ブリル・ネーター理論

代数幾何学において、アレクサンダー・フォン・ブリルとマックス・ネーター （1874年）によって提唱されたブリル・ネーター理論は、特殊因子、つまり曲線C上の特定の因子が予測されるよりも多くの適合関数を決定する研究です。古典的な言葉で言えば、特殊因子は曲線上を「予想よりも大きい」因子の線形システムで動きます。

全体を通して、複素数上（または他の代数的に閉じた体上）の射影的な滑らかな曲線を考えます。

特殊因子Dとなる条件は、層コホモロジーの項で、 Dに付随する可逆層または直線束の切断層のH ¹ コホモロジーがゼロでないという形で定式化できます。これは、リーマン・ロッホの定理により、H ⁰コホモロジーまたは正則切断の空間が予想よりも大きいこと を意味します。

あるいは、セール双対性により、曲線上に 約数≥ – Dを持つ正則微分が存在することが条件となります。

与えられた種数gに対して、種数gの曲線Cのモジュライ空間には、特殊因子の最小値を持つ曲線をパラメータ化する稠密な部分集合が含まれるはずです。理論の目標の 1 つは、これらの曲線の「定数を数える」ことです。つまり、 gの関数として、その種数の曲線上に必ず存在する、 与えられた次数dの特殊因子 (線形同値まで) の空間の次元を予測することです。

基本的な記述は、滑らかな曲線Cのピカール多様体 Pic( C )と、リーマン・ロッホの定理の表記法で与えられた値dがdeg( D )でrがl ( D ) – 1である、因子Dの因子類に対応するPic( C ) の部分集合によって定式化できます。Pic( C )におけるこの部分集合の次元dim ( d , r , g )には下限ρがあります。

${\displaystyle \dim(d,r,g)\geq \rho =g-(r+1)(g-d+r)}$

ブリル・ネーター数と呼ばれる。この式は記憶術（望ましい数とリーマン・ロッホ数を使用） で覚えることができる。${\displaystyle h^{0}(D)=r+1}$

${\displaystyle g-(r+1)(g-d+r)=gh^{0}(D)h^{1}(D)}$

滑らかな曲線Cとd ≥ 1、r ≥ 0に対して、 C上の次数d、次元rの線型システムの空間に関する基本的な結果は次${\displaystyle G_{d}^{r}}$のとおりです。

• ジョージ・ケンプは、 ρ ≥ 0の場合、⁠ ⁠ は${\displaystyle G_{d}^{r}}$空ではなく、すべてのコンポーネントの次元は少なくともρであることを証明しました。
• ウィリアム・フルトンとロバート・ラザースフェルドは、 ρ ≥ 1の場合、 ⁠ ⁠ は${\displaystyle G_{d}^{r}}$連結であることを証明しました。
• Griffiths & Harris (1980) は、Cがジェネリックである場合、⁠ ⁠${\displaystyle G_{d}^{r}}$は簡約され、すべてのコンポーネントの次元は正確にρである(したがって特に⁠ ⁠ ${\displaystyle G_{d}^{r}}$ρ < 0の場合、 ⁠ ⁠は空である) ことを示しました。
• David Gieseker は、Cがジェネリックであれば⁠ ⁠${\displaystyle G_{d}^{r}}$は滑らかであることを証明しました。連結性の結果により、ρ > 0の場合、これは既約であることを意味します。

線形システムの 空間${\displaystyle G_{d}^{r}}$に関して必ずしも考慮されていないその他の最近の結果は次のとおりです。

• エリック・ラーソン（2017）は、ρ≥0 、 r≥3 、 n≥1​​の場合、制限写像は最大ランクであることを証明した。これは最大ランク予想としても知られている。^[1] [ ^2]${\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n))\rightarrow H^{0}({\mathcal {O}}_{C }(n))}$

• エリック・ラーソンとイザベル・ヴォクト（2022）は、ρ ≥ 0の場合、4つの例外的な場合を除いて、⁠ ⁠内のn個の一般点を通る曲線Cが存在することを証明した: ( d , g , r ) ∈ {(5,2,3),(6,4,3),(7,2,5),(10,6,5)}。^{[3] [4]}${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$${\displaystyle (r-1)n\leq (r+1)d-(r-3)(g-1),}$

• Barbon, Andrea (2014). 代数的ブリル・ノイマン理論(PDF) (修士論文). ナイメーヘン・ラドバウド大学.
• アルバレロ、エンリコ。コルナルバ、マウリツィオ;グリフィス、フィリップ A.ハリス、ジョー (1985)。 「ブリル・ネーター理論の基本的な結果」。代数曲線の幾何学。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 267. Vol. I.、203–224ページ。土井：10.1007/978-1-4757-5323-3_5。ISBN 0-387-90997-4。
• フォン・ブリル、アレクサンダー。ネーター、マックス (1874)。 「Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie」。数学アンナレン。7 (2): 269–316。土井：10.1007/BF02104804。JFM  06.0251.01。S2CID  120777748 。2009 年 8 月 22 日に取得。
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• フィリップ A. グリフィス、ジョー ハリス(1994)。代数幾何学の原理。ワイリー クラシックス ライブラリー。ワイリー インターサイエンス。p. 245。ISBN 978-0-471-05059-9。