無限次元ベクトル関数

もし${\displaystyle f:[0,1]\to X,}$どこ${\displaystyle X}$がバナッハ空間または別の位相ベクトル空間である場合、その導関数は${\displaystyle f}$通常の方法で定義できます。 $${\displaystyle f'(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}.}$$

もし${\displaystyle [a,b]}$曲線の定義域に含まれる区間${\displaystyle f}$位相ベクトル空間で値をとるベクトルは${\displaystyle f(b)-f(a)}$はコードと呼ばれます${\displaystyle f}$決定${\displaystyle [a,b]}$[ ^{1 ]} もし^​${\displaystyle [c,d]}$がその定義域内の別の音程である場合、2 つのコードは重なり合わないコードであると言われます。${\displaystyle [a,b]}$そして${\displaystyle [c,d]}$共通する端点が最大で 1 つだけである。^{[ 1 ]}直感的に、内積空間 で値をとる曲線の重ならない 2 つの弦は、曲線が始点と終点の間の経路上のどこかで直角に曲がる場合、直交ベクトルとなる。重ならない弦のすべてのペアが直交する場合、そのような右折は曲線のすべての点で発生する。このような曲線はどの点でも微分可能ではない。 ^{[ 1 ]}しわくちゃ弧 は、重ならない 2 つの弦が直交ベクトルとなる性質を持つ単射連続曲線である。ヒルベルト空間におけるしわくちゃ弧の例$\displaystyle L^{2}}$空間${\displaystyle L^{2}(0,1)}$は：^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f:\;&&[0,1]&&\;\to \;&L^{2}(0,1)\\[0.3ex]&&t&&\;\mapsto \;&\mathbb {1} _{[0,t]}\\\end{alignedat}}}$$ どこ$\displaystyle \mathbb {1} _{[0,\,t]}:(0,1)\to \{0,1\}}$は、によって定義される 指示関数です。$${\displaystyle x\;\mapsto \;{\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in [0,t]\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}}$$ しわくちゃの弧は、あらゆる無限次元ヒルベルト空間に見出すことができる。なぜなら、そのような空間には、${\displaystyle L^{2}(0,1).}$^{[ 2 ]} しわくちゃの弧${\displaystyle f:[0,1]\to X}$正規化されていると言われるのは、${\displaystyle f(0)=0,}$${\displaystyle \|f(1)\|=1,}$そしてそのイメージの広がり${\displaystyle f([0,1])}$は、​${\displaystyle X.}$^{[ 2 ]}

もし${\displaystyle h:[0,1]\to [0,1]}$増加同相写像である場合${\displaystyle f\circ h}$これは曲線の再パラメータ化と呼ばれる。${\displaystyle f:[0,1]\to X.}$^{[ 1 ]} 2つの曲線${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$内部製品空間において${\displaystyle X}$ユニタリ演算子が存在する場合、それらはユニタリ同値である。${\displaystyle L:X\to X}$（これは等長線形全単射である）${\displaystyle g=L\circ f}$（または同等に、${\displaystyle f=L^{-1}\circ g}$)

測定可能性${\displaystyle f}$はいくつかの方法で定義できますが、最も重要なのはボフナー可測性と弱可測性です。

最も重要な積分${\displaystyle f}$ボフナー積分と呼ばれる（${\displaystyle X}$はバナッハ空間）およびペティス積分（${\displaystyle X}$は位相ベクトル空間である。これらの積分はどちらも線形汎関数と可換である。また$\displaystyle L^{p}}$そのような機能のために、専用のスペースが設けられています。