\otimes g}$$${\displaystyle \alpha_{g}}$${\displaystyle g}$

がワイル接続で の場合、 1 形式は によって変換されます 。したがって、ワイル接続の概念は共形不変であり、1 形式の変化はド・ラーム・コサイクルによって媒介されます。 ${\displaystyle \nabla}$${\displaystyle h=e^{2\gamma }g}$${\textstyle \nabla h=(2\,d\gamma +\alpha _{g})\otimes h}$${\textstyle \alpha _{e^{2\gamma }g}=2\,d\gamma +\alpha _{g}.}$

ワイル接続の一例としては、共形類 の任意の計量に対するレヴィ・チヴィタ接続があり、 となる。しかし、これは最も一般的なケースではない。なぜなら、そのようなワイル接続は、共形類に属するすべての に対して 1 形式が閉じているという性質を持つからである。一般に、ワイル接続のリッチ曲率は対称ではない。その歪曲部分は次元と 2 形式 の積であり、これは共形類では とは独立である。なぜなら、2 つの差はド・ラーム・コサイクルだからである。したがって、ポアンカレの補題により、リッチ曲率が対称であるためには、ワイル接続が局所的に共形類の何らかの要素のレヴィ・チヴィタ接続となる必要がある。^[2]${\displaystyle [g]}$${\displaystyle \alpha _{g}=0}$${\displaystyle \alpha_{h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle d\alpha _{g}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \alpha_{g}}$

ワイルの当初の希望は、この形式が電磁気学のベクトルポテンシャル(ゲージ依存量) と場の強度 (ゲージ不変量)を表現できるというものでした。この統合は、ゲージ群が間違っているために部分的には失敗しました。電磁気学はゲージ場と関連しており、ゲージ場とは関連していません。 ${\displaystyle \alpha_{g}}$${\displaystyle d\alpha _{g}}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Hall (1993) は、アフィン接続がワイル接続となるのは、そのホロノミー群が共形群のサブグループである場合のみであることを示した。ローレンツ署名における可能なホロノミー代数は Dikarev (2021) で解析された。 harvtxt エラー: ターゲットがありません: CITEREFHall1993 (ヘルプ)

ワイル多様体は、大域ワイル接続を許容する多様体です。ワイル多様体の大域解析は活発に研究されています。たとえば、Mason & LeBrun (2008) は、アインシュタインの真空方程式が成り立つような完全なワイル多様体、つまりアインシュタイン-ワイル幾何学を検討し、3 次元で完全な特性評価を得ました。 harvtxt エラー: ターゲットがありません: CITEREFMasonLeBrun2008 (ヘルプ)

ワイル接続は現在、弦理論やホログラフィーにも応用されている。^{[3] [4]}

Čap & Slovák (2003) では、Weyl 接続は、共形幾何学が特殊なケースである 放物型幾何学の設定に一般化されています。

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• アインシュタイン・ワイル幾何学

• ワイル接続、数学百科事典