SO(n)の空間分類

数学において、分類空間${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$特殊直交群の場合${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$普遍空間の基底空間${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$主要バンドル${\displaystyle \operatorname {ESO} (n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$これはつまり${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$CW複体上の主束は同型を除いて、その連続写像のホモトピー類と一対一である。${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$同型性は引き戻しによって与えられる。具体的な応用例として主SO(2)束がある。

実向きグラスマン多様体の標準的な包含関係は次のように与えられる。${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}}$. その余極限は次のとおりです: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {BSO} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{k\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k}).}$

実向きグラスマン多様体は、以下の式で等質空間として表現できる。

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {SO} (n+k)/(\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {SO} (k))}$

グループ構造は${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$。

• 以来${\displaystyle \operatorname {SO} (1)\cong 1}$は自明な群である。${\displaystyle \operatorname {BSO} (1)\cong \{*\}}$これは自明な位相空間である。

• 以来${\displaystyle \operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)}$1つは${\displaystyle \operatorname {BSO} (2)\cong \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }}$。

位相空間が与えられた場合${\displaystyle X}$セット${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$同型性までの主束は次のように表される。${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X)}$。 もし${\displaystyle X}$CW 複合体の場合、マップは次のようになります。^{[ 2 ]}

${\displaystyle [X,\operatorname {BSO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESO} (n)}$

全単射である。

コホモロジー環​${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$場の係数を用いて${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$2 つの要素の は、Stiefel–Whitney クラスによって生成されます。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}].}$

この結果は、特性を持つすべての環に対してより一般的に成り立つ。${\displaystyle \operatorname {char} =2}$。

コホモロジー環${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$場の係数を用いて${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数のクラスは、ポントリャーギンクラスとオイラークラスによって生成されます。^{[ 6 ]}

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (2n);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n},e]/(p_{n}-e^{2}),}$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (2n+1);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

正典に含まれるもの${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (n+1)}$標準的な包含関係を誘発する${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSO} (n+1)}$それぞれの分類空間において、それぞれの余極限は次のように表される。

${\displaystyle \operatorname {SO}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SO} (n);}

${\displaystyle \operatorname {BSO}$ :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSO} (n).}

${\displaystyle \operatorname {BSO} }$は確かに分類空間である${\displaystyle \operatorname {SO} }$。

• 空間の分類はO(n)で完了する。
• U(n)の空間分類
• SU(n)の空間分類

• ミルナー、ジョン・W.、スタシェフ、ジェームズ・D. (1974).特性クラス. 数学研究年報. 第 76巻. プリンストン大学出版局; 東京大学出版会. ISBN 978-0-691-08122-9. MR 0440554 . 
• ローソン、H.ブレイン；ミシェルソン、マリー＝ルイーズ（1990年2月21日）。スピン幾何学。プリンストン大学出版局。ISBN 9780691085425。
• ハッチャー、アレン（2002）。代数トポロジー。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-79160-X。
• ミッチェル、スティーブン（2001年8月）。普遍主束と分類空間（PDF）。

• nLab上で空間を分類する
• nLab上のBSO(n)