積分次数（微積分）

微積分学において、積分順序の入れ替えとは、関数の反復積分（またはフビニの定理を用いた多重積分）を、積分を実行する順序を変更することによって、より単純な積分に変換する手法である。積分順序の入れ替えが有効な場合もあれば、そうでない場合もある。

試験問題は次の形式の積分を評価することである。

${\displaystyle \iint _{D}\ f(x,y)\ dx\,dy,}$

ここで、Dはxy平面上の何らかの 2 次元領域です。関数fによっては直接積分が可能ですが、そうでない場合は、積分の順序を変更することで積分をより簡単な形式に簡略化できる場合があります。この順序変更の難しさは、領域Dの記述の変化を決定することです。

この方法は他の多重積分にも適用可能です。^{[ 1 ] [ 2 ]}

場合によっては、完全な評価が困難であったり、数値積分が必要となる場合でも、二重積分を単一の積分に簡略化できることがあります。これは次に示す例で示されます。単一の積分に簡略化することで、数値評価がはるかに容易かつ効率的になります。

反復積分を考える

${\displaystyle \int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx,}$

この式では、2 番目の積分が最初にyに関して計算され、x は一定に保たれます。幅dxの帯が最初にy方向で積分され ( x方向の幅dxの帯がy変数に関してy方向に沿って積分され)、 y軸に沿って幅dyの長方形が無限に加算されます。これにより、x 軸に沿ってdx幅の3 次元スライスが形成され、y軸に沿ってy = aからy = xまで、 z方向ではz = h ( y ) となります。厚さdxが無限小の場合、x はスライス上で無限小にしか変化しないことに注意してください。x は一定であると仮定できます。 [ ^{3 ]この}積分は図 1 の左パネルに示されていますが、関数h ( y ) が容易に積分できない場合は特に不便です。積分の順序を逆にすることで、図の右パネルに示すように、積分を 1 つの積分に減らすことができます。この変数交換を行うために、まず幅dyの帯を直線x = yからx = zまで積分し、次にその結果をy = aからy = zまで積分すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \int _{a}^{z}\int _{a}^{x}h(y)\ dy\ dx=\int _{a}^{z}h(y)\ dy\ \int _{y}^{z}dx=\int _{a}^{z}\left(zy\right)h(y)\,dy.}$

この結果は、以下に示す部分積分公式の一例であることがわかります。 ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx}$

代わりの：

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}h(y)\,dy~{\text{ および }}~g'(x)=1.}$

それによって結果が得られます。

主値積分への応用については、Whittaker と Watson ^{[ 5 ]} 、 Gakhov ^{[ 6 ]} 、 Lu ^{[ 7 ]}、または Zwillinger ^{[ 8 ]を参照。また、Obolashvili [ 9 ]}の Poincaré-Bertrand 変換に関する議論も参照。積分順序を交換できない例は Kanwal によって示されている。^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}{\frac {d{\tau }_{1}}{{\tau }_{1}-t}}\ \int _{L}^{*}\ g(\tau ){\frac {d\tau }{\tau -\tau _{1}}}={\frac {1}{4}}g(t)\ ,}$

その間：

$\left\{\displaystyle {\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{L}^{*}g(\tau )\ d\tau \left(\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\left(\tau _{1}-t\right)\left(\tau -\tau _{1}\right)}}\right)=0\ .}$

2番目の形式は部分分数展開とソホツキ-プレメリの公式を使用した評価によって評価されます: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\int _{L}^{*}{\frac {d\tau _{1}}{\tau _{1}-t}}=\pi \ i\ .}$

表記法$\displaystyle \int _{L}^{*}}$はコーシー主値を示します。カンワルを参照してください。^{[ 10 ]}

積分順序を逆転させる根拠についての議論は、TW Körner 著のフーリエ解析の書籍に記載されています。 ^{[ 12 ]}彼は、積分順序を入れ替えると、以下の定理 II の条件が満たされないために 2 つの異なる結果が生じる例を用いて議論を始めています。その例は次のとおりです。

$\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy=\left[{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right]_{1}^{\infty }=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\ \left[x\geq 1\right]\ .}$

$\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dy\right)\ dx=-{\frac {\pi }{4}}\ .}$

$\displaystyle \int _{1}^{\infty }\left(\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}\ dx\right)\ dy={\frac {\pi }{4}}\ .}$

交換の許容性に関する2つの基本定理は、ChaudhryとZubairから以下に引用されている。^{[ 13 ]}

定理 I — f ( x , y )をa ≤ x < ∞、c ≤ y < ∞に対して定義された定数符号の連続関数とし、積分を次のように定義する。 

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx}$          そして          ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy}$

対応するパラメータの関数とみなされ、それぞれc ≤ y < ∞、a ≤ x < ∞ で連続である。このとき、反復積分の少なくとも 1 つが

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }\ f(x,\ y)dx\right)dy}$          そして          ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }\ f(x,\ y)dy\right)dx}$

一方の積分が収束すると、もう一方の積分も収束し、それらの値は一致する。

定理 II — f ( x , y )はa ≤ x < ∞、c ≤ y < ∞で連続であるとし、積分は 

${\displaystyle J(y):=\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)\,dx}$          そして          ${\displaystyle J^{*}(x)=\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)\,dy}$

それぞれ、任意の有限区間c ≤ y < Cおよび任意の有限区間a ≤ x < Aで一様収束する。このとき、反復積分の少なくとも 1 つが

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }|f(x,\ y)|dx\right)dy}$          そして          ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\ \left(\int _{c}^{\infty }|f(x,\ y)|dy\right)dx}$

反復積分は収束する

${\displaystyle \int _{c}^{\infty }\left(\int _{a}^{\infty }f(x,\ y)dx\right)dy}$          そして          ${\displaystyle \int _{a}^{\infty }\left(\int _{c}^{\infty }f(x,\ y)dy\right)dx}$

また、それらの値は収束し、等しい。

応用において最も重要な定理は、プロッターとモリーから引用されている。^{[ 14 ]}

定理— Fを次のように定義される領域とする。${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):a\leq x\leq b,p(x)\leq y\leq q(x)\right\}\,}$ここで、pとqは連続であり、a ≤ x ≤ bに対してp ( x ) ≤ q ( x )である。f( x , y )がF上で連続であると仮定する。すると 

${\displaystyle \iint _{F}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{p(x)}^{q(x)}f(x,\ y)\,dy\ dx.}$

閉領域Fが表現を持つ場合、対応する結果が成り立つ。${\displaystyle F=\left\{(x,\ y):c\leq y\leq d,\ r(y)\leq x\leq s(y)\right\}}$ここで、 c ≤ y ≤ dの場合、 r ( y )  ≤ s ( y ) である。 このような場合、  

${\displaystyle \iint _{F}f(x,\ y)dA=\int _{c}^{d}\int _{r(y)}^{s(y)}f(x,\ y)\,dx\ dy\ .}$

言い換えれば、計算可能な場合、両方の反復積分は二重積分に等しく、したがって互いに等しい。

• フビニの定理

• ポールのオンライン数学ノート：微積分III
• オレゴン州立大学数学科による、反復積分を用いた「二重積分」の計算を示す優れた3D画像。
• Ron Miech の UCLA 微積分問題集 ( 2016 年 8 月 16 日アーカイブ)積分順序の変更に関するより複雑な例 (問題 33、35、37、39、41、43 を参照)
• デュアン・ナイカンプのミネソタ大学のウェブサイト