循環小数 とは、桁が 最終的に周期的に繰り返さ れる （つまり、ある桁以降、同じ桁の並びが永久に繰り返される）数の十進数表現のこと です。この桁の並びがゼロのみで構成されている場合（つまり、ゼロ以外の桁が有限個しかない場合）、その小数は有限小数と呼ばれ、 循環小数とはみなされません。
数が有理数で あるのは、その小数表現が循環小数または有限小数である場合に限ることが示せます。たとえば、1/ の 小数 表現 は 小数点の 直後で周期的になり、1桁の数字「3」が永遠に繰り返されます。つまり、0.333.... となります。より複雑な例として、3227 / 555 が あります。 次の2 桁目で周期的になり、その後「144」のシーケンスが永遠に繰り返されます。つまり、5.8144144144.... となります。この別の例として、593/53 があります。 これ は 小数点 の
循環小数 または循環小数 と呼ばれます。循環小数がゼロの場合、この小数表現は循環小数ではなく有限小数 と呼ばれます。これは、ゼロを省略でき、小数がこれらのゼロの前に終わるためです。[1] すべての有限小数表現は、分母が 10 のべき乗である小数として書くことができます (例: 1.585 = 1585 / 1000 ) 。また 2 n · 5 m の 形式 ( 例 : 1.585 = 317 / 3 · 5 2 ) 。 ただし 、 有限 小数 すべての数は 、 。 1.000... = 0.999... 1.585000... = 1.584999...が挙げられます。（この種の循環小数は、通常の 除算アルゴリズムを 修正した形式を使用すれば、長除法によって得ることができます。[ 2 ]
2 つの整数 の比 として表せない数は、無理数 と呼ばれます。無理数の小数表現は、有限小数でも無限循環小数でもなく、繰り返しなく永遠に続きます ( § すべての有理数は有限小数か循環小数のいずれかです)。そのような無理数の例としては、 √2 と π [ 3 ]
背景
表記法 テキストによる表現は必然的に有限であるため、循環小数を表現するには特別な非十進表記法が必要となります。以下にいくつかの表記法を示しますが、いずれも普遍的に受け入れられているわけではありません。
英語では、循環小数を読み上げる方法は様々です。例えば、1.2 34 は、「1.2 34 を繰り返す」、「1.2 34 を繰り返す」、「1.2 34 を繰り返す」、「1.2 34 を繰り返す」、「1.2 34 を繰り返す」、「1.2 34 を繰り返す」、「1.2 34 を無限に繰り返す」などと読むことができます。同様に、11. 1886792452830 は 、「11 ポイント 1 28 6 7 9 2 4 5 2 8 3 0 を繰り返す」、「11 ポイント 1 28 6 7 9 2 4 5 2 8 3 0」、「11 ポイント 1 28 6 7 9 2 4 5 2 8 3 0」、「11 ポイント 1 28 6 7 9 2 4 5 2 8 3 0 を繰り返す」、「11 ポイント 1 28 6 7 9 2 4 5 2 8 3 0」などと読むことができます。
小数展開と漸化式 分数で表された有理数を 小数に変換するには、筆算を 用いることができます。例えば、有理数 5/74 を考えて み ましょ う 。
0.0 675 74）5.00000 4.44 560 518 420 370 500など。各ステップで余りがあることに注目してください。上に表示されている連続する余りは 56、42、50 です。余りが 50 になり、「0」を下ろすと、500 を 74 で割っていることがわかります。これは、最初に扱った問題と同じです。したがって、小数は0.0675 675 675 ...と繰り返されます。
任意の整数分数 A / B に対して、任意の正の整数k におけるステップ k での剰余はA × 10 k B )です。
すべての有理数は有限小数か循環小数のいずれかである。 任意の除数に対して、発生する余りは有限個しかありません。上記の例では、74個の余りは0、1、2 、 … 、 73です。除算の途中で余りが0になった場合、その時点で展開は終了します。この場合、循環小数部の長さ（「周期」とも呼ばれます）は0と定義されます。
余りが 0 にならない場合、除算処理は永遠に続き、最終的には以前に発生した余りが必ず発生します。除算の次のステップでは、前回の余りと同じ新しい桁と新しい余りが得られます。したがって、次の除算でも同じ結果が繰り返されます。繰り返される桁の列は「循環小数」と呼ばれ、0 より大きい一定の長さを持ち、「周期」とも呼ばれます。[ 5 ]
10進数では、分数が循環小数になるのは、既約分数において 、分母が2と5以外の素因数を少なくとも1つ持つ場合（素因数を持つ分母は、分母自身も素因数とみなされる）、言い換えれば、分母が2m5nのように表せない場合 と nは 非負整数）に限られます。
循環小数または有限小数はすべて有理数である 循環小数の各数は整数係数の線形方程式 を満たし、その唯一の解は有理数です。上記の例では、α = 5.8144144144... は
これらの整数係数を求める手順は以下に 説明します。
素数分母を持つ分数 分母が 10と 互いに素な数 )である既約 分数は、必ず循環小数になります。 1 / p の循環部分 (循環小数部分の周期) の長さは、10 の 法 p 位 数 に等しくなります。10 が法pの 原始根である場合、循環部分の長さは p − 1に等しくなります。そうでない場合は、循環部分の長さはp − 1の約数になります。この結果は、 10 p −1 ≡ 1 (mod p ) と述べるフェルマーの小定理 から導き出すことができます。
5より大きい任意の素数の逆数の循環小数の10進数での根は9である。 [ 9 ]
素数pの 1 / p の 循環小数の長さがp − 1に等しい場合、 循環数 と呼ばれます。
循環数 このグループに属する分数の例は次のとおりです。
1/7 = 桁 の 循環 数字 1 / 17 桁 の 繰り返し 1 / 19 桁 の 繰り返し 1 / 23 桁 の 繰り返し 1 / 29 桁 の 繰り返し 1 / 47 桁 の 繰り返し 数字1 / 59 0.0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661、58 の 繰り返し 1 / 61 0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459、60 の 繰り返し 1 / 97 0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567、96 の 繰り返し リストに は 1 / 109、1 / 113、1 / 131、1 / 149、1 167、1 / 179、1 181、1 / 193、1 / 223、1 / 229 など の 分数 も 含ま れる OEIS シーケンス A001913 ）
循環数のすべての真 倍数（つまり、桁数が同じ倍数）は回転数である。
1/7 = 1 × 0.142857 = 2 / 7 = 2 × 0.142857 = 3 / 7 = 3 × 0.142857 = 4 / 7 = 4 × 0.142857 = 5 / 7 = 5 × 0.142857 = 6 / 7 0.142857 = 0.857142 循環的な挙動の理由は、 1 / 7 の 。 、{1, 3, 2, 6, 4, 5} という 循環数列になります。この循環数のその他の性質については、論文番号142,857も参照してください。
循環分数とは、偶数長の循環小数で、9の補数 形式で2つの数列に分割できる分数です。例えば、 1 / 7 は 6 / 7 その 9 の 補数「142」が続きます。
循環小数の循環小数の回転は、常に次の循環小数が前の循環小数よりも大きくなるように行われます。たとえば、上記の数列では、0.142857... < 0.285714... < 0.428571... < 0.571428... < 0.714285... < 0.857142... となります。このことから、循環小数が長い循環小数の場合、循環小数がわかっている限り、その分数に任意の自然数n を掛けた結果がどうなるかを簡単に予測できます。
真の素数 とは、10進数で末尾が1で、その逆数が長さp - 1の循環小数を持つ素数pのことである。このような素数では、各数字0, 1,..., 9は、他の各数字と同じ回数（すなわち、 p - 1 / 10 回 。 [ 10 ] : 166
61、131、181、461、491、541、571、701、811、821、941、971、1021、1051、1091、1171、1181、1291、1301、1349、1381、1531、1571、1621、1741、1811、1829、1861、... （ OEIS の シーケンス A073761 ） 。 素数が真の素数であるのは、それが完全なレプテンド素数 であり、かつ1を法として1と合同である場合に限る。
素数p が 完全レプテンド素数 かつ安全素数 である場合、1 / p は p − 1 個の擬似 乱数を生成します。これらの素数は
7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, 2063... ( OEIS の シーケンス A000353 ) 。
素数のその他の逆数 循環数を生成しない素数の逆数には、次のようなものがあります。
1/3 = 0.3 で あり 、周期（繰り返し長さ）は 1です 1 / 11 = で 。 1 / 13 0.076923 で 、周期は 6 です。 1 / 31 0.032258064516129 で 、周期は 15 です。 1 / 37 = で 。 1 / 41 0.02439 で 。 1 / 43 で あり 、 周期は 21 です。1 / 53 で あり 、 周期は 13 です。1 / 67 で あり 、 周期は 33 です。 1 / 71 01408450704225352112676058338028169 であり、周期は 35 です。1 / 73 = で 、周期は 8 です。 1 / 79 0.0126582278481 で あり 、周期は 13 です。 1 / 83 01204819277108433734939759036144578313253 であり、周期は 41 です。 1 / 89 01123595505617977528089887640449438202247191 であり、周期は 44 です。（ OEIS における配列番号 A006559 ）
理由は、3は9の約数、11は99の約数、41は99999の約数などだからです。1 / p の 周期 を求めるには、素数p が999...999のうち、桁数がp - p - 1より大きくなることはないので、 10p - 1-1 / p を 。 ます 。
10 11 − 1 − 1 11 = 909090909 {\displaystyle {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909} そして、目視によって循環小数09と周期2を見つけます。
素数の逆数は、いくつかの循環小数列と関連付けることができます。たとえば、1/13 の倍数は、循環 小数 の 異なる2 つのセットに分けることができます。最初のセットは 次
1 / 13 0.076923 10 / 13 0.769230 9 / 13 0.692307 12 / 13 0.923076 3 / 13 0.230769 4 / 13 0.307692 各分数の循環小数は、076923 の循環的な並べ替えである。2 番目のセットは次のとおりである。
2 / 13 0.153846 7 / 13 0.538461 5 / 13 0.384615 11 / 13 = 6 / 13 0.461538 8 / 13 0.615384 ここで、各分数の循環小数は153846の循環的な並べ替えである。
一般に、素数p の逆数の真の倍数の集合はn 個の部分集合からなり、各部分集合は繰り返し長さk を持ち、ここでnk = p − 1 である。
トーシェントの法則 任意の整数nに対して、 1 / n 長 L ( n )はφ ( n ) を割り切る。ここでφ トーシェント 関数 である。長さがφ ( n )と等しくなるのは、10 が n を法とする原始根で ある場合のみである。[ 11 ]
特に、L ( p ) = p − 1となるのは、 p が 素数であり、10 がp を法とする原始根である 場合に限る。すると、 n = 1, 2, ..., p − 1のn / p の p − 1を pは 完全循環素数 と呼ばれる。
10までの互いに素な合成整数の逆数 pが 2 1 / p² の 小数表現は次のようになります
1 / 49 0.020408163265306122448979591836734693877551 周期（繰り返し長さ）L （49）は λ （49） = 42の約数でなければならない。ここでλ （n ）は カーマイケル関数 として知られている。これは、 nが 正の整数である場合、 λ （n ）は最小の整数m であると述べるカーマイケルの定理 から導かれる。
1 m ≡ 1 （ モジュール n ） {\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}} n と互いに素 なすべての整数a に対して。
1 / p 2 通常 、 T p は 1 p の 周期 です 。 この が p 2 が 10 p − 1 − 1 を割り切るため、1 / p 2 の周期は1 / p 。 OEIS の 数列 A045616 ) です。[ 12 ]
同様に、 1 / p k は p k –1 T pです 。
p とqが 2または5以外の素数である場合、分数 1/pq の小数表現は繰り返さ れ ます 。 1 / 119 が あり 。
119 = 7 × 17λ (7 × 17) = LCM ( λ (7), λ (17)) = LCM(6, 16) = 48、ここで、LCMは最小公倍数 を表します。
1 / pq T は λ ( pq )の約数であり、
1 / 119 008403361344537815126050420168067226890756302521 。1 / pq T は T p T q T p 1 / p の 、 T q は 1 / q の ある
p 、q 、r などが2または5以外の素数であり、k 、ℓ 、m などが正の整数である場合、
1 p k q ℓ r m ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}} は周期が の循環小数です
LCM （ T p k 、 T q ℓ 、 T r m 、 … ） {\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )} ここで、T p k 、T q ℓ 、T r m 、... はそれぞれ、上記で定義された循環小数 1 / p k 1 / q ℓ 1 / r m
互いに素でない整数の逆数（10と等しい） 10と互いに素ではないが、2または5以外の素因数を持つ整数の逆数は、最終的には周期的になるが、繰り返し部分の前の数字列は繰り返されない。逆数は次のように表すことができる。
1 2 1 ⋅ 5 b p k q ℓ ⋯ 、 {\displaystyle {\frac {1}{2^{a}\cdot 5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,} ただし、a とbは 両方ともゼロではない。
この分数は次のように表すこともできます。
5 1 − b 10 1 p k q ℓ ⋯ 、 {\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,} a > b の 場合、または
2 b − 1 10 b p k q ℓ ⋯ 、 {\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,} b > a の 場合、または
1 10 1 p k q ℓ ⋯ 、 {\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,} a = b の 場合。
小数には以下が含まれます。
小数点以下最大( a , b )桁の初期過渡値。過渡値の桁の一部または全部がゼロになる場合がある。 分数 1 / p k q ℓ ⋯ 例えば、 1 / 28 = 571428 :
a = 2、b = 0、その他の因子p k q ℓ ⋯ = 7最初の重複しない数字は 03 です。 571428 という数字は6 桁 の 繰り返しで、これ は 1/7
循環小数を分数に変換する 循環小数が与えられた場合、それを生成する分数を計算することが可能です。例えば：
別の例：
近道 以下の手順は、特に循環小数にn 桁の数字があり、最後の1桁を除いてすべて0で、最後の1桁だけが1である場合に適用できます。例えば、n = 7の場合：
x = 0.000000100000010000001 … 10 7 x = 1.000000100000010000001 … （ 10 7 − 1 ） x = 9999999 x = 1 x = 1 10 7 − 1 = 1 9999999 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}} つまり、この特定の循環小数は、分母がn 9s と書かれた数である分数 1 / 10 n − 1
7.48181818 … = 7.3 + 0.18181818 … = 73 10 + 18 99 = 73 10 + 9 ⋅ 2 9 ⋅ 11 = 73 10 + 2 11 = 11 ⋅ 73 + 10 ⋅ 2 10 ⋅ 11 = 823 110 {\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}} または
11.18867924528301886792452830 … = 11 + 0.18867924528301886792452830 … = 11 + 10 53 = 11 ⋅ 53 + 10 53 = 593 53 {\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}} 小数点直後から始まるn 桁の循環小数を分数で表す一般式を得ることが可能です。
x = 0. 1 1 1 2 ⋯ 1 n ¯ 10 n x = 1 1 1 2 ⋯ 1 n 。 1 1 1 2 ⋯ 1 n ¯ （ 10 n − 1 ） x = 99 ⋯ 99 x = 1 1 1 2 ⋯ 1 n x = 1 1 1 2 ⋯ 1 n 10 n − 1 = 1 1 1 2 ⋯ 1 n 99 ⋯ 99 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}} より具体的には、以下のケースが考えられます。
循環小数が 0 から 1 の間であり、循環ブロックがn 桁で、小数点の直後に最初に現れる場合、分数 (必ずしも約分されているとは限らない) は、n桁のブロックで表される整数を n 個の 9で表される整数で割った値になります。たとえば、
0.444444... = 4 / 9繰り返しブロックは 4 、 0.565656... = 56 / 99 繰り返し ブロックは 0.012012... = 12 / 999繰り返しブロックは 012 4 / 333 に 簡略 。 0.999999... = 9 / 9 = ） 循環小数が上記のとおりで、小数点と循環するn桁のブロックの間に k 個の(余分な) 桁の 0 がある場合、分母の n桁の 9 の後に k 個の桁の 0を追加するだけで済みます(そして、以前と同様に、分数はその後簡約化できます)。たとえば、
0.000444... = 4 / 9000 ため 、 0.005656... = 56 / 9900 繰り返し 、 0.00012012... = 12 / 99900 = 1 / 8325 ある ため 。 上記の形式に該当しない循環小数は、有限小数と上記の2種類の循環小数のいずれかの和として表すことができます（実際には最初のタイプで十分ですが、その場合は有限小数が負になる必要があるかもしれません）。例えば、
1.23444 ... = 1.23 + 0.00444 ... 123 / 100 + 4 / 900 = 1107 / 900 + / 900 1111 / 900 または、 1.23444 ... = 0.79 + 0.44444 = 79 / 100 + / 9 711 / 900 400 / 900 = 1111 / 900 0.3789789 ... = 0.3 + 0.0789789 ... 3 / 10 + 789 / 9990 = 2997 / 9990 + 789 / 9990 = 3786 9990 = 631 / 1665 または、0.3789789... = −0.6 + 0.9789789... = − 6 / 10 5994 / 9990 9780 / 9990 3786 / 9990 631 / 1665 さらに速い方法は、小数点を完全に無視して次のようにすることです。
1.23444... = 1234 − 123 / 900 = 1111 / 900 (分母には9が1つと0が2つあります。 これ 0.3789789... = 3789 − 3 / 9990 = 3786 / 9990 。これは、3つの数字 が したがって、周期 n で、小数点以下k桁が循環部分に属さない循環小数は、分母が (10 n − 1)10 k
逆に、分数 c / d n d で割り切れる最小の数n になります。
例えば、分数 2 / 7 の d = 7であり、 10 k kは k = 6 です。なぜなら 999999 = 7 × 142857 だからです。したがって、分数 2 / 7
循環小数を無限級数として表す 循環小数は無限級数 としても表現できます。つまり、循環小数は無限個の有理数の和と考えることができます。最も簡単な例を挙げると、
0. 1 ¯ = 1 10 + 1 100 + 1 1000 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 10 n {\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}} 上記の数列は、初項が 1/10、公約数が 1/10 で 等比 数列 です 公約 数 の 絶対 値 が 収束し 、次の式を使用して分数の形で正確な値を求めることができます。ここで、a は数列の初項、r は公約数です。
1 1 − r = 1 10 1 − 1 10 = 1 10 − 1 = 1 9 {\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}} 同様に、
0. 142857 ¯ = 142857 10 6 + 142857 10 12 + 142857 10 18 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 142857 10 6 n ⟹ 1 1 − r = 142857 10 6 1 − 1 10 6 = 142857 10 6 − 1 = 142857 999999 = 1 7 {\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}
繰り返し長さのその他の特性 繰り返し長さ（周期）のさまざまな性質は、ミッチェル[ 13 ] [ 14 ]によって与えられています。
整数 k に対する1 / k の 周期 常に ≤ k − 1 です。 p が素数の場合、 1 / p p - 1 を割り切る k が合成数の場合、 1 / k の k - 1 より厳密に小さい。 c と k が互いに素な 場合 c / k / k の 等しい 。 k = 2 a b n で、n > 1 かつn が2 または 5 で割り切れない場合、 1 / k の過渡状態の長さはmax ( a , b ) 、 周期は r に等しくなります。 ここでr は10 mod n の乗法次数 、つまり10 r ≡ 1 (mod n ) となる最小の整数です。 p 、p′ 、p″ 、...が異なる素数である場合、 1 / p p′ p″ ⋯ の周期は 、 1 / p 1 / p ″ 、 ... の 周期 の に ます 。 k とk′に 2 または 5 以外 の 1 / kk′ の周期 は 1 / k 1 / k ′ ます 。 素数p の場合、 期間 （ 1 p ） = 期間 （ 1 p 2 ） = ⋯ = 期間 （ 1 p m ） {\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)} あるm に対して、しかし 期間 （ 1 p m ） ≠ 期間 （ 1 p m + 1 ） 、 {\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),} するとc ≥ 0 の場合、次のようになります 。期間 （ 1 p m + c ） = p c ⋅ 期間 （ 1 p ） 。 \displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).} p が1 で終わる 真の素数 である場合、つまり、1 / p の循環小数が 長 さ p − 1 循環 小数であり、あるhに対して p = 10 h + 1である場合、各数字 0、1、...、9 は循環小数の中にちょうどh = p − 1 / 10 回 出現 し ます 反復句のその他の性質については、こちらも参照してください。[ 15 ]
他の基地への拡張 循環小数の様々な特徴は、10進数だけでなく、他のすべての整数基数における数の表現にも当てはまる。
すべての実数は、 整数部分、基数点（ 十進数以外のシステムにおける小数点 の一般化）、そして有限または無限の桁数で 表すことができます。 基数が整数であれば、終端 数列は明らかに有理数を表す。 有理数は、完全に約分された分数の分母のすべての素因数が底の素因数でもある場合、有限数列を持つ。これらの数は、Q R 稠密な集合 を構成する。 位置記数法が 標準的なものである場合、つまり基数がb ∈ Z ∖ { − 1 、 0 、 1 } {\displaystyle b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}} 連続する数字の組み合わせ D := { d 1 、 d 1 + 1 、 … 、 d r } {\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}} r := | b | d r := d 1 + r − 10 ∈ D の場合、終端シーケンスは明らかに数字 0 からなる非終端 繰り返し部分を持つ同じシーケンスと同等です。基数が正の場合、アルファベット D 右側無限文字列 の辞書式順序 から実数の閉区間への順序準同型が存在し、文字列 0. A 1 A 2 ... A n d b 0. A 1 A 2 ...( A n +1) d 1 ( A i ∈ D A n ≠ d b) は 平衡 3進数 では0. 1 = 1. T = 1 / 2 です 。 lの無限に繰り返される数列を持ちます。q が 既約分母の最大因数で底と互いに素である場合、l は q が b ℓ b mod q の乗法次数 ord q b )であり、これは カルマイケル関数 λ ( q ) の約数であり、λ ( q ) はq より小さいです。既約分数が底と素因数を共有する場合、繰り返し数列の前に有限長の過渡期が存在します。繰り返し数列（ 0. A 1 A 2 … A ℓ ¯ ） b {\displaystyle \left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}} 分数を表す （ A 1 A 2 … A ℓ ） b b ℓ − 1 。 {\displaystyle {\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{\ell }-1}}.} 無理数は、どの時点から見ても有限長の無限に繰り返される数列ではない、無限長の表現を持つ。 例えば、12進数 では、1 / 2 = / 3 = / 4 = / 6 = 0.2 は /5 = 0.2497 は 周期 4で繰り返されますが、 これ は0.2 に相当する 10 / 7 = 0.186A35 は 、 10 進 数と同様に、 12進数でも周期 6 です。
b が整数基数でk が整数である場合、
1 k = 1 b + （ b − k ） 1 b 2 + （ b − k ） 2 b 3 + （ b − k ） 3 b 4 + ⋯ + （ b − k ） N − 1 b N + ⋯ = 1 b 1 1 − b − k b 。 {\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(bk)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(bk)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(bk)^{3}}{b^{4}}}+\cdots +{\frac {(bk)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots ={\frac {1}{b}}{\frac {1}{1-{\frac {bk}{b}}}}.} 例えば、1/7を12進数で表すと次のようになります。 1 7 = （ 1 10 1 + 5 10 2 + 21 10 3 + A 5 10 4 + 441 10 5 + 1985 10 6 + ⋯ ） 12進法 {\displaystyle {\frac {1}{7}}=\left({\frac {1}{10^{\phantom {1}}}}+{\frac {5}{10^{2}}}+{\frac {21}{10^{3}}}+{\frac {A5}{10^{4}}}+{\frac {441}{10^{5}}}+{\frac {1985}{10^{6}}}+\cdots \right)_{\text{base 12}}}
これは 0 です。186A35 base12 。 10 base12 は 12 base10 、10 2 base12 は 144 base10 、21 base12 は 25 base10 、A5 base12 は 125 base10 です。
正の塩基に対するアルゴリズム 有理数0 < p / q (および底b ∈ N >1
function b_adic ( b , p , q ) // b ≥ 2; 0 < p < q digits = "0123..." ; // 値が b-1 の桁まで begin s = "" ; // 数字の文字列 pos = 0 ; // すべての桁は小数点の右端まで while not defined ( occurs [ p ]) do occurs [ p ] = pos ; // 余り p の桁の位置 bp = b * p ; z = floor ( bp / q ) ; // 0 ≤ z ≤ b-1 内の桁のインデックス z p = b * p − z * q ; // 0 ≤ p < q if p = 0 then L = 0 ; if not z = 0 then s = s . substring ( digits , z , 1 ) end if return ( s ) ; end if s = s . substring ( digits , z , 1 ) ; // 数字の文字を追加 pos += 1 ; end while L = pos - occurs [ p ] ; // 循環小数の長さ (q 未満) // 循環小数の数字を括弧でマークします: for i from occurs [ p ] to pos - 1 do substring ( s , i , 1 ) = overline ( substring ( s , i , 1 )) ; end for return ( s ) ; end 関数 最初の強調表示された行は、数字z を計算します。
次の行では、分母q を法とする除算 の新しい剰余p′を計算します。 床関数 の結果として、次のようになります。floor
b p q − 1 < z = ⌊ b p q ⌋ ≤ b p q 、 {\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},} したがって
b p − q < z q ⟹ p ′ := b p − z q < q {\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q} そして
z q ≤ b p ⟹ 0 ≤ b p − z q =: p ′ 。 {\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.} これらの剰余p はすべて q より小さい非負整数であるため、その数は有限であり、whileループ内で必ず繰り返されることになります。このような繰り返しは、連想配列 occursによって検出されます。新しい数字z は黄色の行で形成され、p は唯一の非定数です。循環小数の長さL は剰余の数に等しくなります (「すべての有理数は有限小数か循環小数のいずれかである 」のセクションも参照)。
注記 ↑ クーラント、R. およびロビンス、H.『数学とは何か？：概念と方法への初歩的アプローチ』第 2 版、 オックスフォード、イングランド：オックスフォード大学出版局、1996 年、p. 67。 ↑ ベスウィック、キム（2004）「なぜ0.999…＝1なのか？：永遠の疑問と数感覚」オーストラリア数学教師 、60 （4）：7–9 ↑ 「ランバートによる$\pi$が無理数であるというオリジナルの証明」 。Mathematics Stack Exchange 。 2023年12月19日 取得 。 ↑ スイス・ロマンドとデュ・テッサンの教育パブリックカントナーレカントナーレ（2011年）。補佐官メモワール 。数学 9-10-11。 LEP。 20～21ページ。 ↑ 基底b と除数n に対して、群論の観点から、この長 さは 命令 n （ b ） := ミニ { L ∈ N ∣ b L ≡ 1 モジュール n } {\displaystyle \operatorname {ord} _{n}(b):=\min\{L\in \mathbb {N} \,\mid \,b^{L}\equiv 1{\bmod {n}}\}} モジュラー演算 ≡1 mod n ）はカーマイケル関数を割り切る。 λ （ n ） := 最大 { 命令 n （ b ） ∣ gcd （ b 、 n ） = 1 } {\displaystyle \lambda (n):=\max\{\operatorname {ord} _{n}(b)\,\mid \,\gcd(b,n)=1\}} オイラーのトーシェント関数 φ ( n )を割ります。 ↑ ヴオリネン、アーペリ。 「有理数には繰り返しの小数展開があります 。 」アーペリ ・ ヴオリネン 2023 年 12 月 23 日 に取得 。 ↑ 「循環小数の集合」 。www.sjsu.edu 。 2023年12月23日に オリジナルからアーカイブ済み 。 2023年12月23日 に 取得。 ↑ RoRi (2016-03-01). "循環小数はすべて有理数であることを証明せよ" . Stumbling Robot . 2023年12月23日の オリジナルからアーカイブ済み . 2023年12 月23日取得 . ↑ Gray, Alexander J. (2000年3月). "素数のデジタル根と逆数". Mathematical Gazette . 84 (499): 86. doi : 10.2307/3621484 . JSTOR 3621484. S2CID 125834304. 5より大きい素数の場合、すべてのデジタル根は同じ値9を持つようです。これを確認できるの は ... ↑ ディクソン、LE、『数論の歴史』 第1巻、チェルシー出版、1952年。 ↑ ウィリアム・E・ヒール。「循環小数のいくつかの性質」。数学年報、第3巻、第4号（1887年8月）、97-103ページ ↑ アルバート・H・ベイラー著『数の理論における娯楽 』 79ページ ↑ ミッチェル、ダグラス W.、「既知の長いサイクル長を持つ非線形乱数発生器」、クリプトロギア – 62。 ↑ ディクソン、レナード・E. 、『数論の歴史』 第1巻～ 173ページ。↑ Armstrong, NJ、および Armstrong, RJ、「循環小数のいくつかの性質」、 Mathematical Gazette 87、2003 年 11 月、pp. 437–443。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\cdot 2}{9\cdot 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\cdot 73+10\cdot 2}{10\cdot 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6cf612540b8255ca0ae162cc6f8ccad16a2ed93)
![{\displaystyle {\begin{aligned}11.18867924528301886792452830\ldots &=11+0.18867924528301886792452830\ldots \\[8pt]&=11+{\frac {10}{53}}={\frac {11\cdot 53+10}{53}}={\frac {593}{53}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ebeebd569c5d473703b099d8068247a0def48d7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\[5pt]\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\[5pt]x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2515e466c7582dd33e653060a6efdebcff65665)
![{\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b641179f87b6e5f31361e4a13892afeb2a0e19d5)
