完璧なパワー

数学において、完全累乗とは、等しい自然因数の積である自然数、つまり、1 より大きい別の整数の平方またはそれより高い整数累乗として表される整数です。より正式には、自然数m > 1 かつk > 1 が存在し、m ^k = nとなる場合、nは完全累乗です。この場合、n は完全k乗と呼ばれることがあります。k = 2 またはk = 3 の場合、n はそれぞれ完全平方または完全立方と呼ばれます。0 と 1も完全累乗と見なされることがあります (任意のk > 0 に対して0 ^k = 0、任意のkに対して1 ^k = 1 )。

mとkの可能な値を反復処理することで、完全累乗のシーケンスを生成できます。数値順で最初のいくつかの完全累乗の昇順は次のとおりです (重複する累乗を表示) ( OEISのシーケンスA072103 )。

${\displaystyle 2^{2}=4、\ 2^{3}=8、\ 3^{2}=9、\ 2^{4}=16、\ 4^{2}=16、\ 5^ {2}=25,\ 3^{3}=27,}$ ${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }$

完全累乗の逆数の合計（ 3 ⁴や 9 ²などの重複した数も含む。どちらも 81 になる）は 1 です。

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}$

これは次のように証明できます。

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}$

重複のない最初の完全累乗は次のとおりです。

(場合によっては 0 と 1)、4、8、9、16、25、27、32、36、49、64、81、100、121、125、128、144、169、196、216、225、243、256、289、324、343、361、400、441、484、512、529、576、625、676、729、784、841、900、961、1000、1024、... (OEISのシーケンスA001597 )

重複のない完全累乗pの逆数の合計は^{[1]である。}

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots }$

ここでμ( k )はメビウス関数、ζ( k )はリーマンゼータ関数である。

オイラーによれば、ゴールドバッハは（現在は失われた手紙の中で）⁠1/p − 1⁠ 1 と重複を除いた 完全累乗pの集合上の値は1 です。

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

これはゴールドバッハ・オイラーの定理と呼ばれることもあります。

与えられた自然数nが完全累乗であるかどうかの検出は、さまざまな方法で実行でき、複雑さのレベルもさまざまです。最も簡単な方法の 1 つは、までの各約数にわたってkのすべての可能な値を検討することです。したがって、 の約数がである場合、 nが実際に完全累乗であれ ば、値の 1 つはnに等しくなければなりません。${\displaystyle k\leq \log _{2}n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }$

この方法は、 kの素数値のみを考慮することで、すぐに簡略化できます。これは、pが素数である合成数の場合、これを と単純に書き直すことができるからです。この結果から、kの最小値は必ず素数である必要があります。 ${\displaystyle n=m^{k}}$ ${\displaystyle k=ap}$${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$

nの完全な因数分解がわかっていて、たとえばが異なる素数である場合、n が完全累乗となるのは、gcd が最大公約数を表す場合のみです。例として、n = 2 ⁹⁶ ·3 ⁶⁰ ·7 ²⁴を考えます。gcd(96, 60, 24) = 12 なので、n は完全 12 累乗です (また、6、4、3、2 は 12 を割り切るので、完全 6 累乗、完全 4 累乗、完全 3 乗、完全 2 乗でもあります)。 ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}$

2002年、ルーマニアの数学者プレダ・ミハイレスクは、連続する完全累乗の唯一のペアは2 ³ = 8と3 ² = 9であることを証明し、カタランの予想を証明した。

ピライの予想は、任意の正の整数kに対して、その差がkである完全冪のペアは有限個しか存在しないというものである。これは未解決の問題である。^[2]

• プライムパワー

• Daniel J. Bernstein (1998). 「本質的に線形な時間で完全累乗を検出する」(PDF) .計算数学. 67 (223): 1253–1283. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .

• ルイス・ビビローニ、ペレグリ・ヴィアデル、ジャウメ・パラディス、一連のゴールドバッハとオイラーについて、2004 (PDF)