20進法

20進法( / v ɪ ˈ dʒ ɛ s ɪ m əl / vij- ESS -im-əl ) または20 進法(基数) の記数法は、20を基準とします ( 10 進法が10を基準としているのと同じように)。20進法は、「20 番目」を意味するラテン語の形容詞vicesimusに由来します。

20進法では、20個の数字（または数字記号）が使用され、10進法よりも10個多い。必要な追加記号を見つける現代的な方法の1つは、10を文字A、つまりA ₂₀（_20は基数 20を意味する）で書き、 19をJ ₂₀と書き、その間の数字を対応するアルファベットの文字で書くというものである。これは、 9を超える16進数を文字「A～F」で書くという、コンピューターサイエンスの一般的な慣習に似ている。もう1つのあまり一般的ではない方法は、文字「I」を飛ばして、I _{20 を}18と1と混同しないようにする方法である。そのため、18はJ ₂₀、19はK _{20と書く。20は10 20}と書く。

この表記によれば:

20 _20は10進数の40に相当します= (2 × 20 ¹ ) + (0 × 20 ⁰ )

D0 _20は10進数では260に相当します= (13 × 20 ¹ ) + (0 × 20 ⁰ )

100 ₂₀は 10進数の400 = (1 × 20 ² ) + (0 × 20 ¹ ) + (0 × 20 ⁰ )に相当します。

この記事の残りの部分では、特に指定がない限り、数字は 10 進法で表されます。たとえば、10 は10 を意味し、20 は20 を意味します。20 進法の数字では、I は 18 を意味し、J は 19 を意味するという規則が使用されます。

20 は 2 と 5 で割り切れ、3 と 7 の積である 21 に隣接しており、最初の 4 つの素数をカバーするため、多くの 20 進分数は、有限分数でも循環分数でも、単純な表現になります (ただし、3 分の 1 は 1 桁ではなく 2 桁が繰り返されるため、10 進数よりも複雑です)。10 進数では、3 で 2 回割ると (9 分の 1 を)、1 桁のピリオドしか得られません ( ⁠1/9⁠ = 0.1111....など)、これは9が10未満の数だからです。しかし、20に隣接する3で割り切れる数21は、9で割り切れません。20進数の9分の1には6桁の周期があります。20には10と同じ素因数(2と5)があるため、分数が小数で終わるのは、20進数で終わる場合のみです。

20 の素因数分解は 2 ²  × 5 なので、完全なべき乗ではありません。しかし、その平方根のない部分 5 は 1 (mod 4) と合同です。したがって、原始根に関する Artin の予想によれば、20 進数には無限に多くの巡回素数がありますが、巡回する素数の割合は必ずしも ~37.395% ではありません。与えられた基数セットでさまざまな分数の循環周期の長さを計算する UnrealScript プログラムでは、最初の 15,456 個の素数のうち、~39.344% が 20 進数で巡回することが分かりました。

フランス語やデンマーク語など、いくつかのヨーロッパ言語では、少なくとも特定の数字の名前の言語構造に関しては、 20 が基数として使用されます (ただし、20、400、8000 などの累乗に基づく、徹底して一貫した 20 進法は一般的に使用されていません)。

20進法を使用する文化の多くは、5から20までを数え、20を同様に数えます。このようなシステムは、言語学者によって20進法の5進法と呼ばれています。例としては、グリーンランド数字、イヌピアック数字、カクトビク数字、マヤ数字、ヌニヴァク・カップグ数字、ユピック数字などがあります。^{[1] [2] [3]}

20進法はアフリカでは一般的であり、例えばヨルバ語で使用されています。^[4]ヨルバ語の記数法は20進法とみなすことができますが、複雑です。^{[さらに説明が必要]}

• 20 はマヤとアステカの数体系の基数です。マヤでは 20 の累乗を次のように呼んでいます: kal (20)、bak (20 ² = 400)、pic (20 ³ = 8,000)、calab (20 ⁴ = 160,000)、kinchil (20 ⁵ = 3,200,000)、alau (20 ⁶ = 64,000,000)。マヤ数字とマヤ暦、ナワトル語を参照してください。
• イヌイット・ユピック・ウナンガックス語族の言語は20進法の記数法を採用している。1994年、アラスカ州カクトビックのイヌイットの学生たちが、自分たちの言語をより良く表すために20進法のカクトビック数字を考案した。この発明が復活するまで、イヌイット数字は使われなくなっていた。^[5] カクトビック数字は以下の通り。

• ブータンの国語であるゾンカ語は完全な20進法を採用しており、20、400、8,000、160,000の累乗数があります。
• アトン語はインド北東部のメガーラヤ州南部ガロ丘陵とバングラデシュの隣接地域で話されている言語で、完全な20進法を採用しているが、現在では時代遅れだと考えられている。^[6]
• インドのムンダ語族サンタリ語では、「50」は「bār isī gäl」という語句で表現され、文字通り「2、20、10」を意味します。^{[7]同様に、インドで話されている別のムンダ語族}ディデイ語では、複雑な数字は10進法で19、10進法で399となります。^[8]
• ブルシャスキ数体系は20 進数です。たとえば、20 祭壇、40 alto-altar (20 の 2 倍)、60 iski-altar (20 の 3 倍) などです。
• 東アジアでは、アイヌ語でも 20 を基準とした数え方を採用している。「ホトネプ」は 20、「ワンペ・エツ・ホトネプ」（20 が 2 つになるまであと 10）は30、「ツ・ホトネプ」（20 が 2 つ）は 40、「アシクネ・ホトネプ」（20 が 5 つ）は100である。減算も頻繁に使用され、例えば「シネペサンペ」（10 まであと 1 つ）は 9 である。^{[引用が必要]}
• チュクチ語は20進法の記数法を採用している。^[9]

ニュージーランドのマオリ語には、戦争部隊を指す「Te Hokowhitu a Tu」 （文字通り「Tuの7つの20」）や偉大な戦士を指す「Tama-hokotahi」 （「20に等しい一人の男」）という用語に見られるように、20進法の使用の証拠がいくつかあります。

• 20 ( otsi、ოცი ) は、グルジア語で 30 から 99 までの基数として使用されます。たとえば、31 ( otsdatertmeti、ოცდათერთმეტი ) は文字通り、20 と 11 を意味します。67 ( samotsdashvidi、სამოცდაშვიდი ) は、「3-27」と言われます。
• 20 ( tq'a、 ткъа、 ტყა ) は、ナフ語族(チェチェン語、イングーシ語、バツビ語)の基数として使用されます。

• 20 ( vingt ) は、ベルギー、スイス、コンゴ民主共和国、ルワンダ、ヴァッレ・ダオスタ、チャンネル諸島のフランス語を除き、70から99までの数字のフランス語名で基数として使用されます。たとえば、フランス語で「80 」を表すquatre-vingts は、文字通り「20代4つ」を意味します。 「 70 」を表すsoixante-dixは、文字通り「60-10」です。soixante -quinze (「75」) は、文字通り「60-15」です。quatre -vingt-sept (「87」) は、文字通り「20代4つ7つ」です。quatre -vingt-dix (「90」) は、文字通り「20代4つ10つ」です。そして、quatre-vingt-seize (「96」) は文字通り「4-20-16」です。ただし、ベルギー、スイス、コンゴ民主共和国、ルワンダ、ヴァッレ・ダオスタ、チャンネル諸島のフランス語では、数字 70 と 90 は一般にseptanteとnonanteと呼ばれます。したがって、1996 年はパリのフランス語ではmille neuf cent quatre-vingt-seizeですが、ベルギーのフランス語ではmille neuf cent nonante-sixです。スイスでは、「80」はquatre-vingts (ジュネーブ、ヌーシャテル、ジュラ) またはhuitante (ヴォー、ヴァレー、フリブール)になります。
• 20 ( tyve ) は、50から90までのデンマーク語の10の位を表す基数として使用されます。たとえば、 tres ( tresindstyveの短縮形) は、20の3倍、つまり60 を意味します。ただし、デンマークの数字は20進法ではありません。これは、語源的に20進法で形成されるのは10の位の名前の一部だけだからです。たとえばフランス語のquatre-vingt-seizeとは異なり、10進法の特徴である各10の間の単位は0から9までです。詳細については、デンマークの数字を参照してください。
• 20 ( ugent ) は、40 から 49 までと 60 から 99 までのブルトン語の数字名で基数として使用されます。たとえば、 daou-ugent は2 倍の 20、つまり40を意味し、triwec'h ha pevar-ugent (文字通り「3-6 と 4-20」) は 3×6 + 4×20、つまり 98 を意味します。ただし、30 はtregontであり、* dek ha ugent (「10 と 20」) ではありません。また、50 はhanter-kant (「半百」) です。
• 20 ( ugain ) は、ウェールズ語で50 まで ( deg a deugain ) および 60 から 100 まで ( cant ) の数字の基本数として使用されますが、1940 年代以降、10 進法が好まれるようになりました。ただし、20 進法は序数にのみ使用され、時間、お金、度量衡を伝える際に今でも必要とされています。Deugainは「2 つの 20 代」つまり 40 を意味し、trigain は「3 つの 20 代」つまり 60 を意味します。dau ar bymtheg a deugain は57 (15 と 40 の 2 つ) を意味します。ブルトン語と同様に、50 はhanner cant (「半百」) です。流通から撤退する前は、papur chweugain (60 の紙幣) が 10 シリング (120 ペンス) 紙幣の愛称でした。 120 ペンス = 0.5 ポンド スターリングに由来します。chweugain という用語は、現代のウェールズ語で 50 ペンスを意味するために引き続き使用されており、pisin chweugain (「50 ペンス硬貨」) などのフレーズも珍しくありません。
• 20 ( fichead ) は伝統的にスコットランド ゲール語の基数として使用され、deich ar fhicheadまたはfichead 'sa deich は30 (20 を超える 10、または 20 と 10)、dà fhichead 40 (20 個)、dà fhichead 'sa deichとなります。 50 (2 21) / Leth-cheud 50 (50)、tri fichead 60 (20 代 3 つ) など、naoidh fichead 180 (20 代 9 つ) まで続きます。現在、学校では 10 進法が教えられていますが、多くの人々、特に年配の話者は依然として 5 進法を使用しています。
• マン島ゲール語では伝統的に20 ( feed ) が基数として使われており、jeih を feed として30 (10 と 20)、daeed を40 (20 が 2 つ)、jeih を daeed として50 (10 と 20 が 2 つ)、tree feed を60 (20 が 3 つ) などと表します。また、次の 10 進法も存在します: jeih (10)、feed (20)、treead (30)、daeed (40)、queigad (50)、sheyad (60)、shiagtad (70)、hoghtad (80)、nuyad (90)。
• アルバニア語では、 20 ( njëzet ) が基数として使われる。40 ( dyzet ) は「20 の 2 倍」を意味する。イタリアのアルベレシュ語では、 60 をtrizetëで表すことがある。以前は、 katërzetëも 80 に使われていた。今日、ギリシャのチャム・アルバニア人は、すべてzet数を使用している。基本的に、20 は 1 zet、40 は 2 zet、60 は 3 zet、80 は 4 zetを意味する。アルバニア語は、バルカン半島で 10 進法と並んで 20 進法の要素を保持している唯一の言語である。アルバニア語に 2 つのシステムが存在することは、バルカン半島のプレ・インド・ヨーロッパ語族が、パレオ・バルカン・インド・ヨーロッパ語族とその言語の形成に貢献したことを反映している。^[10]
• バスク語では、 20 ( hogei ) は 100 ( ehun )までの数字の基数として使われる。40 ( berrogei )、60 ( hirurogei )、80 ( laurogei )を表す単語は、それぞれ「20」、「30」、「40」を意味する。たとえば、75 という数字は、hirurogeita hamabostと呼ばれ、文字通り「30 と 10 の 5」を意味する。バスク民族主義者のサビーノ・アラナは、話し言葉に合うように 20 進法を提案した^[11]が、代替案として、話し言葉を 10 進法に改革することも提案した^[12]が、どちらもほとんど忘れられている^{[13] 。}
• 20 ( dwistiまたはdwujsti ) は、レジア語の方言 trïkrat dwisti (3×20)で基数として使用され、70 はtrïkrat dwisti nu dësat (3×20 + 10)、80 はštirikrat dwisti (4×20)、および 90 はシュティリクラット ウィスティ ヌデサット(4×20 + 10)。^{[14] [15]}
• 1971年以前にイギリスで使用されていた£sd通貨システムでは、1ポンドは20シリング（1シリングあたり12ペンスの価値）でした。1971年に導入された10進法（1ポンドは旧システムの240ペンスではなく100新ペンスに相当）では、まだ流通しているシリング硬貨は5ペンスに再評価されました（これ以上の鋳造は行われず、シリング硬貨は1990年に廃止されました）。
• 帝国重量法では、 1トンには20ハンドレッドウェイトがあります。
• 英語では、基数20の名称は、最も一般的には「twenty」という単語で表現されます。スコアで数えることは歴史的に使用されてきました。たとえば、ゲティスバーグ演説の有名な冒頭の「80 年前…」は、87 年前の 1776 年にアメリカ独立宣言が調印されたことを指しています。ジェームズ王欽定訳聖書では、スコアという用語は130 回以上使用されていますが、単一のスコアは常に「twenty」と表現されています。スコアは、 12 のグループを数量化するためにダースを使用するのと同様に、20 のグループを示すために今でも時々使用されます。
• 他の言語にも、デンマーク語やノルウェー語のsnesなど、scoreに似た用語があります。
• ブリソン系ケルト語族の言語の大部分が現代の方言で残っていない地域では、20進法の羊の計数システムが現在まで残っています。Yan Tan Tetheraを参照してください。

Open Location Codeは、ジオコードに20進数の単語安全なバージョンを使用しています。このアルファベットの文字は、誤って単語を形成しないように選択されました。開発者は、30の異なる言語で20文字のすべての可能なセットについて単語を形成する可能性を評価し、できるだけ認識可能な単語が少ないセットを選択しました。^[16]このアルファベットは、視覚的に類似した数字を避けることで誤植を減らすことも目的としており、大文字と小文字を区別しません。

• 10の倍数のうち、20 は一部の言語で特別な表記法で表されます。たとえば、スペイン語のtreinta ( 30 ) とcuarenta ( 40 ) は、「tre(3)+inta ( 10 回 )」、「cuar(4)+enta ( 10 回 )」から構成されますが、 veinte ( 20 )という語は現在「2」を意味する語と結びついていません (歴史的には結びついていますが^[17] )。同様に、アラビア語やヘブライ語などのセム語では、30、40...90 という数は 3、4...9 という数を表す語の形態論的複数形で表されますが、20 という数は 10 を表す語の形態論的複数形で表されます。日本語には、20 歳 (年齢) と 20 日 (初日) を表す特別な語 (はたち) があります。
• 一部の言語（英語、スラブ語、ドイツ語など）では、 11から19までの2桁の数字の名前は1つの単語で構成されていますが、 21以降の2桁の数字の名前は2つの単語で構成されています。したがって、たとえば、英語の単語eleven（11）、twelve（12）、thirteen（13 ）などは、 twenty -one（21）、twenty - two（22）、twenty -three（23 ）などとは対照的です。フランス語では、これは16まで当てはまります。他の多くの言語（ヘブライ語など）では、11から19までの数字の名前に2つの単語が含まれますが、これらの単語の1つは特別な「teen」形式で、数字10の単語の通常の形式とは異なり、実際には11から19の数字の名前にのみ見られます。
• 広東語^[18]と呉語では、20を表す単位として、広東語ではyàh、上海語ではnyaeまたはne、北京語ではniànという単一の単位が頻繁に使用されるが、これに加えて、文字通り「2つの10」を意味する完全な10進数の二十(広東語ではyìh sàhp、上海語ではel sah、北京語ではèr shí ) も使用される。30と40に相当する単位も存在するが (それぞれ卅と卌: 北京語ではsàとxì )、これらはあまり使用されない。これは20進法の歴史的な名残である。^[要出典]
• クメール数字は少なくとも 7 世紀以来10 進法の 位置表記システムを表していましたが、古代クメール語、つまりアンコール クメール語には 10、20、100 の数字を表す別々の記号もありました。20 または 100 の倍数にはそれぞれ文字の上に追加の線が必要だったため、数字 47 は 20 の記号の上に追加の線を引いて、その後に数字 7 の記号を付けて作成されました。これは、話し言葉のアンコール クメール語が 20 進法を使用していたことを示唆しています。
• タイ語では、 20 を表すのにยี่สิบ ( yi sip )という用語を使用します。その他の 10 の倍数は、基数の後に 10 を表す単語が続きます。たとえば、30 はสามสิบ ( sam sip ) で、文字通り 30 になります。yi sipのyiは、他の位置にある数字の 2 である สอง ( song )とは異なります。ただし、yi sip は中国語からの借用語です。
• ラオ語でも同様に、10の倍数を表すときは、基数を単語「ten」の前に置く。つまり、 30は「ສາມສິບ ( sam sip )」、つまり「30」となる。例外は20で、これには単語「ຊາວ ( xao )」が使われる。( ซาว saoはタイ語の北東部および北部方言でも使われるが、標準タイ語では使われない。)
• カローシュティー記数法は部分的な 20 進法のように動作します。

この表には、ユカテク語のマヤ数字、現代の正書法によるナワトル語、および古典ナワトル語での数字名が示されています。

• クリスオマリス、スティーブン（2010-01-18）。数値表記法：比較史。ケンブリッジ大学出版局。pp. 135–136。ISBN 978-0-521-87818-0。

• カール・メニンガー：数語と数記号：数の文化史、改訂ドイツ語版からポール・ブロニアー訳。マサチューセッツ州ケンブリッジ：MIT 出版、1969 年（ペーパーバック版も入手可能：ニューヨーク：ドーバー、1992 年 ISBN 0-486-27096-3） 
• レヴィ・レナード・コナント：数の概念：その起源と発展、ニューヨーク、ニューヨーク：マクミラン社、1931年。プロジェクト・グーテンベルク電子書籍

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