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数学では、代数曲線Cの角性は、 Cから射影直線への非定数有理写像の最低次数として定義されます。より代数的な用語で言えば、C が体K上で定義され、K ( C ) がCの関数体を表す場合、角性は体拡大の次数が取る最小値です。
- K (炭素)/ K (鉛)
関数体上の、単一の関数fによって生成される部分体上の分布。
Kが代数的に閉じている場合、種数0の曲線に対しては、ゴナリティは1になります。種数1の曲線（楕円曲線）と超楕円曲線（種数2のすべての曲線を含む）に対しては、ゴナリティは2になります。種数g ≥ 3の場合、種数がゴナリティを決定することはもはや当てはまりません。種数gの一般曲線のゴナリティは、次の床関数です。
- ( g +3)/2 です。
三角曲線は、角数が3の曲線であり、このことから一般にこの名前が付けられました。三角曲線には、種数3で次の式で表されるピカール曲線が含まれます。
- y 3 = Q ( x )
ここでQは4次です。
M. グリーンと R. ラザースフェルドのゴナリティ予想は、高次の可逆層の最小解から、ホモロジー代数の手段で代数曲線Cのゴナリティを計算できることを予測しています。多くの場合、ゴナリティはクリフォード指数より 2 大きくなります。グリーン-ラザースフェルド予想は、種数に対してd が大きい場合、r次元での次数dの埋め込みに対する次数付きベッチ数の正確な式です。β i , i + 1 がゼロになる最小の指数iについて、 Cのそのような埋め込みとその同次座標環 の最小自由解に関してb ( C )と書くと、ゴナリティの予想式は次のようになります 。
- r + 1 − b ( C ) です。
フェデリコ・アモデオの 1900 年の ICM 講演によれば、この概念 (用語ではない) はリーマンのアーベル関数の理論の第 V 部に由来する。 アモデオは 1893 年にはすでに「gonalità」という用語を使用していた。
参考文献
- アイゼンバッド、デイヴィッド(2005)。『朔望の幾何学。可換代数と代数幾何学の第 2 コース』。数学大学院テキスト。第 229 巻。ニューヨーク、NY: Springer-Verlag。pp . 171、178。ISBN 0-387-22215-4MR 2103875. Zbl 1066.14001 .
- 種数5の三角曲線の幾何学的入門
- GitHub 上の特殊三角曲線の例を構築するためのコード ( Macaulay2で記述)