12進数

十二進法は、基数 12または12 進数とも呼ばれ、 12 を基数とする位取り 記数法です。十二進法では、12 という数字は「10」と表記され、1 12 と 0単位を意味します。十進法では、この数字は「12」と表記され、1 10 と 2 単位を意味し、「10」という文字列は 10 を意味します。十二進法では、「100」は 12 の 2 乗、「1000」は 12 の 3 乗、「0.1」は 12 分の 1 を意味します。

12進法では、10と11を表すためにさまざまな記号が使用されています。このページでは、16進法のAとBを使用しており、0から12までの12進数は、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、10となります。アメリカとイギリスの12進法協会（12進法の使用を推進する組織）は、出版物で数字を反転して使用しています。2（aは2を回した）10と3（aは3歳になりました）11歳。

12 という数は、優れた高度合成数であり、4 つの非自明な因数(2、3、4、6) を持つ最小の数であり、素因数として 4 つの数 (1 から 4) すべてを含む最小の数であり、最小の過剰数です。3次元平滑数の逆数のすべての倍数 ( ⁠1つの/2 ^b ·3 ^c⁠ ( a、b、cは整数) は 12 進数で終端表現を持ちます。特に、 ⁠+1/4⁠  (0.3)、⁠+1/3⁠  (0.4)、⁠+1/2⁠  (0.6)、⁠+2/3⁠  (0.8)、および⁠+3/4⁠  (0.9) はすべて、12進数では短い終端表現を持ちます。また、12進数の掛け算表にはより高い規則性が見られます。その結果、12進数は最適な数体系であると説明されています。^[1]

これらの点では、12 進数は、因数が 2 と 5 のみである 10 進数や、8 進数や16 進数などの他の提案された基数よりも優れていると考えられています。60進数(基数が 60) は、この点でさらに優れています (すべての5 平滑数の逆数が終了) が、扱いにくい掛け算表と、覚える記号の数が非常に多くなります。

このセクションでは、数字は10 進数で表されます。たとえば、「10」は 9+1 を意味し、「12」は 9+3 を意味します。

ジョルジュ・イフラは、 12進法の起源を、 4本の指の関節骨に基づいた指の数え方に推測的にたどりました。親指をポインターとして使用し、5本目の指の最も遠い骨から始めて、各指の骨に触れて数えていくことで、12まで数えることができます。このシステムでは、片方の手で12まで繰り返し数え、もう一方の手で反復回数を表示し、5ダース、つまり60がいっぱいになるまで続けます。このシステムは現在でもアジアの多くの地域で使用されています。^{[2] [3]}

12進数を使用する言語はまれです。ジャンジ語、グビリ・ニラグ語（グレ・カフグ語）、ピティ語、グワンダラのニンビア方言^[4]、ネパールのチェパン語^[5]などのナイジェリア中部地域の言語は12進数を使用することが知られています。

ゲルマン語には、英語のelevenやtwelveのように、11と12を表す特別な単語がある。これらは、ゲルマン祖語の* ainlifと* twalif（それぞれ1つ左と2つ左を意味する）に由来しており、12進法ではなく10進法の起源を示唆している。^{[6] [7]}しかし、古ノルド語では10進法と12進法を組み合わせた数え方を使用しており、「180」は200、「200」は240を意味していた。^[8]イギリス諸島では、この数え方は中世まで長百として生き残った。

歴史的に、多くの文明における時間の単位は12進法である。黄道十二宮、1年は12か月、バビロニア人は1日を12時間と考えていた（ある時点で24時間に変更されたが）。伝統的な中国の暦、時計、コンパスは、12節気または24（12×2）節気に基づいている。1フィートは12インチ、 1トロイポンドは12トロイオンス、1シリングは12 旧英国ペンス、 1日は24（12×2）時間である 。他の多くの項目は、ダース、グロス（144、12の平方）、またはグレートグロス（1728、12の立方）で数えられる。ローマ人は、英語のオンスとインチの両方の単語になったアンシアを含む、12に基づく分数システムを使用していた。10 進法化以前、アイルランドとイギリスは12 進法と20 進法の混合通貨システム (12 ペンス = 1 シリング、つまり 1 ポンドまたはアイルランド ポンドに対して 20 シリングまたは 240 ペンス) を使用していました。また、カール大帝は12 進法と 20 進法の混合ベースの通貨システムを確立し、その名残は多くの場所に残っています。

n を基数とする位取り記数法(12 進法では 12) では、最初のn個の自然数にそれぞれ異なる数字記号が与えられ、n は「10」と表記されます。これは 1 倍のn に0 を加えた数を意味します。12 進法では、0 から 9 までの標準的な数字記号が通常保持されますが、「10」と「11」を表す数字の表記方法については多数の提案があります。^[9]より急進的な提案では、 「独立した同一性」の原則に基づいてアラビア数字を一切使用しません。 ^[9]

12進数の発音にも標準はありませんが、さまざまなシステムが提案されています。

数人の著者が、10進数記号にアルファベットの文字を使うことを提案している。⟨ A, B ⟩（16進数のように）や⟨ T, E ⟩（TenとElevenの頭文字）などのラテン文字は、広く利用でき、例えばタイプライターで入力できるため便利である。しかし、普通の文章に混ぜると、文字と混同される可能性がある。代わりに、⟨ τ, ε ⟩などのギリシャ文字を使うこともできる。^[9] 12進数の初期のアメリカ人提唱者であるフランク・エマーソン・アンドリュースは、1935年の著書『New Numbers』の中で、イタリック体の数字0～9とともに、 ⟨ X , Ɛ ⟩（ローマ数字の10を表すイタリック体の大文字Xと、開いたEに似た丸みを帯びたイタリック体の大文字E ）を提案し、使用した。[ 11 ^]

エドナ・クレイマーは1951年の著書『数学の主流』で⟨ *, # ⟩（六分位または六角形のアスタリスク、ハッシュまたは八分位）を使用した。^{[9]これらの記号が選ばれたのは、一部のタイプライターで使用できたためである。また、}プッシュボタン式の電話にも使用されている。^[9]この表記法は、1974年から2008年までアメリカ数学者協会（DSA）の出版物で使用されていた。^{[12] [13]}

2008年から2015年まで、DSAは⟨ 、 ⟩ 、ウィリアム・アディソン・ドウィギンズが考案した記号。^{[9] [14]}

英国ドゼナル協会（DSGB）が提案したシンボル⟨ 2、3 ⟩。^[9]この表記法は、アラビア数字を180度回転させて作られ、1857年にアイザック・ピットマンによって導入された。 ^{[9] [15]} 2013年3月、ドゼナル協会が広めた10と11の数字形式をUnicode標準に含める提案が提出された。^[16]これらのうち、英国/ピットマン形式は、コードポイントU+218A ↊ TURNED DIGIT TWOとU+218B ↋ TURNED DIGIT THREEの文字としてエンコードすることが承認された。これらはUnicode 8.0（2015年）に含まれた。 ^{[17] [18]}

Pitman数字がUnicodeに追加された後、DSAは投票を行い、代わりにPitman数字を使用してPDFコンテンツの公開を開始しましたが、Webページでは引き続き文字XとEを使用しています。^[19]

12進数を10進数と区別する方法についてもさまざまな提案がある。主流の数学資料でさまざまな基数を比較する際に最もよく使われる方法は、添え字に「10」または「12」を使用する。たとえば、「54 ₁₂ = 64 _{10 」。添え字10の意味が曖昧にならないように、添え字は「54 twelve} = 64 _ten 」と綴られることもある。2015年にアメリカ12進数協会は、「do z enal」の略語「z」と「 d ecimal」の略語「d」を採用し、「54 _z = 64 _d」とした。^[25]

他に提案されている方法としては、12進数を斜体にする（「54 = 64」）、12進数に「ハンフリーポイント」（小数点の代わりにセミコロン）を追加する（「54;6 = 64.5」）、12進数の先頭にアスタリスクを付ける（「*54 = 64」）、またはこれらの組み合わせがある。英国ドーゼナル協会は、12進数の整数にアスタリスクを、その他の12進数にハンフリーポイントを使用している。^[25]

アメリカ・ドゼナル協会は、10 と 11 をそれぞれ「デク」と「エル」と発音することを提案しました。12 の累乗の名称については、2 つの有名なシステムがあります。

このシステムでは、分数には接頭辞e-が付加される。^{[14] [26]}

数字が大きくなるにつれて（または分数が小さくなるにつれて）、最後の 2 つの形態素が順に tri-mo、qua-mo、penta-mo などに置き換えられます。

このシリーズの複数の数字はそれぞれ異なる発音をする。12は「do two」、30は「three do」、100は「gro」、BA9は「el gro dek do nine」、B86は「el gro eight do six」、8BB,15Aは「eight gro el do el, one gro five do dek」、ABAは「dek gro el do dek」、BBBは「el gro el do el」、0.06は「six egro」などである。^[26]

このシステムでは、12の正の累乗には「-qua」、負の累乗には「-cia」という末尾を使用し、IUPAC体系元素名の拡張（12進数に必要な2桁の追加数字の音節decとlevを含む）を使用して、どの累乗を意味するかを表現します。^{[27] [28]}

hex- の後に、さらに接頭辞が sept-、oct-、enn-、dec-、lev-、unnil-、unun- と続きます。

ウィリアム・ジェームズ・サイディスは1906年に人工言語ベンダーグッドの基数として12を使用し、それが4つの因数を持つ最小の数であり、商業で広く普及していることを指摘した。 ^[29]

12進法の根拠は、フランク・エマーソン・アンドリュースの1935年の著書『新しい数字：12進法の受け入れが数学をいかに簡素化するか』で詳しく述べられている。エマーソンは、多くの伝統的な度量衡の単位で12の因数が普及しているため、メートル法で主張されている計算上の利点の多くは、10進法の度量衡を採用するか、 12進法を採用するかのいずれかによって実現できると指摘した。^[11]

アメリカ・ドゼナル協会とイギリス・ドゼナル協会はどちらも、12進法の普及を推進しています。彼らは、より露骨な10進法の用語を避けるため、「duodecimal」ではなく「dozenal」という語を使用しています。しかし、「dozenal」の語源自体も10進法の用語に基づいた表現です。なぜなら、「dozen」はフランス語の「douzaine」から直接派生したもので、これはラテン語の「duodecim」に由来する、12を意味するフランス語の「douze」から派生したものです。

数学者であり暗算家であったアレクサンダー・クレイグ・エイトキンは、 12進法の積極的な支持者でした。

12 進法の表は習得しやすく、10 進法の表より簡単です。また、小学校の授業では、12 本の棒やブロックを使った方が、10 本の棒やブロックを使ったよりも面白いことが見つかるので、12 進法の表の方がはるかに興味深いものになるでしょう。これらの表を習得した人なら、12 進法のスケールでは、10 進法の 1.5 倍以上の速さで計算できます。これは私の経験ですが、他の人の経験もさらに速くなると確信しています。

—  ACエイトキン、「12と10」、リスナー誌（1962年1月25日）^[30]

しかし、私の経験では、最終的な定量的な利点は次のようになります。長年にわたり実行された、通常の、それほど複雑ではない種類の多様で広範な計算では、12進数を100とすると、10進法の効率は約65以下と評価される可能性があるという結論に達しました。

—  ACエイトキン『十進法化に反対する主張』（1962年）^[31]

アメリカのテレビシリーズ「スクールハウス・ロック！ 」の「リトル・トゥエルブトゥーズ」では、十二進法を使って12本の指と12本の足の指を持つエイリアンが描かれ、10と11の名前として「dek」と「el」が使用され、数字記号にはアンドリュース式XとEが使用されました。^{[32] [33]}

ダーゼナリストによって提案された測定システムには以下のものがあります。

• トム・ペンドルベリーの TGM システム^{[34] [28]}
• 菅孝の世界単位系^{[35] [28]}
• ジョン・ヴォランのプライメルシステム^[36]

このセクションでは、数字は 10 進数で表されます。たとえば、「10」は 9+1 を意味し、「12」は 9+3 を意味します。

アメリカ・ドーゼナル協会は、基数が小さすぎると、数字の展開にかなり長い時間を要すると主張している。基数が大きすぎると、計算を行うために大きな掛け算表を暗記しなければならない。したがって、同協会は「数の基数は、約7または8から約16の間、おそらく18と20を含む必要がある」と推定している。^[37]

12 という数には1、2、3、4、6、12の6つの因数があり、そのうち 2 と 3 は素数です。12 は6つの因数を持つ最小の数であり、それ以下の数の少なくとも半分を約数とする最大の数であり、10 よりわずかに大きいだけです。(18 と 20 も6つの因数を持ちますが、はるかに大きい数です。) 対照的に、10 には1、2、5、10の4つの因数しかなく、そのうち 2 と 5 が素数です。^[37] 6 は12と素因数 2 と 3 を共有しますが、10 と同様に、6 には6つではなく4つの因数 (1、2、3、6) しかありません。対応する基数である 6進数は、DSA が規定するしきい値を下回っています。

8と16 には素因数が 2 しかありません。したがって、8 進数と16 進数では、分母が2 の累乗である分数だけが有限分数となります。

30 は、3 つの異なる素因数 (最初の 3 つの素数である 2、3、5) を持つ最小の数字であり、合計で 8 つの因数 (1、2、3、5、6、10、15、30) を持ちます。60進法は、古代シュメール人やバビロニア人などによって実際に使用されていました。その底である60は、 30 に 4、12、20、60 という 4 つの便利な因数を追加したもので、新しい素因数は追加しません。4 つの異なる素因数を持つ最小の数字は210で、パターンは原始数に従います。ただし、これらの数字は底として使用するには非常に大きく、DSA が規定するしきい値をはるかに超えています。

すべての基数システムでは、基数より 1 少ない数または 1 多い数の倍数の表現に類似点があります。

次の掛け算表では、数字は 12 進数で書かれています。たとえば、「10」は 12 を意味し、「12」は 14 を意味します。

基数間で数値を変換するには、一般的な変換アルゴリズムを使用できます (位置表記の関連セクションを参照)。または、桁変換表を使用することもできます。以下に示す表を使用すると、0;1 から BB,BBB;B までの 12 進数を 10 進数に変換したり、0.1 から 99,999.9 までの 10 進数を 12 進数に変換したりできます。これらの表を使用するには、まず、指定された数値を、それぞれ 1 桁の有効数字のみを持つ数値の合計に分解する必要があります。例:

12,345.6 = 10,000 + 2,000 + 300 + 40 + 5 + 0.6

この分解は、数値がどの基数で表現されているかに関係なく、同じように機能します。ゼロ以外の各桁を分離し、それぞれの位の値を維持するために必要な数のゼロを埋め込むだけです。指定された数値の桁にゼロが含まれている場合 (たとえば、7,080.9)、これらは桁分解で除外されます (7,080.9 = 7,000 + 80 + 0.9)。次に、桁変換テーブルを使用して、各桁のターゲット基数での同等の値を取得できます。指定された数値が 12 進数で、ターゲット基数が 10 進数の場合、次のようになります。

(10 進数) 10,000 + 2,000 + 300 + 40 + 5 + 0;6
= (10 進数) 20,736 + 3,456 + 432 + 48 + 5 + 0.5

加数はすでに 10 進数に変換されているため、通常の 10 進数演算を使用して加算を実行し、数値を再構成して、変換結果を取得します。

12進数 ---> 10進数
  
  10,000 = 20,736
   2,000 = 3,456
     300 = 432
      40 = 48
       5 = 5
 + 0;6 = + 0.5
-----------------------------
  12,345;6 = 24,677.5

つまり、（12進数） 12,345;6は（10進数） 24,677.5 に等しい。

与えられた数値が 10 進数で、変換先の基数が 12 進数の場合も、方法は同じです。桁変換表の使用:

(10 進数) 10,000 + 2,000 + 300 + 40 + 5 + 0.6
= (20 進数) 5,954 + 1,1A8 + 210 + 34 + 5 + 0; 7249

これらの部分積を合計して数を再構成するには、10 進数ではなく 12 進数で加算を行う必要があります。

  10進数 --> 12進数
  
  10,000 = 5,954
   2,000 = 1,1A8
     300 = 210
      40 = 34
       5 = 5
 + 0.6 = + 0; 7249
-----------------------------
  12,345.6 = 7,189; 7249

つまり、（10進数） 12,345.6は（12進数） 7,189、7249に等しい。

3 つの滑らかな分母を持つ有理数の12 進分数は次のように終了します。

• ⁠1/2⁠ = 0;6
• ⁠1/3⁠ = 0;4
• ⁠1/4⁠ = 0;3
• ⁠1/6⁠ = 0;2
• ⁠1/8⁠ = 0;16
• ⁠1/9⁠ = 0;14
• ⁠1/10⁠ = 0;1 (これは12分の1です、⁠1/あ⁠ は10分の1です）
• ⁠1/14⁠ = 0;09 (これは16分の1です、⁠1/12⁠ は14分の1です）

他の有理数には循環的な12進分数があります。

• ⁠1/5⁠ = 0; 2497
• ⁠1/7⁠ = 0; 186A35
• ⁠1/あ⁠ = 0;1 2497 (10分の1)
• ⁠1/B⁠ = 0; 1 (11分の1)
• ⁠1/11⁠ = 0; 0B (13分の1)
• ⁠1/12⁠ = 0;0 A35186 (14分の1)
• ⁠1/13⁠ = 0;0 9724 (15分の1)

循環小数で説明したように、既約分数が任意の基数で基数点表記法で表されている場合、その分数は、その分母のすべての素因数がその基数の素因数でもある場合にのみ、正確に表現できます (終了できます) 。

10進法では、分母が2と5の倍数のみで構成される分数は次のように終了します。⁠${\displaystyle 2\times 5=10}$1/8⁠  =  ⁠1/（2×2×2）⁠、⁠1/20⁠  =  ⁠1/（2×2×5）⁠、および⁠1/500⁠  =  ⁠1/（2×2×5×5×5）⁠ はそれぞれ 0.125、0.05、0.002 と正確に表すことができます。⁠1/3⁠と⁠1/7⁠ただし、（0.333...および0.142857142857...）が再発します。

なぜなら、12進法では、⁠${\displaystyle 2\times 2\times 3=12}$1/8⁠ は正確です。⁠1/20⁠と⁠1/500⁠ 5 を因数として含むため、繰り返します。⁠1/3⁠ は正確であり、⁠1/7⁠ は、10 進数の場合と同じように繰り返します。

底bにおいて、与えられた桁数n以内で分数が成り立つ分母の数は、底bのn乗である の因数（約数）の数です（ただし、これには分母として使用した場合に分数を生成しない約数 1 も含まれます）。 の因数の数は、素因数分解を使用して求められます。 ${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle b^{n}}$

小数の場合、。 約数の数は、各素数の各指数に 1 を加え、その結果の量を掛け合わせることで求められるため、 の因数の数はです。 ${\displaystyle 10^{n}=2^{n}\times 5^{n}}$${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle (n+1)(n+1)=(n+1)^{2}}$

たとえば、数字 8 は 10 ³ (1000) の因数なので、分母が 8 であるその他の分数では、小数点以下 3 桁を超える数字で終了することはできません。${\textstyle {\frac {1}{8}}}$${\textstyle {\frac {5}{8}}=0.625_{10}.}$

12 進数の場合、。これには約数があります。サンプルの分母 8 はグロス(10 進数) の因数であるため、8 分の 1 は 12 進数の小数点以下 2 桁以上で終了することはできません。${\displaystyle 10^{n}=2^{2n}\times 3^{n}}$${\displaystyle (2n+1)(n+1)}$${\textstyle 12^{2}=144}$${\textstyle {\frac {5}{8}}=0.76_{12}.}$

10 と 12 はどちらも 2 つの固有の素因数を持つため、b = 10 または 12 の場合のの約数の数は指数nの 2 乗で増加します(つまり、 の順序になります)。 ${\displaystyle b^{n}}$${\displaystyle n^{2}}$

アメリカ十​​二進法協会は、現実の割り算の問題では、5の因数よりも3の因数の方がよく遭遇すると主張している。 ^[37]したがって、実際の応用では、 12進法を使用すると、循環小数の厄介な問題に遭遇することが少なくなる。12進法の支持者は、これは特に1年の12か月が計算に頻繁に含まれる金融計算に当てはまると主張している。

しかし、12進法で循環分数が現れる場合、 10進法よりも非常に短い周期になる可能性は低くなります。これは、12が2つの素数11と13の間にあり、10 が合成数 9に隣接しているためです。とはいえ、周期が短くなったり長くなったりしても、与えられた基数ではそのような分数を有限に表現できないという主な不便さは解消されません (そのため、計算で分数を処理するには、不正確さをもたらす丸めが必要です)。また、分数を10進法で表す場合、12進法よりも全体的に無限循環桁に対処しなければならない可能性が高くなります。これは、連続する3つの数のうち1つには因数分解で素因数3が含まれるのに対し、5つのうち1つだけが素因数5 を含むためです。 2 を除く他のすべての素因数は、10 にも 12 にも共有されていないため、繰り返し数字に遭遇する相対的な可能性には影響しません (分母にこれらの他の因数のいずれかを含む既約分数は、どちらの基数でも繰り返します)。

また、素因数2は12 の因数分解では 2 回現れますが、10 の因数分解では 1 回しか現れません。つまり、分母が2 の累乗である分数のほとんどが、10 進数よりも 12 進数で表現した方が短くて便利です。

• 1/(2 ² ) = 0.25 ₁₀ = 0.3 ₁₂
• 1/(2 ³ ) = 0.125 ₁₀ = 0.16 ₁₂
• 1/(2 ⁴ ) = 0.0625 ₁₀ = 0.09 ₁₂
• 1/(2 ⁵ ) = 0.03125 ₁₀ = 0.046 ₁₂

1/ nの12進法の周期の長さは（10進数）

0、0、0、0、4、0、6、0、0、4、1、0、2、6、4、0、16、0、6、4、6、1、11、0、20、2、0、6、4、4、30、0、1、16、12、0、9、6、2、4、40、6、42、1、4、11、23、0、42、20、16、2、52、0、4、6、6、4、29、4、15、30、6、0、4、1、66、16、11、12、35、0、...（シーケンスOEISのA246004 )

1/( n番目の素数) の12進法の周期の長さは(10進法)

0、0、4、6、1、2、16、6、11、4、30、9、40、42、23、52、29、15、66、35、36、26、41、8、16、 100、102、53、54、112、126、65、136、138、148、150、3、162、83、172、89、90、95、24、196、66、14、222、113、114、 8、119、120、125、256、131、268、54、 138、280、...（OEISの配列A246489）

12進数の周期nを持つ最小の素数(10進数)

11、13、157、5、22621、7、659、89、37、19141、23、20593、477517、211、61、17、2693651、1657、29043636306420266077、85403261、8177824843189、57154490053、47、193、303551、79、306829、673、59、31、373、153953、886381、2551、71、73、...（シーケンスA252170 OEIS )​

あらゆる位取り記数法（10 進数と 12 進数を含む）における無理数の表現は、終了したり繰り返されたりすることはありません。次の表は、10 進数と 12 進数の両方における いくつかの重要な代数的数と超越数の最初の桁を示しています。

• 20進法（基数20）
• 60進法（基数60）

• アメリカドゼナル協会
  • 「DSA シンボル体系の概要」
  • 「リソース」は、DSA Web サイトのサードパーティ ツールへの外部リンクのページです。
• 英国ドゼナル協会
• ビル・ローリッツェン (1994)。 「自然の数字」。アース360。
• Savard, John JG (2018) [2016]. 「ベースの変更」. quadibloc . 2018年7月17日閲覧。