クロス乗算

数学、特に初等算術と初等代数では、2 つの分数または有理式の間の方程式が与えられた場合、クロス乗算を行って方程式を簡略化したり、変数の値を決定したりすることができます。

この方法は、掛け算する対象を覚えるためにハートの輪郭に似た線を描くことができるため、「ハートを交差させる」方法とも呼ばれることがあります。

次のような方程式があるとする

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

bとdがゼロでない場合は、次のように掛け算すると

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{または}}\quad a={\frac {bc}{d}}.}$

ユークリッド幾何学では、相似三角形の比率を考慮することによって同じ計算を行うことができます。

実際には、クロス乗算法とは、各辺（または一方）の分子をもう一方の辺の分母で乗算し、実質的に項を交差させることを意味します。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

この方法の数学的正当性は、以下のより長い数学的手順から得られる。基本方程式から始めると、

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

両辺の項に同じ数を掛けても、項は等しくなります。したがって、両辺の分数に両辺の分母の積、つまりbdを掛けると、次のようになります 。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$

左辺の2つのbと右辺の 2つのdが打ち消されることに注目して、分数を最小の項に減じることができます。

${\displaystyle ad=bc,}$

そして、方程式の両辺を任意の要素で割ることができます。この場合、dを使用します。

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}$

クロス乗算のもう一つの正当性は次の通りである。与えられた方程式から始めると

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

⁠を掛けるd/d⁠ = 1 左側と⁠b/b⁠ = 1 右側、

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},}$

など

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

共通分母bd = dbを消去すると、

${\displaystyle ad=cb.}$

これらの手順の各ステップは、方程式の単一の基本的な特性に基づいています。クロス乗算は近道であり、生徒に教えることができる簡単に理解できる手順です。

これは数学では一般的な手順で、分数を約分したり、分数内の特定の変数の値を計算したりするのに使用されます。方程式があるとします。

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},}$

ここでxは解くことに興味がある変数であり、クロス乗算を使用して次の式を求めることができる。

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

例えば、車の速度が一定で、過去3時間ですでに90マイル走行していることがわかっている場合、車が7時間でどのくらいの距離を走行するかを知りたいとします。この文章問題を比率に変換すると、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {x}{7\ {\text{時間}}}}={\frac {90\ {\text{マイル}}}{3\ {\text{時間}}}}.}$

クロス乗算による収量

${\displaystyle x={\frac {7\ {\text{時間}}\times 90\ {\text{マイル}}}{3\ {\text{時間}}}},}$

など

${\displaystyle x=210\ {\text{マイル}}.}$

代替解決策

⁠90マイル/3時間⁠ =時速30マイル

つまり、時速30マイル×7時間=210マイルです。

次のような単純な方程式でも、

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

欠けているb項は暗黙的に1に等しい ので、クロス乗算を使用して解くことができます。

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

分数や有理数を含む方程式は、両辺に最小公分母を掛けることで簡略化できます。この手順は分数の消去と呼ばれます。

3の法則[ ^1]は、暗記で生徒に教えることができる特定の形式のクロス乗算の歴史的な速記版でした。植民地時代の数学教育の最高峰と考えられており^[2]、現在でもフランスの中等教育の国家カリキュラム^[3]やスペインの初等教育カリキュラムに含まれています。^[4]

次のような方程式の場合

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},}$

評価する変数が右辺の分母にある場合、3の法則は次のように述べている。

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}$

この文脈では、a は比率の極値と呼ばれ、 bとc は平均と呼ばれます。

この規則は2世紀以前にはすでに中国の数学者に知られていましたが^[5]、ヨーロッパではずっと後になってから使用されました。

17世紀の最高の教科書であるコッカーの算術では、3の法則^[6]の議論を「4ヤードの布が12シリングの値段だとすると、そのレートで6ヤードの布はいくらになるだろうか」という問題で始めています。3の法則は、この問題に直接答えを与えます。一方、現代の算術では、6ヤードの布のコストを表す変数xを導入して、次の式を書き下すことで この問題を解きます。

${\displaystyle {\frac {4\ {\text{ヤード}}}{12\ {\text{シリング}}}}={\frac {6\ {\text{ヤード}}}{x}}}$

そして、クロス乗算を使用してx を計算します。

${\displaystyle x={\frac {12\ {\text{シリング}}\times 6\ {\text{ヤード}}}{4\ {\text{ヤード}}}}=18\ {\text{シリング}}.}$

1570年の匿名の原稿^[7]には、「掛け算は面倒、割り算も同様に面倒。3の法則は私を困惑させる、実践は私を狂わせる」と書かれている。

チャールズ・ダーウィンは、新たに発見された属の種の数を推定する際に3の法則を使ったと述べています。^{[8] 1855年に}ウィリアム・ダーウィン・フォックスに宛てた手紙の中で、チャールズ・ダーウィンは「実際の測定と3の法則以外は何も信じない」と宣言しました。^[9] カール・ピアソンはこの宣言を、彼が新たに創刊した雑誌『バイオメトリカ』のモットーとして採用しました。^[10]

3 のルールの拡張として、3 つの値ではなく 5 つの値がわかっている場合に未知の値を見つけるという 二重の 3 のルールがありました。

このような問題の例としては、 「6人の建築業者が100日間で8軒の家を建てることができる場合、10人の建築業者が同じペースで20軒の家を建てるには何日かかるか？」というものがあり、これは次のように設定できます。

${\displaystyle {\frac {\frac {8\ {\text{住宅}}}{100\ {\text{日}}}}{6\ {\text{建設業者}}}}={\frac {\frac {20\ {\text{住宅}}}{x}}{10\ {\text{建設業者}}}},}$

これを2回掛け算すると、

${\displaystyle x={\frac {20\ {\text{住宅}}\times 100\ {\text{日数}}\times 6\ {\text{建設業者}}}{8\ {\text{住宅}}\times 10\ {\text{建設業者}}}}=150\ {\text{日数}}.}$

ルイス・キャロルの『気違い庭師の歌』には、「彼は庭の扉が鍵で開くのを見たと思った。もう一度よく見ると、それは二重の三つのルールだった」という一節がある。^[11]

• クロスレシオ
• オッズ比
• トライラシカ
• 回転（角度）
• ユニタリー法

• ブライアン・バーレル：メリアム・ウェブスターの日常数学ガイド：家庭とビジネスのための参考書。メリアム・ウェブスター、1998年、ISBN 9780877796213、pp. 85-101 
• 「数学博士」、3つのルール
• 「数学博士」、エイブラハム・リンカーンと3つのルール
• パイクの算術体系の要約: 最も明快で正確な規則を理解し、役に立つ例を挙げて数科学の研究を容易にするために設計されました。これに学者の試験のための適切な質問と簡単な簿記システムが追加されています。1827年 - 関連するセクションの複製
• 15世紀にミカエル・オブ・ロードスが適用した「3の法則」
• マザーグースの3つのルール
• ラドヤード・キップリング: 分数や単純な 3 の法則で計算することもできますが、トゥイードルダムのやり方はトゥイードルディーのやり方ではありません。

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