スティフェル・ホイットニー級

数学、特に代数位相幾何学と微分幾何学において、スティフェル・ホイットニー類は、実ベクトル束の位相的不変量の集合であり、ベクトル束の切断のどこでも独立した集合を構成する際の障害を記述する。スティフェル・ホイットニー類は 0 からnまでの添字が付けられ、ここでn はベクトル束の階数である。添字iのスティフェル・ホイットニー類がゼロでない場合、ベクトル束のどこでも線型独立な切断は存在できない。ゼロでないn 番目のスティフェル・ホイットニー類は、束のすべての切断がどこかの点で消えなければならないことを示す。ゼロでない最初のスティフェル・ホイットニー類は、ベクトル束が向き付け可能でないことを示す。たとえば、円上の直線束としてのメビウスの帯の最初のスティフェル・ホイットニー類はゼロではないが、円上の自明な直線束の最初のスティフェル・ホイットニー類はゼロである。 ${\displaystyle (n-i+1)}$${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

シュティーフェル・ホイットニー類は、エドゥアルト・シュティーフェルとハスラー・ホイットニーにちなんで名付けられ、実ベクトル束に関連付けられた-特性類の例です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

代数幾何学では、エタールコホモロジー群またはミルノアの K 理論の値を取る、非退化二次形式を持つベクトル束に対しても、同様のスティフェル・ホイットニー類を定義することができます。特殊なケースとして、体上の二次形式に対してスティフェル・ホイットニー類を定義することができ、最初の 2 つのケースは判別式とハッセ・ウィット不変量です(Milnor 1970)。

実ベクトル束Eに対して、Eのスティフェル・ホイットニー類はw ( E )と表記される。これはコホモロジー環の元である。

${\displaystyle H^{\ast }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

ここで、X はバンドルEの基底空間であり、（ とも表記される）は 0 と 1 のみを元とする可換環である。におけるの成分は で表記され、Eのi番目の Stiefel–Whitney クラスと呼ばれる。したがって、 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle w_{i}(E)}$

${\displaystyle w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\cdots }$、

ここで、それぞれはの要素です。 ${\displaystyle w_{i}(E)}$${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

スティフェル・ホイットニー類は実ベクトル束Eの不変量である。すなわち、F がEと同じ基底空間X を持つ別の実ベクトル束であり、F がEに同型である場合、スティフェル・ホイットニー類と は等しい。（ここで同型とは、恒等式をカバーするベクトル束同型が存在することを意味する。）2つの実ベクトル束EとFが同型かどうかを判断することは一般に困難であるが、スティフェル・ホイットニー類と は簡単に計算できることが多い。これらが異なる場合、 EとF は同型ではないことがわかる。 ${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle w(F)}$ ${\displaystyle E\to F}$${\displaystyle \mathrm {id} _{X}\colon X\to X}$${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle w(F)}$

一例として、円上には、 自明な束と同型ではない直線束（つまり、階数 1 の実ベクトル束）があります。この直線束Lはメビウスの帯（ベクトル空間構造をファイバーに装備してベクトル束にすることができるファイバー束）です。コホモロジー群には 0 以外の要素が 1 つだけあります。この要素は、 Lの最初の Stiefel–Whitney 類です。 上の自明な直線束は最初の Stiefel–Whitney 類 0 を持つため、 Lと同型ではありません。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle w_{1}(L)}$${\displaystyle S^{1}}$

同じスティフェル・ホイットニー類を持つ2 つの実ベクトル束EとFは、必ずしも同型ではありません。これは、たとえばEとF が同じ基底空間X上の異なる階数の自明な実ベクトル束である場合に起こります。 EとF が同じ階数を持つ場合にも起こり得ます。2次元球面の接線束と 上の階数 2 の自明な実ベクトル束は同じスティフェル・ホイットニー類を持ちますが、同型ではありません。しかし、 X上の 2 つの実直線束が同じスティフェル・ホイットニー類を持つ場合、それらは同型です。 ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

スティフェル・ホイットニー類は、エドゥアルド・スティフェルとハスラー・ホイットニーが、Xのiスケルトンに制限されたベクトル束Eのどこでも線型独立な切断を構成する障害類のmod-2還元として発見したことからその名前が付けられました。ここでn はベクトル束のファイバーの次元を表します。 ${\displaystyle w_{i}(E)}$${\displaystyle n-i+1}$ ${\displaystyle F\to E\to X}$

正確には、X がCW 複体である場合、 Whitney はねじれ係数を持つXのi番目の細胞コホモロジー群のクラスを定義しました。係数系は、Eのファイバー内の線型独立ベクトルのStiefel 多様体の- 次ホモトピー群です。 Whitney は、 EがXのi -スケルトンに制限される場合、線型独立セクション を持つ場合のみであることを証明しました。${\displaystyle W_{i}(E)}$${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle V_{n-i+1}(F)}$${\displaystyle n-i+1}$${\displaystyle W_{i}(E)=0}$${\displaystyle n-i+1}$

は無限巡回か と同型なので、クラスをStiefel–Whitney クラスに正規化することができます。さらに、 の場合は常に、2 つのクラスは同一です。したがって、バンドルが有向である場合に限ります。 ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle W_{i}(E)}$${\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle w_{1}(E)=0}$${\displaystyle E\to X}$

このクラスは定義により 1 に等しいため、情報は含まれません。Whitney によるこのクラスの生成は創造的な表記法によるもので、Whitney の和の式が成り立つようにするものです。 ${\displaystyle w_{0}(E)}$${\displaystyle w(E_{1}\oplus E_{2})=w(E_{1})w(E_{2})}$

全体を通して、 は群Gの係数を持つ空間Xの特異コホモロジーを表します。マップという言葉は常に位相空間間の連続関数を意味します。 ${\displaystyle H^{i}(X;G)}$

パラコンパクト基底空間X上の有限階数実ベクトル束EのStiefel-Whitney 特性類は、次の公理が満たされる唯一の類として定義されます。 ${\displaystyle w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

1. 正規化:実射影空間上のトートロジー直線束のホイットニー類は非自明である。すなわち、 である。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/(a^{2})}$
2. ランク: Eのランクより上のiについては、つまり、${\displaystyle w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),}$${\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)}$${\displaystyle w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).}$
3. ホイットニー積の公式: つまり、直和のホイットニー類は加数の類のカップ積です。${\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smile w(F)}$
4. 自然性: 任意の実ベクトル束と写像に対して、 はプルバックベクトル束を表します。${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle f\colon X'\to X}$${\displaystyle f^{*}E}$

これらのクラスの一意性は、たとえば Husemoller のセクション 17.2 ～ 17.6 または Milnor と Stasheff のセクション 8 で証明されています。存在の証明は複数あり、さまざまな構成からさまざまなフレーバーで得られますが、それらの一貫性は一意性のステートメントによって保証されます。

このセクションでは、分類空間の概念を使用した構築について説明します。

任意のベクトル空間Vに対して、グラスマン多様体、つまり Vのn次元線型部分空間の成す空間をで表し、無限グラスマン多様体 を で表すものとする。 ${\displaystyle Gr_{n}(V)}$

${\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$。

これは、ある点におけるファイバーがWで表される部分空間であるファイバーVの自明なバンドルの部分バンドルとして定義できる、ランクnベクトルバンドルであるトートロジー バンドルを備えていることを思い出してください。 ${\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n},}$${\displaystyle W\in Gr_{n}(V)}$

を無限グラスマン多様体への連続写像とする。すると、同型を除いて、写像fによってX上に誘導される束${\displaystyle f\colon X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

は写像[ f ]のホモトピー類のみに依存する。したがって、引き戻し操作は集合

${\displaystyle [X;Gr_{n}]}$

ホモトピー同値性を法とする写像の集合 ${\displaystyle X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

X上の階数nのベクトル束の同型類。

(この構成における重要な事実は、X がパラコンパクト空間である場合、この写像は全単射であるということです。これが、無限グラスマン多様体をベクトル束の分類空間と呼ぶ理由です。)

さて、上記の自然性公理 (4) により、 となる。したがって、原理的にはすべてのjに対しての値を知っていれば十分である 。しかし、コホモロジー環は標準セル分解から生じる特定の生成子上で自由であり、これらの生成子は実際には によって与えられることが判明する。したがって、任意の階数 n のバンドルに対して、となる。ここでf は適切な分類マップである。これは特に、Stiefel–Whitney クラスの存在の証明の 1 つを提供する。 ${\displaystyle w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle w_{j}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle w_{j}=f^{*}x_{j}}$

ここで、上記の構成を直線束に限定し、X上の直線束の空間を考える。直線のグラスマン多様体は、無限射影空間である。${\displaystyle \mathrm {Vect} _{1}(X)}$${\displaystyle Gr_{1}}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},}$

これは、対心点を繊維として持つ無限球によって二重に覆われている。この球は収縮可能であるため、 ${\displaystyle S^{\infty }}$${\displaystyle S^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}$

したがってP∞ ( R )は^アイレンバーグ・マクレーン空間である。 ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)}$

アイレンバーグ・マクレーン空間の性質として、

${\displaystyle \left[X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )\right]=H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

任意のXに対して、同型性はf → f* ηで与えられる。ここで η は生成元

${\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$。

α : [ X , Gr ₁ ] → Vect ₁ ( X ) も一対一である という前述の注釈を適用すると、一対一が得られる。

${\displaystyle w_{1}\colon {\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

これは線束の Stiefel-Whitney類w _{1を定義します。}

Vect ₁ ( X ) をテンソル積の演算による群とみなすと、Stiefel–Whitney類w ₁  : Vect ₁ ( X ) → H ¹ ( X ; Z /2 Z )は同型になる。つまり、すべての直線束λ, μ → Xに対してw ₁ (λ ⊗ μ) = w ₁ (λ) + w ₁ (μ)である。

たとえば、H ¹ ( S ¹ ; Z /2 Z ) = Z /2 Zなので、バンドル同型まで円上の直線バンドルは、自明なバンドルと開いたメビウスの帯（つまり、境界を削除したメビウスの帯）の 2 つだけです。

複素ベクトル束に対する同じ構成は、チャーン類がX上の複素直線束とH ² ( X ; Z ) の間の一対一を定義することを示しています。これは、対応する分類空間がP ^∞ ( C )、K( Z、 2 ) であるためです。この同型性は位相直線束に対して真ですが、代数ベクトル束に対するチャーン類の単射性に対する障害はヤコビ多様体です。

1. i > rank( E ) の場合は常にw _i ( E ) = 0 となる。
2. E ^{k に}どこでも線形独立なセクションがある場合、最高次ホイットニー類は消えます。${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}$
3. 最初のスティフェル・ホイットニー類がゼロになるのは、束が向き付け可能な場合のみです。特に、多様体Mが向き付け可能なのは、 w ₁ ( TM ) = 0の場合のみです。
4. バンドルは、第 1 および第 2 の Stiefel–Whitney クラスが両方ともゼロである場合にのみ、スピン構造を許容します。
5. 向き付け可能なバンドルの場合、バンドルがスピン c 構造を許容する場合に限り、2 番目の Stiefel–Whitney クラスは自然マップ H 2 ( M , Z ) → H 2 ( M , Z /2 Z )^の像^になります(つまり、いわゆる³番目の積分Stiefel – Whitneyクラスはゼロになります) 。
6. 滑らかなコンパクト多様体Xのすべての Stiefel-Whitney数(下記参照) がゼロになるのは、その多様体がある滑らかなコンパクト (無向) 多様体の境界である場合のみです (すべての Stiefel-Whitney数がゼロになっても、いくつかの Stiefel-Whitneyクラスが依然としてゼロ以外になる可能性があることに注意してください)。

直線束に対する上記の一対一性は、次の議論により、上記の4つの公理を満たす任意の関数 θ がwに等しいことを意味します。2番目の公理は θ(γ ¹ ) = 1 + θ ₁ (γ ¹ ) をもたらします。包含写像i  : P ¹ ( R ) → P ^∞ ( R ) の場合、引き戻しバンドルは に等しいです。したがって、最初の公理と3番目の公理は次を意味します。 ${\displaystyle i^{*}\gamma ^{1}}$${\displaystyle \gamma _{1}^{1}}$

${\displaystyle i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).}$

地図は

${\displaystyle i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)}$

は同型であり、θ(γ ¹ ) = w (γ ¹ ) が成り立つ。E を空間 X 上の階数 n の実ベクトル束とする。するとEは分解写像、すなわち写像f  : X′ → X を、が単射であり、いくつかの直線束に対して存在する空間X′に対して持つ。X 上の任意の直線束は、ある写像gに対しての形を持ち、 ${\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})}$${\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$${\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}$${\displaystyle \lambda _{i}\to X'}$${\displaystyle g^{*}\gamma ^{1}}$

${\displaystyle \theta \left(g^{*}\gamma ^{1}\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^{*}\gamma ^{1}\right),}$

当然である。したがってθ = w on となる。上の第4公理から次のことが分かる。 ${\displaystyle {\text{Vect}}_{1}(X)}$

${\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).}$

は単射なので、 θ = wです。したがって、Stiefel–Whitney類は上記の4つの公理を満たす唯一の関手です。 ${\displaystyle f^{*}}$

この写像は一対一写像ですが、高次元では対応する写像は必ずしも単射ではありません。たとえば、n が偶数のときの接バンドルを考えてみましょう。への の標準埋め込みにより、への法バンドルは直線バンドルになります。は向き付け可能であるため、は自明です。 和はを へ制限したものにすぎず、 は縮約可能であるため自明です。したがって、w ( TS ⁿ ) = w ( TS ⁿ ) w (ν) = w( TS ⁿ ⊕ ν) = 1 です。ただし、n が偶数の場合、 TS ⁿ → S ^{n は}自明ではありません。そのオイラー類で、[ S ⁿ ]はS ⁿの基本類、 χ はオイラー特性を表します。 ${\displaystyle w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle TS^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle TS^{n}\oplus \nu }$${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0}$

n次元の多様体を扱う場合、全次数nの Stiefel–Whitney 類の積はいずれも、 多様体のZ /2 Z基本類と対にして、ベクトル束のStiefel–Whitney 数であるZ /2 Zの要素を与えることができます。たとえば、多様体の次元が 3 の場合、 で与えられる 3 つの線形独立な Stiefel–Whitney 数があります。一般に、多様体の次元がnの場合、可能な独立な Stiefel–Whitney 数の数は、 nの 分割数です。 ${\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}}$

滑らかな多様体の接束のシュティーフェル・ホイットニー数は、多様体のシュティーフェル・ホイットニー数と呼ばれる。これらはコボルディズム不変量として知られている。Bが滑らかなコンパクト ( n +1) 次元多様体で境界がMに等しい場合、Mのシュティーフェル・ホイットニー数はすべて 0 になることが、レフ・ポンチャギンによって証明された。 ^{[1]さらに、} Mのシュティーフェル・ホイットニー数がすべて0 である場合、M はある滑らかなコンパクト多様体の境界として実現できることが、ルネ・トムによって証明された。 ^[2]

外科手術理論において重要なスティフェル・ホイットニー数の1つは、(4 k +1)次元多様体のド・ラム不変量である。${\displaystyle w_{2}w_{4k-1}.}$

スティフェル・ホイットニー類は、 1947年に呉文俊によって定義された呉類のスティーンロッド平方である。 ^[3]最も簡単に言えば、全スティフェル・ホイットニー類は全呉類の全スティーンロッド平方である: 。呉類は、スティーンロッド平方を表すコホモロジー類として、スティーンロッド平方で暗黙的に定義されることが多い。多様体Xをn次元とする。すると、次数 の任意のコホモロジー類xに対して、 ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle \operatorname {Sq} (v)=w}$${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle v_{k}\cup x=\operatorname {Sq} ^{k}(x)}$。

あるいはより狭義には、次数のコホモロジー類xに対して を求めることもできる。^[4]${\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatorname {Sq} ^{k}(x),\mu \rangle }$${\displaystyle n-k}$

この元はi + 1積分シュティーフェル・ホイットニー類と呼ばれ、βはボックシュタイン準同型で、2を法とする縮約Z → Z /2 Zに対応する。 ${\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).}$

たとえば、3 番目の積分 Stiefel–Whitney クラスは、Spin ^c構造に対する障害です。

スティーンロッド代数上では、滑らかな多様体のスティフェル・ホイットニー類（接束のスティフェル・ホイットニー類として定義される）は、 の形のスティフェル・ホイットニー類によって生成される。特に、スティフェル・ホイットニー類は、${\displaystyle w_{2^{i}}}$呉式、呉文君：^[5]

${\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}$

• 一般的な概観のための特性類、特にチャーン類、複素ベクトル束の直接の類似物
• 実射影空間

• マニフォールドアトラスのウークラス