デルタセット

数学において、Δ 集合(しばしばΔ 複体または半単体集合とも呼ばれる) は、位相空間の構築と三角形分割、およびそのような空間の関連する代数不変量の計算に役立つ組み合わせオブジェクトです。Δ 集合は単体複体よりもいくらか一般的ですが、単体集合ほど洗練されていません。単体集合には追加の構造があり、すべての単体集合は半単体集合でもあります。

たとえば、1 次元の円を三角形に分割するとします。単体複体でこれを行うには、少なくとも 3 つの頂点と、それらを接続する辺が必要です。しかし、デルタ セットを使用すると、より簡単な三角形分割が可能になります。2つの端点が特定された区間 [0,1] を考えることで、1 つの頂点 0 と、0 と 0 の間をループする 1 つの辺を持つ三角形分割を定義できます。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$

正式には、Δ集合は、写像を伴う 集合の列である。${\displaystyle \{S_{n}\}_{n=0}^{\infty}}$

${\displaystyle d_{i}^{n}\colon S_{n+1}\rightarrow S_{n}}$

それぞれおよびに対して、 ${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle i=0,1,\dots ,n+1}$

${\displaystyle d_{i}^{n}\circ d_{j}^{n+1}=d_{j-1}^{n}\circ d_{i}^{n+1}}$

いつでも。多くの場合、簡潔にするために上付き文字は省略されます。 ${\displaystyle i<j}$${\displaystyle {d_{i}^{n}}}$

この定義は、単体複体の概念を一般化したものです。ここで、 はn単体の集合であり、 は関連する面写像で、それぞれが の単体の 番目の面を の単体に写像します。合成規則により、 の単体のの面がの隣接する面を共有すること、つまり単体が適切に形成されることが保証されます。Δ 集合は「退化」がないため、単体集合ほど一般的ではありません。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S_{n+1}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{n+1}}$${\displaystyle S_{n+2}}$${\displaystyle S_{n}}$

Δ集合SとTが与えられたとき、Δ集合の写像は集合写像の集合である。

${\displaystyle \{f_{n}\colon S_{n}\rightarrow T_{n}\}_{n=0}^{\infty}}$

そのような

${\displaystyle f_{n}\circ d_{i}=d_{i}\circ f_{n+1}}$

方程式の両辺が定義されているときはいつでも。

この概念により、Δ-集合のカテゴリを定義することができます。Δ-集合のカテゴリのオブジェクトは Δ-集合であり、その射は Δ-集合のマップです。

各 Δ 集合には対応する幾何学的実現があり、幾何学的に定義された空間 (標準の n 単体) を Δ 集合内の各抽象単体に関連付け、空間間の包含関係を使用して空間を「接着」して同値関係を定義します。

${\displaystyle |S|=\left(\coprod _{n=0}^{\infty }S_{n}\times \Delta ^{n}\right)/_{\sim }}$

ここで次のように 宣言する${\displaystyle {\sim }}$

${\displaystyle (\sigma ,\iota ^{i}t)\sim (d_{i}\sigma ,t)\quad {\text{ for all }}\sigma \in S_{n},t\in \Delta ^{n-1}.}$

ここで、は標準n単体を空間として 表し、${\displaystyle \Delta ^{n}}$

${\displaystyle \iota ^{i}\colon \Delta ^{n-1}\rightarrow \Delta ^{n}}$

はi番目の面の包含である。幾何学的実現は商位相を持つ位相空間である。

Δ集合Sの幾何学的実現は自然な濾過を持つ

${\displaystyle |S|_{0}\subset |S|_{1}\subset \cdots \subset |S|,}$

どこ

${\displaystyle |S|_{N}=\left(\coprod _{n=0}^{N}S_{n}\times \Delta ^{n}\right)/_{\sim }}$

は「制限された」幾何学的実現です。

上で説明した Δ 集合の幾何学的実現は、Δ 集合のカテゴリから位相空間のカテゴリへの共変関数を定義します。幾何学的実現は、Δ 集合を位相空間に持ち込み、Δ 集合の写像を幾何学的実現間の誘導連続写像に運びます。

Sが Δ 集合である場合、と表記される関連する自由アーベル鎖複体が存在し、そのn番目の群は自由アーベル群である。${\displaystyle (\mathbb {Z} S,\partial )}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} S)_{n}=\mathbb {Z} \langle S_{n}\rangle ,}$

集合 によって生成され、そのn次微分は次のように定義される。 ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle \partial _{n}=d_{0}-d_{1}+d_{2}-\cdots +(-1)^{n}d_{n}.}$

これは、Δ 集合のカテゴリからアーベル群の連鎖複体のカテゴリへの共変関数を定義します。Δ 集合は、先ほど説明した連鎖複体に適用され、Δ 集合のマップは、自由アーベル群の普遍的性質を使用して標準的な方法で Δ 集合のマップを拡張することによって定義される連鎖複体のマップに適用されます。

任意の位相空間Xが与えられたとき、Δ集合は次のように構成できる。Xの特異なn単体は連続写像である 。${\displaystyle \mathrm {sing} (X)}$

${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\rightarrow X.}$

定義する

${\displaystyle \mathrm {sing} _{n}^{}(X)}$

をXのすべての特異なn単体の集合とし、定義する。

${\displaystyle d_{i}\colon \mathrm {sing} _{i+1}(X)\rightarrow \mathrm {sing} _{i}(X)}$

による

${\displaystyle d_{i}(\sigma )=\sigma \circ d^{i},}$

ここで、 は- 番目の面写像です。これが実際に Δ-集合であることを確認できます。これは、位相空間のカテゴリから Δ-集合のカテゴリへの共変関数を定義します。位相空間は、先ほど説明した Δ-集合に持ち込まれ、空間の連続写像は、特異なn -単体と写像を合成することで得られる Δ-集合の写像に持ち込まれます。 ${\displaystyle d^{i}}$${\displaystyle i}$

この例は、上で説明した構成を示しています。単位円を幾何学的に実現するΔ集合Sを作成し、それを使ってこの空間のホモロジーを計算することができます。を端点が特定された区間として 考え、次のように定義します。${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle S_{0}=\{v\},\quad S_{1}=\{e\},}$

すべてに対してとなる。可能なマップは ${\displaystyle S_{n}=\varnothing }$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle d_{0},d_{1}\colon S_{1}\rightarrow S_{0},}$

${\displaystyle d_{0}(e)=d_{1}(e)=v.\quad }$

これがΔ集合であること、また であることは簡単に確認できます。ここで、関連する鎖複体は ${\displaystyle |S|\cong S^{1}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} S,\partial )}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} \langle e\rangle {\stackrel {\partial _{1}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \langle v\rangle \longrightarrow 0,}$

どこ

${\displaystyle \partial _{1}(e)=d_{0}(e)-d_{1}(e)=v-v=0.}$

実際、すべてのnに対して、この鎖複体のホモロジーも簡単に計算できます。 ${\displaystyle \partial _{n}=0}$

${\displaystyle H_{0}(\mathbb {Z} S)={\frac {\ker \partial _{0}}{\mathrm {im} \partial _{1}}}=\mathbb {Z} \langle v\rangle \cong \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle H_{1}(\mathbb {Z} S)={\frac {\ker \partial _{1}}{\mathrm {im} \partial _{2}}}=\mathbb {Z} \langle e\rangle \cong \mathbb {Z} .}$

他のすべてのホモロジー群は明らかに自明です。

次の例は、ハッチャーの代数的位相幾何学のセクション2.1からの抜粋です。^[1]図のトーラスに与えられたΔ集合構造を考えます。このトーラスには1つの頂点、3つの辺、2つの単体があります。

境界マップは頂点が1つしかないため0であり、 です。を の基底とします。 すると となり、 となり 、したがって${\displaystyle \partial _{1}}$${\displaystyle H_{0}(T^{2})={\text{ker }}\partial _{0}/{\text{ im }}\partial _{1}=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \{e_{0}^{1},e_{1}^{1},e_{0}^{1}+e_{1}^{1}-e_{2}^{1}\}}$${\displaystyle \Delta _{1}(T^{2})}$${\displaystyle \partial _{2}(e_{0}^{2})=e_{0}^{1}+e_{1}^{1}-e_{2}^{1}=\partial _{2}(e_{1}^{2})}$${\displaystyle {\text{im }}\partial _{2}=\langle e_{0}^{1}+e_{1}^{1}-e_{2}^{1}\rangle }$${\displaystyle H_{1}(T^{2})={\text{ker }}\partial _{1}/{\text{ im }}\partial _{2}=\mathbb {Z} ^{3}/\mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}.}$

3 単体は存在しないので、  です。が 0 となるのは の場合のみであり、 の場合に限ります。したがって、は によって生成される無限巡回です。 ${\displaystyle H_{2}(T^{2})={\text{ker }}\partial _{2}}$${\displaystyle \partial _{2}(pe_{0}^{2}+qe_{1}^{2})=(p+q)(e_{0}^{1}+e_{1}^{1}-e_{2}^{1})}$${\displaystyle p=-q}$${\displaystyle {\text{ker }}\partial _{2}}$${\displaystyle e_{0}^{2}-e_{1}^{2}}$

だから。明らかに${\displaystyle H_{2}(T^{2})=\mathbb {Z} }$${\displaystyle H_{n}(T^{2})=0}$${\displaystyle n\geq 3.}$

したがって、 ${\displaystyle H_{n}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0,2\\\mathbb {Z} ^{2}&n=1\\0&n\geq 3.\end{cases}}}$

単体複合体の構造を与えるために必要な単体の最小数は、頂点 7 個、辺 21 個、2 単体 14 個、合計 42 個の単体であることは注目に値します。これにより、6 個の単体のみを使用した上記の計算を手作業で行うのがはるかに難しくなります。 ${\displaystyle T^{2}}$

これは例ではありません。線分を考えてみましょう。これは 1 次元 Δ 集合であり、1 次元単体集合です。ただし、線分を 2 次元単体集合として見た場合、2 単体は退化していると見なされ、そのような退化は許容されないため、線分は Δ 集合ではありません。

ここで、Δ 集合と単体集合の関係を調べます。単体カテゴリ を考えます。このカテゴリの対象は有限全順序集合で、射は単調写像です。単体集合は上の前層、つまり (反変)関数として定義されます。一方、のサブカテゴリ を考えます。このカテゴリの射は厳密な単調写像のみになります。 の射はへの注入とまったく同じであり、これらは要素 を「スキップ」する形式の単調写像によって生成されることが証明できることに注目してください。このことから、上の前層は、一連の集合(ここでは簡単のためで表記) との写像(ここでも簡単のためで表記) によって決定されることがわかります。実際、で であることを確認した後、次の結論が導き出されます。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle [n]:=\{0,1,\cdots ,n\}}$${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle S:\Delta ^{\text{op}}\to {\text{Set}}}$${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \delta ^{i}:[n]\to [n+1]}$${\displaystyle i\in [n+1]}$ ${\displaystyle S:{\hat {\Delta }}^{\text{op}}\to {\text{Set}}}$${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$${\displaystyle \{S_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle S([n])}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle d_{i}:S_{n+1}\to S_{n}}$${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n+1}$${\displaystyle S(\delta ^{i})}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle \delta ^{j}\circ \delta ^{i}=\delta ^{i}\circ \delta ^{j-1}}$${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$

${\displaystyle d_{i}\circ d_{j}=d_{j-1}\circ d_{i}}$

のときはいつでも となる。したがって、上の前層はΔ-集合のデータを決定し、逆に、すべての Δ-集合はこのようにして生じる。^[2]さらに、と を（反変）関数と見なすと、 Δ-集合間の Δ-写像は自然な変換に対応する。この意味で、 Δ-集合は上の前層であり、単体集合は 上の前層である。 ${\displaystyle i<j}$${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\hat {\Delta }}}$${\displaystyle \Delta }$

この観点から、すべての単体集合が Δ 集合であることが簡単にわかります。実際、包含 があることに注目してください。したがって、すべての単体集合は自然に Δ 集合、つまり合成集合 を生み出します。 ${\displaystyle {\hat {\Delta }}\hookrightarrow \Delta }$ ${\displaystyle S:\Delta ^{\text{op}}\to {\text{Set}}}$${\textstyle {\hat {\Delta }}^{\text{op}}\hookrightarrow \Delta ^{\text{op}}\xrightarrow {S} {\text{Set}}}$

このように Δ 集合を使用する利点の 1 つは、結果として得られる連鎖複体が、特異連鎖複体よりも一般にはるかに単純になることです。適度に単純な空間では、すべてのグループは有限生成されますが、特異連鎖グループは一般に可算生成でさえありません。

この方法の欠点の 1 つは、 Δ 集合の幾何学的実現が実際に問題の位相空間に同相であることを証明する必要があることです。これは、Δ 集合の複雑さが増すにつれて、計算上の課題になる可能性があります。

• 単体複体
• 単体集合
• 特異ホモロジー

• Ranicki, Andrew A. (1993). 代数的 L 理論と位相多様体(PDF) . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 102. Cambridge Univ. Press . ISBN 978-0-521-42024-2。
• Ranicki, Andrew ; Weiss, Michael (2012). 「Δ-集合の代数的 L-理論について」.純粋および応用数学季刊誌. 8 (2): 423–450. arXiv : math.AT/0701833 . doi :10.4310/pamq.2012.v8.n2.a3. MR  2900173.
• Rourke, Colin P. ; Sanderson, Brian J. (1971). 「Δ-集合 I: ホモトピー理論」. Quarterly Journal of Mathematics . 22 (3): 321–338. Bibcode :1971QJMat..22..321R. doi :10.1093/qmath/22.3.321.