平行曲線

曲線の平行線は、曲線を中心とする合同な円の族の包絡線です。これは、平行線（直線）の概念を一般化したものです。また、与えられた曲線から一定の法線距離にある点を持つ曲線として定義することもできます。 ^[1] これら 2 つの定義は、後者は滑らかさを前提としているのに対し、前者はそうではないため、完全に同等というわけではありません。^[2]

コンピュータ支援設計では、平行曲線はオフセット曲線と呼ばれることが多い。^{[2] [3] [4]}（他の幾何学的文脈では、オフセットという用語は移動を指すこともある。^[5]）オフセット曲線は、例えば数値制御 加工において重要であり、2軸機械の円形切削工具による切削形状などを表す。切削形状は、あらゆる点で工具の軌跡に垂直な方向に一定距離だけ工具の軌跡からオフセットされる。^[6]

ベクターグラフィックスとして知られる2Dコンピュータグラフィックスの分野では、平行曲線の（近似的な）計算は、ストロークと呼ばれる基本的な描画操作の1つに含まれており、この分野ではポリラインやポリベジェ（パスと呼ばれる）に典型的に適用されます。^[7]

直線や円の場合を除き、平行曲線は親曲線よりも複雑な数学的構造を持ちます。^[1]たとえば、親曲線が滑らかであっても、そのオフセットは滑らかではない場合があります。この特性は、正弦曲線を親曲線として使用した上の図に示されています。 ^{[2]一般に、曲線が}有理曲線であっても、そのオフセットは有理曲線ではない場合があります。たとえば、放物線のオフセットは有理曲線ですが、楕円や双曲線のオフセットは、これらの親曲線自体は有理曲線であっても有理曲線ではありません。^[3]

この概念は 3Dサーフェスにも一般化され、オフセット サーフェスまたは平行サーフェスと呼ばれます。^[8]ソリッドボリュームを (一定の) 距離オフセットで増やすことは、膨張と呼ばれることがあります。^[9]その逆の操作は、シェリングと呼ばれることがあります。^{[8]オフセット サーフェスは}数値制御 加工において重要であり、3 軸工作機械のボール ノーズ エンド ミルによる切削の形状を表します。^[10]切削ビットの他の形状は、一般的なオフセット サーフェスによって数学的にモデル化できます。^[11]

与えられた曲線の通常のパラメトリック表現が利用可能な場合、平行曲線の2番目の定義(上記を参照)により、距離を持つ平行曲線の次のパラメトリック表現が得られます。 ${\displaystyle {\vec {x}}=(x(t),y(t))}$${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$単位は normal です。${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

デカルト座標では:

${\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$

${\displaystyle y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .}$

距離パラメータは負の場合もあります。この場合、曲線の反対側に平行曲線が得られます (円の平行曲線の図を参照)。直線の平行曲線が常識的な意味での平行線であり、円の平行曲線が同心円であることは簡単に確認できます。 ${\displaystyle d}$

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$つまり、固定パラメータの接線ベクトルは平行です。
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}},\quad }$与えられた曲線の曲率とパラメータ に対する平行曲線の曲率です。${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle k_{d}(t)}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+d,\quad }$与えられた曲線の曲率半径と パラメータ に対する平行曲線の曲率半径です。${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle R_{d}(t)}$${\displaystyle t}$
• 対応する点における平行曲線と接する円は同心円である。 ^[13]
• 平行線に関しては、曲線に対する法線はその平行線に対しても垂直です。
• 平行曲線を作成すると、曲線からの距離が曲率半径と一致するときに尖点ができます。これらは、曲線が縮閉線に接する点です。
• 親曲線が平面集合の境界であり、その平行曲線に自己交差がない場合、後者は平面集合と指定された半径の円板とのミンコフスキー和の境界です。

与えられた曲線が多項式（つまり、とが多項式である）である場合、平行曲線は通常多項式ではありません。CAD分野では、CADシステムは多項式または有理曲線を使用するため、これは欠点です。少なくとも有理曲線を得るためには、平行曲線の表現の平方根が解ける必要があります。このような曲線はピタゴラスホドグラフ曲線と呼ばれ、RT Faroukiによって研究されました。^[14]${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$

一般に、暗黙曲線の平行曲線の解析的表現は不可能です。直線と円の単純なケースでのみ、平行曲線を簡単に記述できます。例:

直線 →距離関数：（ヘッセ正規形）${\displaystyle \;f(x,y)=x+y-1=0\;}$${\displaystyle \;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;}$

円 → 距離関数:${\displaystyle \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;}$${\displaystyle \;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.}$

一般的に、特定の条件を仮定すると、有向距離関数 の存在を証明することができます。実際には、数値的に処理する必要があります。^[15]平行曲線を考えると、次のことが当てはまります。 ${\displaystyle h(x,y)}$

• 距離 d の平行曲線は、対応する有向距離関数のレベル セット です。${\displaystyle h(x,y)=d}$${\displaystyle h}$

• ${\displaystyle |\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,}$
• ${\displaystyle h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,}$
• ${\displaystyle \operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.}$

例:
図は、方程式を持つ暗黙の曲線の平行曲線を示しています。注:は関心領域で成り立たない ため、 曲線は平行曲線ではありません。${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.}$
${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;}$${\displaystyle \;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;}$

• 与えられた曲線のインボリュートは、平行な曲線の集合です。たとえば、円のインボリュートは平行な螺旋です (図を参照)。

そして：^[17]

• 放物線には、 6 次有理曲線のオフセットが (両側に) あります。
• 双曲線または楕円は、（両側の）オフセットとして、次数 8 の代数曲線を持ちます。
• n次ベジェ曲線には、次4 n − 2の(両側) オフセット代数曲線が 個あります。特に、3 次ベジェ曲線には、 次 10 の (両側) オフセット代数曲線が 個あります。

機械加工で鋭角のある部品の切削パスを決定する場合、コーナーで不連続な法線を持つ特定の曲線に平行 (オフセット) 曲線を定義する必要があります。特定の曲線が鋭角で滑らかでなくても、その平行曲線は連続した法線で滑らかになるか、曲線からの距離が鋭角の曲率半径と一致するときに尖端を持つ場合があります。

上で説明したように、距離を持つ与えられた曲線 に平行な曲線 のパラメトリック表現は次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$単位は normal です。${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

鋭角な角（ ）では、によって与えられるへの法線は不連続であり、つまり、左からの法線の片側極限は右からの極限と等しくない。数学的には、 ${\displaystyle t=t_{c}}$${\displaystyle {\vec {x}}(t_{c})}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$

${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)}$。

しかし、との間の補間関数を提供する正規ファン^[11] を定義し、鋭角の角の 代わりにを使用することができます。${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$

${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad }$どこ。${\displaystyle 0<\alpha <1}$

結果として得られる平行曲線の定義により、望ましい動作が実現されます。 ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{if }}t<t_{c}{\text{ or }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{if }}t=t_{c}{\text{ where }}0<\alpha <1\end{cases}}}$

一般に、ベジェ曲線の平行曲線は別のベジェ曲線ではないことが、1984年にティラーとハンソンによって証明された結果である。^[18]そのため、実際には近似手法が使用される。曲線を繰り返し細分化することで、任意の精度レベルを実現できるが、より優れた手法では、同じレベルの精度を達成するために必要な細分化が少なくなる。エルバー、リー、キムによる1997年の調査^{[19]は広く引用されているが、最近ではより優れた手法が提案されている。}曲線フィッティングに基づく最新の手法は、他のアルゴリズムへの参照や比較、オープンソースのJavaScriptソースコードとともに、2022年9月の ブログ投稿^{[20]で公開された。}

オフセットのためのもう一つの効率的なアルゴリズムは、 KimmelとBruckstein（1993）によって説明されたレベルアプローチである 。 ^[21]

オフセット面は数値制御 加工において重要であり、3軸フライス盤のボールノーズエンドミルによる切削形状を記述します。^[10]与えられた面の通常のパラメトリック表現が利用可能な場合、平行曲線の2番目の定義（上記参照）は、距離を持つ平行面の次のパラメトリック表現に一般化されます。 ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)}$単位は normal です。${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}}$

距離パラメータは負になることもあります。この場合、表面の反対側に平行な表面が得られます (円の平行曲線に関する同様の図を参照)。簡単に確認できます。平面の平行な表面は一般的な意味での平行な平面であり、球の平行な表面は同心球です。 ${\displaystyle d}$

• ${\displaystyle {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad }$つまり、固定パラメータの接線ベクトルは平行です。
• ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad }$つまり、固定パラメータの法線ベクトルは方向と一致します。
• ${\displaystyle S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad }$ここで、 および はそれぞれ、およびの形状演算子です。${\displaystyle S_{d}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

主曲率は形状演算子の固有値、主曲率方向はその固有ベクトル、ガウス曲率はその行列式、平均曲率はそのトレースの半分です。

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad }$ここで、およびはそれぞれ、およびの形状演算子の逆です。${\displaystyle S_{d}^{-1}}$${\displaystyle S^{-1}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

主曲率半径は形状演算子の逆の固有値であり、主曲率方向はその固有ベクトルであり、ガウス曲率の逆数はその行列式であり、平均曲率半径はそのトレースの半分です。

平行曲線の幾何学的特性との類似性に注意してください。

この問題は、比較的高次元、例えばオフセット面にも一般化できますが、パイプ面にも多少は一般化できます。^[23]高次元版の用語は平面の場合よりもさらに幅広く変化することに注意が必要です。例えば、他の著者は平行繊維、リボン、チューブについて語っています。^{[24] 3D 面に埋め込まれた曲線の場合、オフセットは}測地線に沿って取られることがあります。^[25]

これを一般化する別の方法は、（2Dでも）可変距離、例えば別の曲線でパラメータ化された距離を考慮することです。 [ ^{22 ]例えば}METAFONTで可能であるように、例えば円の代わりに楕円でストローク（エンベロープ）を描くことができます。^[22]

最近ではAdobe IllustratorのバージョンCS5で似たような機能が追加されましたが、可変幅の制御点は視覚的に指定されています。^[27]一定距離オフセットと可変距離オフセットを区別することが重要な文脈では、頭字語CDOとVDOが使用されることがあります。^[9]

曲線 の通常のパラメトリック表現があり、単位法線 でパラメータ化できる 2 番目の曲線があるとします。ここで、 の法線は (この法線によるパラメータ化は、曲率が厳密に正または負であり、凸型で滑らかで直線ではない曲線に対して存在します)。によるオフセットの一般的なオフセット曲線のパラメトリック表現は次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad }$ここで はの単位法線です。${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$

三角オフセット では、通常の平行 (オフセットとも呼ばれる) 曲線が得られることに注意してください。 ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$つまり、固定パラメータの接線ベクトルは平行です。
• 平行線に関しては、曲線の法線はその一般的なオフセットに対しても垂直です。
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad }$一般的なオフセット曲線の曲率、の 曲率、およびパラメータの の曲率です。${\displaystyle k_{d}(t)}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle k_{n}(t)}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad }$一般的なオフセット曲線の曲率半径、 の曲率半径、パラメータの曲率半径です。${\displaystyle R_{d}(t)}$${\displaystyle R(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle R_{n}(t)}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$${\displaystyle t}$
• 一般的なオフセット曲線が構築されると、曲線の曲率がオフセットの曲率と一致するときに、曲線に尖点が生じます。これらは、曲線が縮閉線に接する点です。

一般的なオフセット面は、数値制御 加工における3軸エンドミルで使用されるさまざまな切削ビットによって作られたカットの形状を記述します。^[11]面の通常のパラメトリック表現 があり、単位法線 によってパラメータ化できる2番目の面があるとします。ここで、 の法線は です（この法線によるパラメータ化は、ガウス曲率が厳密に正であり、凸型で滑らかで平坦ではない面に対して存在します）。によってオフセットされた一般的なオフセット面のパラメトリック表現は次のとおりです。 ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad }$ここで はの単位法線です。${\displaystyle {\vec {n}}(u,v)}$${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$

三角オフセット では、通常の平行 (オフセットとも呼ばれる) サーフェスが得られることに注意してください。 ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

• 平行線に関しては、サーフェスの接線平面はその一般的なオフセットの接線平面に平行です。
• 平行線に関しては、面に対する法線はその一般的なオフセットに対しても垂直です。
• ${\displaystyle S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad }$ここで、 および はそれぞれ、およびの形状演算子です。${\displaystyle S_{d},S,}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

主曲率は形状演算子の固有値、主曲率方向はその固有ベクトル、ガウス曲率はその行列式、平均曲率はそのトレースの半分です。

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad }$ここで、およびはそれぞれ、およびの形状演算子の逆です。${\displaystyle S_{d}^{-1},S^{-1}}$${\displaystyle S_{n}^{-1}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

主曲率半径は形状演算子の逆の固有値であり、主曲率方向はその固有ベクトルであり、ガウス曲率の逆数はその行列式であり、平均曲率半径はそのトレースの半分です。

一般的なオフセット曲線の幾何学的特性との類似性に注意してください。

一般的なオフセット曲線およびサーフェスについて上記に挙げた幾何学的特性は、任意の次元のオフセットに対しても導出できます。n 次元サーフェスの通常のパラメトリック表現 があり、の次元がn-1 であるとします。また、単位法線 によってパラメータ化できる 2 番目の n 次元サーフェスがあるとします。ここで、 の法線は(この法線によるパラメータ化は、ガウス曲率が厳密に正であり、凸型で滑らかで平坦ではないサーフェスに対して存在します)。によってオフセットされた一般的なオフセット サーフェスのパラメトリック表現は次のとおりです。 ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad }$ここで、は の単位法線です。(三項オフセット により、通常の平行面が得られます。)${\displaystyle {\vec {n}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

まず、定義によりの法線の法線が であることに注目してください。次に、に関して微分を適用すると、その接平面にまたがる接線ベクトルが得られます。 ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})=}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),}$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

の接線ベクトルは、同じ単位法線を共有するとそのオフセットの接線ベクトルの合計であることに注目してください。したがって、一般的なオフセット サーフェスは、およびと同じ接線平面と法線を共有します。これは、エンベロープの性質と一致します。 ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

ここで、形状演算子のWeingarten 方程式を考えます。これは と記述できます。 が逆である場合、 となります。表面の主曲率は形状演算子の固有値、主曲率方向は固有ベクトル、ガウス曲率はその行列式、平均曲率はトレースの半分であることを思い出してください。形状演算子の逆は、曲率半径に対してこれらの同じ値を保持します。 ${\displaystyle \partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}}$

の微分方程式に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad }$ここで、 はの形状演算子です。${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

次に、Weingarten方程式を再度使用して、 を置き換えます。 ${\displaystyle \partial {\vec {n}}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad }$ここで、 はの形状演算子です。${\displaystyle S}$${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$

次に、 を解き、両辺に を掛けてWeingarten 方程式に戻ります。今回は についてです。 ${\displaystyle \partial {\vec {x}}}$${\displaystyle -S}$${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},}$

${\displaystyle -\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.}$

したがって、両辺を反転すると、 となります。 ${\displaystyle S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S}$${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}}$

• バンプマッピング
• 距離関数と符号付き距離関数
• 距離フィールド
• オフセット印刷
• 管状の地区

• Josef Hoschek:平面上のオフセット曲線。CAD . 17 (1985)、S. 77–81。
• 前川隆司:オフセット曲線とオフセット曲面の概要. CAD . 31 (1999), S. 165–173.

• Farouki, RT; Neff, CA (1990). 「平面オフセット曲線の解析特性」.コンピュータ支援幾何学設計. 7 (1–4): 83–99. doi :10.1016/0167-8396(90)90023-K.
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• MathWorld の平行曲線
• 平面曲線のビジュアル辞書 Xah Lee
• http://library.imageworks.com/pdfs/imageworks-library-offset-curve-deformation-from-Skeletal-Anima.pdf アニメーションへの応用。米国特許 8,400,455として特許取得済み。
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