スティーンロッド代数

代数的位相幾何学において、スティーンロッド代数は、アンリ・カルタン(1955)によって、モッドコホモロジーに対する安定コホモロジー演算 の代数として定義されました。 ${\displaystyle p}$

与えられた素数 に対して、スティーンロッド代数はの位数体上の次数付きホップ代数であり、を法とするコホモロジーのすべての安定コホモロジー演算から構成されます。これは、に対して Norman Steenrod (1947) によって導入されたスティーンロッド平方によって、また、 に対してSteenrod (1953a、1953b) によって導入されたスティーンロッド簡約th 乗と に対してBockstein 準同型によって生成されます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p>2}$

「スティーンロッド代数」という用語は、一般化されたコホモロジー理論のコホモロジー演算の代数を指すために使用されることもあります。

コホモロジー演算は、コホモロジー関数間の自然な変換です。たとえば、環 の係数を持つコホモロジーを取ると、カップ積の二乗演算によってコホモロジー演算の族が得られます。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)}$

${\displaystyle x\mapsto x\smile x.}$

コホモロジー演算は、次数付き環の準同型である必要はありません。以下のカルタン公式を参照してください。

これらの演算は、サスペンションとは可換ではない。つまり、不安定である。（これは、 が空間 のサスペンションである場合、 のコホモロジー上のカップ積が自明であるためである。）スティーンロッドは、安定な演算を構築した。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Sq^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathbb {Z} /2)}$

すべて0 より大きい場合。表記法と名前であるスティーンロッド平方は、カップ平方が次数のクラスに制限されるという事実に由来しています。奇数の基本係数に対する類似の演算があり、通常は簡約乗演算と表記され、次のように呼ばれます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle Sq}$${\displaystyle Sq^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P^{i}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {Z} /p)}$

は 上の連結次数代数を生成する。ここで乗算は演算の合成によって与えられる。これは mod 2 のスティーンロッド代数である。 の場合、modスティーンロッド代数はと、短完全列に関連付けられたボックスタイン演算によって生成される。${\displaystyle Sq^{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle \beta}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0}$。

の場合、ボックスタイン要素は であり、約数乗はです。 ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle Sq^{1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P^{i}}$${\displaystyle Sq^{2i}}$

スティーンロッド演算の性質は、アイレンバーグ・マクレーンスペクトルのコホモロジー環における生成子としてまとめることができる。

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})}$、

同型性があるので

${\displaystyle {\begin{aligned}H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})&=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\underset {\leftarrow n}{\text{lim}}}\left(H^{n+k}(K(\mathbb {F} _{p},n);\mathbb {F} _{p})\right)\end{aligned}}}$

は、係数が であるすべての可能なコホモロジー演算の直和分解を与える。コホモロジー群の逆極限が現れるのは、アイレンバーグ・マクレーン空間のコホモロジー群の安定範囲での計算であるためである。この結果^[1]は、もともとカルタン (1954–1955、p. 7) とセール (1953) によって計算された^[2]。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

双対スティーンロッド代数に対するホモロジーを用いた双対的な特徴付け^[3]があることに注意する。

注意すべきことは、アイレンバーグ・マクレーン・スペクトルを任意のスペクトル に置き換えると、コホモロジー環 の研究に多くの課題が生じるということです。この場合、一般化された双対スティーンロッド代数を代わりに検討する必要があります。これは、一般化された双対スティーンロッド代数の方がはるかに優れた特性を持ち、多くの場合 ( など)扱いやすく研究できるためです。 ^[4]実際、これらの環スペクトルは可換であり、双加群は平坦です。この場合、これらは任意の空間 に対するの標準的な共作用であり、この作用は安定ホモトピーカテゴリに関して適切に動作します。つまり、同型性があるため、環スペクトルの単位を使用して上のの共作用を得ることができます。 ${\displaystyle H\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle KO,KU,MO,MU,MSp,\mathbb {S} ,H\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \pi _{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(X)}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X)\to [\mathbb {S} ,E\wedge E\wedge X]_{*}}$$${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \eta :\mathbb {S} \to E}$$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(X)}$

ノーマン・スティーンロッドとデビッド・BA・エプスタイン（1962）は、スティーンロッドの正方形が次の5つの公理によって特徴付けられることを示しました。 ${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}\to H^{m+n}}$

1. 自然性:は加法準同型であり、任意の に関して自然なので、 です。${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{*}(Sq^{n}(x))=Sq^{n}(f^{*}(x))}$
2. ${\displaystyle Sq^{0}}$は恒等準同型です。
3. ${\displaystyle Sq^{n}(x)=x\smile x}$のために。${\displaystyle x\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)}$
4. もしそうなら${\displaystyle n>\deg(x)}$${\displaystyle Sq^{n}(x)=0}$
5. カルタン式:${\displaystyle Sq^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(Sq^{i}x)\smile (Sq^{j}y)}$

さらに、スティーンロッド方陣には次の特性があります。

• ${\displaystyle Sq^{1}}$は、正確な数列のボックスタイン準同型である${\displaystyle \beta}$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.}$
• ${\displaystyle Sq^{i}}$はコホモロジーにおける長完全列の接続射と可換である。特に、それはサスペンションに関して可換である。${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} /2)\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} /2)}$
• これらは、以下に説明するAdem関係を満たす。

同様に、次の公理はの約数乗を特徴付けます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p>2}$

1. 自然性:加法準同型であり自然です。${\displaystyle P^{n}\colon H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$
2. ${\displaystyle P^{0}}$は恒等準同型です。
3. ${\displaystyle P^{n}}$は次数のクラスのcup乗です。${\displaystyle p}$${\displaystyle 2n}$
4. もしそうなら${\displaystyle 2n>\deg(x)}$${\displaystyle P^{n}(x)=0}$
5. カルタン式:${\displaystyle P^{n}(x\smile y)=\sum _{i+j=n}(P^{i}x)\smile (P^{j}y)}$

以前と同様に、簡約されたp乗も Adem 関係を満たし、停止演算子および境界演算子と交換可能です。

に対するアデム関係はウェン・ツン・ウー （1952）によって推測され、ホセ・アデム （1952）によって確立された。それらは次のように与えられる。 ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{jk-1 \choose i-2k}Sq^{i+jk}Sq^{k}}$

となるすべてのものに対して成り立ちます。(二項係数は 2 を法として解釈されます。) Adem 関係により、任意のスティーンロッド平方の構成をセール・カルタン基底元の和として表すことができます。 ${\displaystyle i,j>0}$${\displaystyle i<2j}$

奇妙なことに、アデムの関係は ${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{a}P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi}P^{a+b-i}P^{i}}$

a < pbかつ​

${\displaystyle P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1}P^{a+b-i}\beta P^{i}}$

のために。 ${\displaystyle a\leq pb}$

Shaun R. Bullett とIan G. Macdonald  (1982) は、Adem 関係を次の恒等式として再定式化しました。

置く​ ${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{Sq}}^{i}}$

すると、Adem関係は

${\displaystyle P(s^{2}+st)\cdot P(t^{2})=P(t^{2}+st)\cdot P(s^{2})}$

置く​ ${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{P}}^{i}}$

すると、Adem関係は次の文と等しくなります。

${\displaystyle (1+s\operatorname {Ad} \beta )P(t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})P(s^{p})}$

はおよびにおいて対称です。ここではボックスタイン演算およびです。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle (\operatorname {Ad} \beta )P=\beta P-P\beta }$

スティーンロッド平方には、コホモロジー類を表す多様体を使った、分かりやすい幾何学的解釈がある。 が滑らかな多様体であるとし、滑らかな部分多様体 として幾何学的に表されるコホモロジー類を考える。コホモロジー的には、が の基本類を表すとすると、プッシュフォワード写像${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha \in H^{*}(X)}$${\displaystyle f\colon Y\hookrightarrow X}$${\displaystyle 1=[Y]\in H^{0}(Y)}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{*}(1)=\alpha }$

は の表現を与える。さらに、この浸漬には、正規バンドルと呼ばれる実ベクトルバンドルが関連付けられている。 のスティーンロッド平方は、正規バンドルの スティーフェル・ホイットニー類の押し出しであると理解できる。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \nu _{Y/X}\to Y}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Sq^{i}(\alpha )=f_{*}(w_{i}(\nu _{Y/X})),}$

これは、スティーンロッド積が最終的に消える理由の幾何学的理由を与える。スティーンロッド写像は群準同型なので、和として表される クラスがある場合、${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},}$

が多様体として表現されている場合、クラスの平方はその基礎となる滑らかな多様体の正規バンドルのプッシュフォワードの合計として解釈できます。つまり、 ${\displaystyle \alpha _{k}}$

${\displaystyle Sq^{i}(\beta )=\sum _{k=1}^{n}f_{*}(w_{i}(\nu _{Y_{k}/X})).}$

また、この同値性はWu の公式と深く関係しています。

複素射影平面 上では、次の非自明なコホモロジー群のみが存在する。 ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$

${\displaystyle H^{0}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{2}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{4}(\mathbf {CP} ^{2})\cong \mathbb {Z} }$、

は、細胞分解を使って計算できます。これは、コホモロジー上のカップ積を与えるので、 上の唯一の可能な非自明なスティーンロッド積が上にあることを意味します。 上のカップ積構造が非自明なので、この平方は非自明です。複素射影空間上でも同様の計算があり、ここで非自明な平方はと、カップ積を表すコホモロジー群上の平方演算だけです。平方 において${\displaystyle Sq^{2}}$${\displaystyle H^{2}(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle H^{\ast }(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{6}}$${\displaystyle Sq^{0}}$${\displaystyle Sq^{2i}}$${\displaystyle H^{2i}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{8}}$

${\displaystyle Sq^{2}\colon H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)\to H^{6}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$

は、上で概説した幾何学的手法とチャーン類とスティフェル・ホイットニー類の関係を使って計算できる。は の非ゼロ類を表すことに注意すること。また、 と であるため、カルタン公式を使って直接計算することもできる。${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{4}\hookrightarrow \mathbf {CP} ^{8}}$${\displaystyle H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle x^{2}\in H^{4}(\mathbf {CP} ^{8})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{2}(x^{2})&=Sq^{0}(x)\smile Sq^{2}(x)+Sq^{1}(x)\smile Sq^{1}(x)+Sq^{2}(x)\smile Sq^{0}(x)\\&=0.\end{aligned}}}$

実射影空間に対するスティーンロッド演算は、スティーンロッド平方の形式的性質を使って簡単に計算できる。

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)\cong \mathbb {Z} /2[x],}$

ここで、上の操作については、次のことが分かっています。 ${\displaystyle \deg(x)=1.}$${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{0}(x)&=x\\Sq^{1}(x)&=x^{2}\\Sq^{k}(x)&=0&&{\text{ for any }}k>1\end{aligned}}}$

カルタン関係式は、合計平方

${\displaystyle Sq:=Sq^{0}+Sq^{1}+Sq^{2}+\cdots }$

環準同型である

${\displaystyle Sq\colon H^{*}(X)\to H^{*}(X).}$

したがって

${\displaystyle Sq(x^{n})=(Sq(x))^{n}=(x+x^{2})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{n+i}}$

前の和には 1つの度数成分しかないので、${\displaystyle n+i}$

${\displaystyle Sq^{i}(x^{n})={n \choose i}x^{n+i}.}$

が点上の対称群の任意の次数部分群であり、におけるコホモロジー類、によって作用されるアーベル群、におけるコホモロジー類であるとします。Steenrod (1953a, 1953b) は、における簡約冪を次のように構築する方法を示しました。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle u}$${\displaystyle H^{q}(X,B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle c}$${\displaystyle H_{i}(\pi ,A)}$${\displaystyle u^{n}/c}$${\displaystyle H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )}$

1. を と 自身との外積で乗じると、に係数を持つ 上の同変コサイクルが得られます。${\displaystyle u}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
2. が自由に作用する収縮可能な空間をと選び、 からへの同変写像をこの写像で引き戻すと、上の同変コサイクルが得られ、したがって に係数を持つのコサイクルが得られます。${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle E\times X}$${\displaystyle X^{n}.}$${\displaystyle u^{n}}$${\displaystyle E\times X}$${\displaystyle E/\pi \times X}$${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
3. 内のとの斜積をとると、 に係数がある のコサイクルが得られます。${\displaystyle c}$${\displaystyle H_{i}(E/\pi ,A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$

スティーンロッド平方と簡約累乗は、この構成の特殊なケースです。ここで、 は素数位数の巡回群で、元の巡回置換として機能します。また、グループと は位数 の巡回であるため、も位数 の巡回になります。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle p=n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$${\displaystyle p}$

スティーンロッド代数は、公理的な構造を満たすだけでなく、いくつかの追加の有用な特性も備えています。

Jean-Pierre Serre (1953) ( について) と Henri Cartan (1954, 1955) ( について) は、安定な mod コホモロジー演算の Steenrod 代数の構造を説明し、それが Bockstein 準同型と Steenrod 縮約冪によって生成され、Adem 関係がこれらの生成子間の関係のイデアルを生成することを示した。特に、彼らは Steenrod 代数の明示的な基底を発見した。この基底は、整数列の許容性という特定の概念に依存している。列を次のように呼ぶ。 ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}$

は、各 に対して が成り立つ場合に許容される。すると、要素 ${\displaystyle j}$${\displaystyle i_{j}\geq 2i_{j+1}}$

${\displaystyle Sq^{I}=Sq^{i_{1}}\cdots Sq^{i_{n}},}$

が許容列である場合、2を法とするスティーンロッド代数の基底（セール・カルタン基底）を形成し、これを許容基底と呼ぶ。要素からなる 場合にも同様の基底が存在する。${\displaystyle I}$${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle Sq_{p}^{I}=Sq_{p}^{i_{1}}\cdots Sq_{p}^{i_{n}}}$、

そのような

${\displaystyle i_{j}\geq pi_{j+1}}$

${\displaystyle i_{j}\equiv 0,1{\bmod {2}}(p-1)}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)}=P^{k}}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)+1}=\beta P^{k}}$

スティーンロッド代数は、次数付き代数よりも構造が豊かである。またホップ代数でもあるため、特に対角写像や共乗写像 が存在する。${\displaystyle \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle \psi \colon A\to A\otimes A}$

スティーンロッド代数のカップ積への作用に対するカルタン公式によって誘導される。この写像は積写像よりも記述が容易であり、次のように与えられる。

${\displaystyle \psi (Sq^{k})=\sum _{i+j=k}Sq^{i}\otimes Sq^{j}}$

${\displaystyle \psi (P^{k})=\sum _{i+j=k}P^{i}\otimes P^{j}}$

${\displaystyle \psi (\beta )=\beta \otimes 1+1\otimes \beta }$。

これらの式は、スティーンロッド代数が可換であることを意味します。

の線型双対は、Aの（次数付き）線型双対を代数にする。ジョン・ミルナー （1958）は、 に対して、任意のkに対して1 つの次数 の生成元を持つ多項式代数であり、双対スティーンロッド代数に対して は次数 の生成元の多項式代数と次数 の生成元 τ _kの外積代数のテンソル積であることを証明した。 の単項式基底は、ミルナー基底と呼ばれるAの別の基底の選択肢を与える。 スティーンロッド代数の双対は、乗算が（超）可換であるため、扱いやすいことが多い。 の共乗は、 A上の積の双対であり、次のように与えられる。 ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle \xi _{k}}$${\displaystyle 2^{k}-1}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle \xi _{k}}$${\displaystyle 2p^{k}-2}$ ${\displaystyle (k\geq 1)}$${\displaystyle 2p^{k}-1}$ ${\displaystyle (k\geq 0)}$${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle A_{*}}$

${\displaystyle \psi (\xi _{n})=\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}.}$ここで、そして${\displaystyle \xi _{0}=1}$

${\displaystyle \psi (\tau _{n})=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}}$もし。${\displaystyle p>2}$

の唯一の基本要素は形式の要素であり、これらは（ Aの唯一の分解不可能な要素）と双対です。 ${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \xi _{1}^{2^{i}}}$${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$

双対スティーンロッド代数は超可換ホップ代数なので、そのスペクトルは代数超群スキームである。これらの群スキームは、1次元加法形式群の自己同型と密接に関連している。例えば、 の場合、双対スティーンロッド代数は、1次元加法形式群スキームの自己同型で、1次の単位元となる群スキームである。これらの自己同型は、次の形式である。 ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle x+y}$

${\displaystyle x\rightarrow x+\xi _{1}x^{2}+\xi _{2}x^{4}+\xi _{3}x^{8}+\cdots }$

スティーンロッド代数は有限部分ホップ代数によるフィルタリングを許容する。要素^{[5]によって生成されるので}${\displaystyle p=2}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$、

スティーンロッド平方によって生成される 部分代数を形成できる${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(n)}$

${\displaystyle Sq^{1},Sq^{2},\ldots ,Sq^{2^{n}}}$、

濾過を行う

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(1)\subset {\mathcal {A}}_{2}(2)\subset \cdots \subset {\mathcal {A}}_{2}.}$

これらの代数は、、、などの多くのアダムススペクトル列の計算を簡略化するために使用できるため重要です。^[6]${\displaystyle \pi _{*}(ko)}$${\displaystyle \pi _{*}(tmf)}$

ラリー・スミス（2007）は、位数qの有限体 上のスティーンロッド代数の次の代数的構成を与えた。Vが上のベクトル空間である場合、 Vの対称代数をSVと書く。代数準同型が存在する。${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle {\begin{cases}P(x)\colon SV[[x]]\to SV[[x]]\\P(x)(v)=v+F(v)x=v+v^{q}x&v\in V\end{cases}}}$

ここで、FはSVのフロベニウス準同型である。

${\displaystyle P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2}$

または

${\displaystyle P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2}$

というのは、 Vが無限次元であれば、要素はp が奇数の場合はp′乗の簡約によって生成されるスティーンロッド代数の部分代数、またはp が偶数の場合はスティーンロッド平方によって生成されるスティーンロッド代数の部分代数に同型な代数を生成するからである。 ${\displaystyle f\in SV}$${\displaystyle P^{I}}$${\displaystyle Sq^{2i}}$${\displaystyle p=2}$

スティーンロッド代数の初期の応用としては、ジャン＝ピエール・セールによる球面のホモトピー群の計算（セール スペクトル列の超越微分とスティーンロッド演算の互換性を使用）や、ルネ・トムによる、安定範囲におけるボルディズム類の次数付き環とトム複体のホモトピー群の同一視による、コボルディズムまでの滑らかな多様体の分類などがある。後者は、CTC ウォールによって有向多様体の場合に洗練された。スティーンロッド演算の有名な応用は、適切なアデム関係に関連付けられた二次コホモロジー演算による因数分解を含み、 J. フランク・アダムスによるホップ不変量 1問題の解決である。mod 2 スティーンロッド代数のかなり初歩的な応用の 1 つは、次の定理である。

定理。ホップ不変量の写像が 1 である場合、n は2 の累乗である。 ${\displaystyle S^{2n-1}\to S^{n}}$

証明では、それぞれが2 の累乗ではない kに対して分解可能であるという事実、つまり、そのような要素は厳密に小さい次数の平方の積であるという事実を使用します。${\displaystyle Sq^{k}}$

マイケル・A・マンデルは、スティーンロッド代数（の代数閉包の係数を持つ）を研究して、次の定理の証明を与えた。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

定理。 の代数閉包に係数を持つ特異コチェーン関数は、有限型の連結された -完全冪零空間のホモトピー圏から、 の代数閉包に係数を持つ[[ -代数]] のホモトピー圏の完全なサブカテゴリへの反変同値性を誘導します。 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E_{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

スティーンロッド代数のコホモロジーは、球面の安定ホモトピー群のp成分に接する（p局所）アダムススペクトル列の項である。より具体的には、このスペクトル列の項は次のように識別される。 ${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathbb {F} _{p},\mathbb {F} _{p}).}$

これは、「スティーンロッド代数のコホモロジーは球面の安定ホモトピー群の近似である」という格言が意味するものです。

• ポントリャーギンコホモロジー演算
• デュアルスティーンロッド代数
• コホモロジー演算

• Malkiewich, Cary、「The Steenrod Algebra」(PDF) 、 2017-08-15 にオリジナルからアーカイブ(PDF)
• 特性クラス – Wu多様体などの計算がさらに含まれる
• アダムススペクトル列のスティーンロッド方陣 - Ext項とスティーンロッド方陣の解釈が含まれています

• モチーフコホモロジーにおける簡約べき乗演算
• Z/2係数を持つモティヴィックコホモロジー
• モチーフアイレンバーグ・マクレーン空間
• C {\displaystyle \mathbb {C} } -モティヴィックモジュラー形式のホモトピーはモティヴィックtmfと関係がある${\displaystyle {\mathcal {A}}//{\mathcal {A}}(2)}$

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